2019-2020学年北京市通州区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市通州区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 2a=3b，则 ab 的值为
A. 23B. 32C. 25D. 52

2. 函数 y=1x 中自变量 x 的取值范围是
A. x≠1B. x≠0C. x>0D. 全体实数

3. 下列选项图形中有可能与已知图形相似的是
A. B.
C. D.

4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，则 sinB 的值为
A. 43B. 34C. 35D. 45

5. 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四个点，AD∥BC．那么 AB 与 CD 的数量关系是
A. AB=CDB. AB>CDC. AB
6. 如图，图象对应的函数表达式可能为
A. y=5xB. y=2xC. y=1xD. y=−2x

7. 下列点中在抛物线 y=−2x−12 上的是
A. 2,3B. −2,3C. 1,−5D. 0,−2

8. 如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树 A 和 B 之间的距离，在垂直 AB 的方向 AC 上确定点 C，如果测得 AC=75 米，∠ACB=55∘，那么 A 和 B 之间的距离是 米．
A. 75×sin55∘B. 75×cs55∘C. 75×tan55∘D. 75tan55∘

9. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A，B，C，则对系数 a 和 b 判断正确的是
A. a>0，b>0B. a<0，b<0C. a>0，b<0D. a<0，b>0

10. 如图，在 ⊙O 中，直径 AB⊥CD 于点 E，AB=8，BE=1.5，将 AD 沿着 AD 对折，对折之后的弧称为 M，则点 O 与 M 所在圆的位置关系为
A. 点在圆上B. 点在圆内C. 点在圆外D. 无法确定

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 计算 cs60∘= ．

12. 把二次函数 y=x2−2x+3 化成 y=ax−h2+k 的形式为 ．

13. 如图，A，B，C，D 分别是 ∠α 边上的四个点，且 CA，DB 均垂直于 ∠α 的一条边，如果 CA=AB=2，BD=3，那么 tanα= ．

14. 如图，在 △ABC 中，点 O 是 △ABC 的内心，∠BOC=118∘，∠A= ∘．

15. 二次函数 y=13x2−x−2 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 13x2−x−2=0 的近似解为 （精确到 0.1）．

16. 数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法．小华对数学老师说：“我可以用折叠纸片的方法确定圆心”．小华的作法如下：
第一步：如图 1，将残缺的纸片对折，使 AB 的端点 A 与端点 B 重合，得到图 2；
第二步：将图 2 继续对折，使 CB 的端点 C 与端点 B 重合，得到图 3；
第三步：将对折后的图 3 打开如图 4，两条折痕所在直线的交点即为圆心 O．
老师肯定了他的作法．那么他确定圆心的依据是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：3tan30∘+cs245∘−sin60∘．

18. 计算：π−30+4sin45∘−8+∣1−3∣．

19. 已知 △ABC，求作 △ABC 的内切圆．

20. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线 AC，EG．求证 △ACD∽△EGH．

21. 二次函数 y=x2+2m+1x+m2−1 与 x 轴交于 A，B 两个不同的点（点 A 在点 B 的左侧）．
（1）求 m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时 A，B 两点的坐标．

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−x+1 与双曲线 y=kx 相交于点 Am,2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）画出直线和双曲线的示意图；
（3）过动点 Pn,0 且垂于 x 轴的直线与 y=−x+1 及双曲线 y=kx 的交点分别为 B 和 C，当点 B 位于点 C 上方时，根据图象，直接写出 n 的取值范围 ．

23. 如图，⊙O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 E，AB=8，∠A=22.5∘，求 CD 的长．

24. 在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为同学们准备了如下工具：①高为 m 米的测角仪，②长为 n 米的竹竿，③足够长的皮尺．请你选用以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量的角度选用 α，β，γ 标记，可测量的长度选用 a，b，c，d 标记，测角仪和竹竿可以用线段表示）．
（1）你选用的工具为： ；（填序号即可）
（2）画出图形．

