2019-2020学年北京市海淀区八下期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市海淀区八下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列各式中，运算正确的是
A. −22=−2B. 2+8=10
C. 2×8=4D. 2−2=2

2. 如图，在 △ABC 中，AB=3，BC=6，AC=4，点 D，E 分别是边 AB，CB 的中点，那么 DE 的长为
A. 1.5B. 2C. 3D. 4

3. 要得到函数 y=2x+3 的图象，只需将函数 y=2x 的图象
A. 向左平移 3 个单位B. 向右平移 3 个单位
C. 向上平移 3 个单位D. 向下平移 3 个单位

4. 在 Rt△ABC 中，D 为斜边 AB 的中点，且 BC=3，AC=4，则线段 CD 的长是
A. 2B. 3C. 52D. 5

5. 已知一次函数 y=k−1x．若 y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是
A. k<1B. k>1C. k<0D. k>0

6. 如图，在 △ABC 中，AB=5，BC=6，BC 边上的中线 AD=4，那么 AC 的长是
A. 5B. 6C. 34D. 213

7. 如图，在点 M，N，P，Q 中，一次函数 y=kx+2k<0 的图象不可能经过的点是
A. MB. NC. PD. Q

8. 如图是某一天北京与上海的气温 T（单位：∘C）随时间 t（单位：时）变化的图象．根据图中信息，下列说法错误的是
A. 12 时北京与上海的气温相同
B. 从 8 时到 11 时，北京比上海的气温高
C. 从 4 时到 14 时，北京、上海两地的气温逐渐升高
D. 这一天中上海气温达到 4∘C 的时间大约在上午 10 时

9. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的顶点 D 在 y 轴上，且 A−3,0，B2,b，则正方形 ABCD 的面积是
A. 13B. 20C. 25D. 34

10. 已知两个一次函数 y1，y2 的图象相互平行，它们的部分自变量与相应的函数值如下表：则 m 的值是
xm02y143ty26n−1
A. −13B. −3C. 12D. 5

二、填空题（共6小题；共30分）
11. x+2 在实数范围内有意义，那么 x 的取值范围是 ．

12. 已知 2−x+y+12=0，那么 yx 的值是 ．

13. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形 ABCD 中，AB=3，AC=2，则 BD 的长为 ．

14. 如图，E，F，M，N 分别是边长为 4 的正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE=BF=CM=DN．那么四边形 EFMN 的面积的最小值是 ．

15. 第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 2 月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目 40 次的训练测试，每次测试成绩分别为 5 分，4 分，3 分，2 分，1 分五档．甲乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示．根据下图判断，甲同学测试成绩的众数是 ；乙同学测试成绩的中位数是 ；甲乙两位同学中单板滑雪成绩更稳定的是 ．

16. 已知一次函数 y=kx+b 的图象过点 −1,0 和点 0,2．若 xkx+b<0，则 x 的取值范围是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：12+32×6．

18. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，AE=CF，求证：BE=DF．

19. 已知 x=5+1，求 x2−2x 的值．

20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A0,3，点 B3,0，一次函数 y=2x 的图象与直线 AB 交于点 M．
（1）求直线 AB 的函数解析式及 M 点的坐标；
（2）若点 N 是 x 轴上一点，且 △MNB 的面积为 6，求点 N 的坐标．

21. 如图，在 △ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，AC，BC 的中点，且 BC=2AF．
（1）求证：四边形 ADFE 为矩形；
（2）若 ∠C=30∘，AF=2，写出矩形 ADFE 的周长．

22. 阅读下列材料：2016 年人均阅读 16 本书！2017 年 4 月 23 日“世界读书日”之前，国际网络电商亚马逊发布了“亚马逊中国 2017 全民阅读报告”．报告显示，大部分读者已养成一定的阅读习惯，阅读总量在 10 本以上的占 56%，而去年阅读总量在 10 本以上的占 48%．京东图书也发布了 2016 年度图书阅读报告．根据京东图书文娱业务部数据统计，2016 年销售纸书人均 16 册，总量叠在一起相当于 15000 个帝国大厦的高．
（1）在亚马逊这项调查中，以每年有效问卷 1.4 万份来计，2017 年阅读量十本以上的人数比去年增加了 人；
（2）小雨作为学校的图书管理员，根据初二年级每位同学本学期的借书记录，对各个班借阅的情况作出了统计，并绘制统计图表如下：
初二年级各班图书借阅情况统计表
班级1234人数35353436借阅总数本182165143中位数5655
①全年级 140 名同学中有科技社团成员 40 名，他们人均阅读科普类书籍 1.5 本，年级其他同学人均阅读科普类书籍 1.08 本，请你计算全年级人均阅读科普类书籍的数量，再通过计算补全统计表；
②在①的条件下，若要推荐初二某个班级为本学期阅读先进集体，你会推荐哪个班，请写出你的理由．