25. 如图，在 △ABC 中，F 是 AB 上一点，以 AF 为直径的 ⊙O 切 BC 于点 D，交 AC 于点 G，AC∥OD，OD 与 GF 交于点 E．
（1）求证：BC∥GF；
（2）如果 tanA=43，AO=a，请你写出求四边形 CGED 面积的思路．

26. 有这样一个问题：探究函数 y=12x−2x2 的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数 y=12x−2x2 的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=12x−2x2 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）如表是 y 与 x 的几组对应值，求 m 的值；
x⋯−4−3−2−32−1−23231234⋯y⋯−178−3118−32−5936−52−296−256−32122318m⋯
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第三象限内的最高点的坐标是 −2,−32，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ．

27. 已知：过点 A3,0 的直线 l1:y=x+bʹ 与直线 l2:y=−2x 交于点 B．抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 B．
（1）求点 B 的坐标；
（2）如果抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A，求抛物线的表达式；
（3）直线 x=−1 分别与直线 l1，l2 交于 C，D 两点，当抛物线 y=ax2+bx+c 与线段 CD 有交点时，求 a 的取值范围．

28. 在等边 △ABC 中，E 是边 BC 上的一个动点（不与点 B，C 重合），∠AEF=60∘，EF 交 △ABC 外角平分线 CD 于点 F．
（1）如图 1，当点 E 是 BC 的中点时，请你补全图形，直接写出 CFAE 的值，并判断 AE 与 EF 的数量关系；
（2）当点 E 不是 BC 的中点时，请你在图 2 中补全图形，判断此时 AE 与 EF 的数量关系，并证明你的结论．

29. 在平面直角坐标系 xOy 中，若 P 和 Q 两点关于原点对称，则称点 P 与点 Q 是一个“和谐点对”，表示为 P,Q，比如 P1,2,Q−1,−2 是一个“和谐点对”．
（1）写出反比例函数 y=1x 图象上的一个“和谐点对”；
（2）已知二次函数 y=x2+mx+n，
①若此函数图象上存在一个和谐点对 A,B，其中点 A 的坐标为 2,4，求 m，n 的值；
②在①的条件下，在 y 轴上取一点 M0,b，当 ∠AMB 为锐角时，求 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】两边都除以 2b，得 ab=32．
2. B【解析】函数 y=1x 中自变量 x 的取值范围是 x≠0．
3. C【解析】观察图形知该图形是一个四边形且有一个角为直角，只有 C 符合．
4. D【解析】∵∠C=90∘，AC=4，BC=3，
∴AB=AC2+BC2=42+32=5，
∴sinB=ACAB=45．
5. A
【解析】连接 AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AB=CD．
6. D【解析】∵ 函数的图象为双曲线，
∴ 函数为反比例函数，
∵ 反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k<0，
只有D符合．
7. D【解析】A 、 x=2 时，y=−2x−12=−2≠3，故点 2,3 不在抛物线上，
B 、 x=−2 时，y=−2x−12=−18≠3，故点 −2,3 不在抛物线上，
C 、 x=1 时，y=−2x−12=0≠−5，故点 1,−5 不在抛物线上，
D 、 x=0 时，y=−2x−12=−2，故点 0,−2 在抛物线上．
8. C【解析】根据题意，在 Rt△ABC 中，AC=75 米，∠ACB=55∘，且 tan∠ACB=ABAC，则 AB=AC×tan55∘=75×tan55∘（米）．
9. A【解析】由题意知，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A，B，C，则函数图象如图所示，
∴ a>0，−b2a<0，
∴ b>0．
10. B
【解析】过点 O 作 OF⊥AD，交 ⊙O 于 G，交 M 于点 H，连接 OD，如图，
∵AB 为 ⊙O 的直径，AB=8，
∴OA=OB=OG=OD=4，
∵BE=1.5，
∴OE=4−1.5=2.5，
在 Rt△OED 中，
由勾股定理得：DE=OD2−OE2=42−522=392，
在 Rt△AED 中，
AD=AE2+ED2=1322+3922=2084=213，
∵OF⊥AD，
∴AF=12AD=13，
由勾股定理得：OF=OA2−AF2=42−132=3，
由折叠得：M 所在圆与 ⊙O 是等圆，
∴M 所在圆的半径为 4，
∴FH=FG=4−3，
∵2×4−3>4，
∴HG>OG，
∴ 点 O 在 M 所在的圆内．
第二部分
11. 12
12. y=x−12+2
【解析】y=x2−2x+3=x2−2x+1+2=x−12+2,
∴y=x−12+2．
13. 12
【解析】如图，设 ∠α 的顶点为 O，
∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴∠OAC=∠OBD=90∘，
∴tanα=ACOA=BDOB，
∵CA=AB=2，BD=3，
∴2OA=3OA+2，
∴OA=4，
∴tanα=ACOA=12．
14. 56
【解析】∵∠BOC=118∘，
∴∠OBC+∠OCB=180∘−118∘=62∘．
∵ 点 O 是 △ABC 的两条角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+∠OCB=124∘，
∴∠A=180∘−124∘=56∘．
15. x1=−1.4，x2=4.4
【解析】当 x=−1.2 时，y=−0.32<0，
当 x=−1.3 时，y≈−0.137<0，
当 x=−1.4 时，y≈0.0533>0，
∴ 方程的一个近似根在 −1.4当 x=−1.35 时，y=−0.0425，
∴ 方程的一个近似根为 x=−1.4，
同理可得方程的另一个近似根为 x=4.4．
16. 轴对称图形的性质及圆心到圆上各点的距离相等
【解析】如图，
第一步对折由轴对称图形可知 OC 是 AB 的中垂线，点 O 在 AB 中垂线上；
第二步对折由轴对称图形可知 OD 是 BC 的中垂线，点 O 在 BC 中垂线上；
从而得出点 O 是 AB，BC 中垂线的交点．
第三部分
17. 原式=3×33+222−32=32+12.
18. 原式=1+4×22−22+3−1=1+22−22+3−1=3.
19. ⊙O 即为所求．
20. ∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴ADEH=CDGH，∠D=∠H，
∴△ADC∽△EHG．
21. （1） 因为二次函数 y=x2+2m+1x+m2−1 与 x 轴交于 A，B 两个不同的点，
所以一元二次方程 x2+2m+1x+m2−1=0 有两个不相等的实数根，
所以 Δ=2m+12−4m2−1=4m+5>0，
解得：m>−54．
（2） 当 m=1 时满足题意，此时原二次函数解析式为 y=x2+3x，
令 x2+3x=0，
解得：x1=−3，x2=0，