23. 在四边形中，一条边上的两个角称为邻角．一条边上的邻角相等，且这条边的对边上的邻角也相等，这样的四边形叫做IT形．请你根据研究平行四边形及特殊四边形的方法，写出IT形的性质，把你的发现都写出来．

24. 如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是 CD 垂直平分线上的点，点 E 关于 BD 的对称点是 Eʹ，直线 DE 与直线 BEʹ 交于点 F．
（1）若点 E 是 CD 边的中点，连接 AF，则 ∠FAD= ∘；
（2）小明从老师那里了解到，只要点 E 不在正方形的中心，则直线 AF 与 AD 所夹锐角不变．他尝试改变点 E 的位置，计算相应角度，验证老师的说法．
①如图，将点 E 选在正方形内，且 △EAB 为等边三角形，求出直线 AF 与 AD 所夹锐角的度数；
②请你继续研究这个问题，可以延续小明的想法，也可用其它方法．
我想沿用小明的想法，把点 E 选在 CD 垂直平分线上的另一个特殊位置，我选择的位置是 ⋯⋯
我没有沿用小明的想法，我的想法是 ⋯⋯
我选择 小明的想法（填“用”或“不用”）；并简述求直线 AF 与 AD 所夹锐角度数的思路．

25. 对于正数 x，用符号 x 表示 x 的整数部分，例如：0.1=0，2.5=2，3=3．点 Aa,b 在第一象限内，以 A 为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直．其中垂直于 y 轴的边长为 a，垂直于 x 轴的边长为 b+1，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点 A 的矩形域．例如：点 3,32 的矩形域是一个以 3,32 为对角线交点，长为 3，宽为 2 的矩形所覆盖的区域，如图 1 所示，它的面积是 6．根据上面的定义，回答下列问题．
（1）在图 2 所示的坐标系中画出点 2,72 的矩形域，该矩形域的面积是 ；
（2）点 P2,72，Qa,72a>0 的矩形域重叠部分面积为 1，求 a 的值；
（3）已知点 Bm,nm>0 在直线 y=x+1 上，且点 B 的矩形域的面积 S 满足 4答案
第一部分
1. C
2. B
3. C
4. C
5. B
6. A
7. D
8. D
9. D
10. A
第二部分
11. x≥−2
12. 1
13. 42
14. 8
15. 3，3，乙同学
16. −1第三部分
17. 原式=23+33=53.
18. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF．
∴ 四边形 EBFD 是平行四边形．
∴BE=DF．
【解析】证法二：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC，∠A=∠C．
∵AE=CF．
∴△BAE≌△DCF．
∴BE=DF．
19. 解法一：
∵x=5+1，
∴x−1=5．
∴x2−2x=x2−2x+1−1=x−12−1=52−1=4.
【解析】解法二：
∵x=5+1，
∴x2−2x=xx−2=5+15+1−2=52−1=4.
20. （1） 设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+bk≠0．
由点 A0,3 、点 B3,0 可得：b=3,3k+b=0.
解得 k=−1,b=3.
∴ 直线 AB 的函数解析式为 y=−x+3．
由 y=2x,y=−x+3 得：x=1,y=2.
∴M 点的坐标为 1,2．
（2） 由已知可设点 N 的坐标为 x,0．
∵△MNB 的面积为 6，
∴12×yM×NB=12×2×∣x−3∣=6．
∴∣x−3∣=6．
∴x=9 或 x=−3．
∴ 点 N 的坐标为 −3,0 或 9,0．
21. （1） 证法一：
连接 DE．
∵E，F 分别是边 AC，BC 的中点，
∴EF∥AB，EF=12AB，
∵ 点 D 是边 AB 的中点，
∴AD=12AB，
∴AD=EF，
∴ 四边形 ADFE 为平行四边形．
由点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，可得：DE=12BC，
∵BC=2AF，
∴2DE=2AF，即 DE=AF，
∴ 四边形 ADFE 为矩形．
【解析】证法二：
∵E，F 分别是边 AC，BC 的中点，
∴EF∥AB，EF=12AB，BC=2BF，
∵ 点 D 是边 AB 的中点，
∴AD=12AB，
∴AD=EF，
∴ 四边形 ADFE 为平行四边形，
∵BC=2AF，
∴BF=AF，
∵ 点 D 是边 AB 的中点，
∴DF⊥AB，
∴∠ADF=90∘，
∴ 四边形 ADFE 为矩形．
（2） 23+2．
22. （1） 1120
（2） ①初二年级 140 名同学共阅读科普类书籍的数量为：1.5×40+1.08×100=168．
全年级人均阅读科普类书籍的数量为：168÷140=1.2．（或 1.5×40+1.08×100140=1.2．）
全年级 140 名同学共阅读的书籍数量为：168÷25%=672．
初二 2 班借阅图书总数为：672−182−165−143=182．
答：全年级人均阅读科普类书籍的数量为 1.2 本．
补全统计表如表所示：
班级1234人数35353436借阅总数本182182165143中位数5655
②答案不唯一，只要理由能支撑推荐结果就正确．
例如：如果将人均阅读量大或喜爱阅读的人较多或阅读量大的学生较多作为阅读先进集体的标准，则在 1，2 两班中推荐任一个班都正确. 推荐理由可从平均数和中位数的意义出发进行说明. 例如，推荐 1 班，因为 1 班和 2 班人均阅读量并列第一，但 1 班中位数较 2 班小，可推测 1 班每个同学阅读量比较接近，人人爱阅读，所以可推荐 1 班为先进班级；或者，推荐 2 班，因为 2 班和 1 班人均阅读量并列第一，但 2 班中位数较大，说明 2 班同学阅读量较大的人数比较多，所以可推荐 2 班为先进班级．
23. 称IT形中一条边上相等的邻角为IT形的底角，这条边叫做IT形的底边，夹在两底边间的边叫做IT形的腰．则IT形的性质如下：IT形中同一底上的两个底角相等；IT形的对角互补；IT形的两底边平行；IT形的两条对角线相等；IT形的两腰相等；IT形是轴对称图形．
24. （1） 45
（2） ① ∵△EAB 是等边三角形，
∴∠EBA=∠EAB=60∘，BE=EA=AB．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，∠ABD=45∘，∠BAD=90∘．
∴AE=AD，∠EAD=∠BAD−∠BAE=30∘．
∴∠AED=75∘．
∵ 点 Eʹ 是点 E 关于 BD 的对称点，
∴∠EʹBD=∠EBD=∠ABE−∠ABD=15∘．
∴∠FBE=30∘．
∴∠ABF=∠ABE−∠FBE=30∘．
∴∠ABF=∠EBF．
∵BF=BF，
∴△ABF≌△EBF．
∴FA=FE．
∴∠FAE=∠FEA=75∘．
∴∠FAD=∠FAE−∠EAD=45∘．
②用
方法一：
如图，我将点 E 选在 AB 边的中点．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴DA∥BC，AD=AB，∠ABC=∠BAD=90∘，∠ABD=∠CBD=45∘．
∵ 点 Eʹ 是点 E 关于 BD 的对称点，
∴∠EʹBD=∠EBD=45∘．
∴∠CBD=∠EʹBD．
∴Eʹ 在 BC 上．
∴F 在直线 BC 上．
∴BF∥AD．
∴∠FBE=∠DAE，∠BFE=∠ADE．
∵E 是 AB 的中点，
∴AE=EB，
∴△ADE≌△BFE．
∴AD=BF．
∴AB=BF．
∵∠FBA=180∘−∠ABC=90∘，
∴△ABF 是等腰直角三角形．
∴∠FAB=45∘．
∴∠FAD=135∘．
∴ 直线 AF 与 AD 所夹锐角为 45∘．
【解析】方法二：
如图，我将点 E 选在正方形外，使 ∠EDC=45∘ 的位置，连接 CE．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴DA=DC，∠BDA=∠BDC=45∘．
∵E 在 CD 的垂直平分线上，
∴ED=CE．
∴∠EDC=∠ECD．
∵∠EDC=45∘，
∴∠ECD=45∘，∠BDE=∠BDC+∠CDE=90∘．
∴ED⊥BD．
∵ 点 Eʹ 是点 E 关于 BD 的对称点，
∴EEʹ⊥BD．
∴Eʹ，D，E 三点共线．
∴ 点 Eʹ 与点 F 重合．
∴FD=DE，∠ADF=∠BDF−∠BDA=45∘．
∴∠ADF=∠CDE．
∴△ADF≌△CDE．
∴∠FAD=∠ECD=45∘．
如果不沿用小明的想法：
如：用解析法或几何方法证明一般结论等．
25. （1） 点 2,72 的矩形域如图所示，
8
（2） 如图所示，
∵ 点 P2,72，Qa,72a>0 的矩形域重叠部分面积为 1，且平行于 y 轴的边长均为 4，
∴ 点 P2,72，Qa,72a>0 的矩形域重叠部分也是一个矩形，且平行于 y 轴的边长为 4，平行于 x 轴的边长为 14．
①当 0②当 a>2 时，a−a2=3−14，解得 a=112．
∴a 的值为 56 或 112．
（3） 43