所以当 m=1 时，点 A 的坐标为 −3,0，点 B 的坐标为 0,0（答案不唯一）．
22. （1） 因为点 Am,2 在直线 y=−x+1 上，
所以 −m+1=2，
解得，m=−1，
所以 A−1,2，
因为点 A−1,2 在双曲线 y=kx 上，
所以 k=−2，
所以反比例函数的表达式为：y=−2x；
（2） 直线和双曲线的示意图如图所示：
（3） 023. ∵AB=8，
∴OC=OA=4，
∵∠A=22.5∘，
∴∠COE=2∠A=45∘，
∵ 直径 AB 垂直弦 CD 于点 E，
∴CE=OC⋅sin45∘=22，
∴CD=2CE=2×22=42．
24. （1） ①③
（2） 如图所示：
可以量出 AM，AC，AB 的长，以及 α，β 的度数，即可得出国旗杆的高度．
25. （1） ∵⊙O 切 BC 于点 D，
∴OD⊥BC，
∵AC∥OD，
∴∠C=∠ODB=90∘，
∵AF 为 ⊙O 的直径，
∴∠AGF=90∘=∠C，
∴BC∥GF．
（2） ∵AC∥OD，BC∥GF，
∴ 四边形 CGED 为平行四边形，
∵∠C=90∘，
∴ 四边形 CGED 为矩形，
∵tanA=43，
∴sinA=45，
∵AF=2AO=2a，OF=a，
∴GF=AF⋅sinA=2a×45=8a5，
∵OD⊥BC，
∴GE=EF=12GF=4a5，
∴ 在 Rt△OEF 中，OE=OF2−EF2=a2−4a52=3a5，
∴DE=OD−OE=a−3a5=2a5，
∴S四边形CGED=GE⋅DE=4a5×2a5=8a225．
26. （1） x≠0
【解析】若使原式有意义，则 x2≠0，
∴x≠0．
（2） 当 x=4 时，m=12x−2x2=12×4−242=158．
（3） 连线，画出函数图象，如图所示．
（4） 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大（答案不唯一）
27. （1） 将 A3,0 代入直线 l1:y=x+bʹ 中，
得 0=3+bʹ，解得：bʹ=−3，
∴ 直线 l1 的函数表达式为 y=x−3．
联立直线 l1，l2 表达式成方程组，
得 y=x−3,y=−2x, 解得：x=1,y=−2,
∴ 点 B 的坐标为 1,−2．
（2） 设抛物线的表达式为 y=ax−h2+k，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 B1,−2，
∴y=ax−12−2，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A3,0，
∴3−12a−2=0，解得：a=12，
∴ 抛物线的表达式为 y=12x−12−2．
（3） ∵ 直线 x=−1 分别与直线 l1，l2 交于 C，D 两点，
∴C，D 两点的坐标分别为 −1,−4，−1,2，
当抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C 时，−1−12a−2=−4，
解得：a=−12；
当抛物线 y=ax2+bx+c 过点 D 时，−1−12a−2=2，
解得：a=1．
∴ 当抛物线 y=ax2+bx+c 与线段 CD 有交点时，a 的取值范围为 −12≤a≤1 且 a≠0．
28. （1） 补全图形如图 1 所示，
CFAE=33；AE=EF．
因为 △ABC 是等边三角形，点 E 是 BC 的中点，
所以 ∠EAC=30∘，∠ACB=60∘，
因为 ∠AEF=60∘，
所以 ∠CEF=30∘，
因为 CD 平分 △ABC 的外角，
所以 ∠ECF=60∘+180∘−60∘÷2=120∘，
所以 ∠EFC=30∘，∠ACF=120∘−60∘=60∘，
所以 CE=CF，AC 平分 ∠BCD，
所以 AC 垂直平分 EF，
所以 AE=AF；
所以 △AEF 是等边三角形，
所以 AE=EF．
（2） AE 与 EF 的数量关系为：AE=EF．
连接 AE，AF，EF，EF 与 AC 交于点 G．如图 2，
因为在等边 △ABC 中，CD 是它的外角平分线．
所以 ∠ACF=60∘=∠AEF，
因为 ∠AGE=∠FGC，
所以 △AGE∽△FGC，
所以 GEGC=GAGF，
所以 GEGA=GCGF，
因为 ∠AGF=∠EGC，
所以 △AGF∽△EGC，
因为 ∠AFE=∠ACB=60∘，
所以 △AEF 为等边三角形，
所以 AE=EF．
29. （1） ∵ 反比例函数的表达式为 y=1x．
∴ 当 x=1 时，y=1，当 x=−1 时，y=−1，
∴ 可取 P1,1,Q−1,−1（答案不唯一）；
（2） ① ∵ A2,4 且 A 和 B 为和谐点对，
∴ B 点坐标为 −2,−4，
将 A 和 B 两点坐标代入 y=x2+mx+n，可得 4+2m+n=4,4−2m+n=−4,
解得 m=2,n=−4.
②（i）M 点在 x 轴上方时，
若 ∠AMB 为直角（M 点在 y 轴上），则 △AMB 为直角三角形，
∵ A2,4 且 A 和 B 为和谐点对，
∴ 原点 O 在 AB 线段上且 O 为 AB 中点，
∴ AB=2OA，
∵ A2,4，
∴ OA=25，
∴ AB=45，
在 Rt△ABM 中，
∵ O 为 AB 中点，
∴ MO=OA=25，
若 ∠AMB 为锐角，则 b>25；
（ii）M 点在 x 轴下方时，同理可得，b<−25，
综上所述，b 的取值范围为 b>25 或 b<−25．