2019-2020学年天津市东丽区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市东丽区九上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 3 个白球，现从中任取 1 个球，则取到的是白球的概率为
A. 25B. 23C. 35D. 310

2. 若关于 x 的一元二次方程 x2−x−m=0 的一个根是 x=1，则 m 的值是
A. 1B. 0C. −1D. 2

3. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 抛物线 y=x+22−3 的顶点坐标是
A. 2,−3B. −2,−3C. −2,3D. 2,3

5. 下列判断中正确的是
A. 长度相等的弧是等弧
B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦

6. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，点 C 在圆上，已知 ∠AOB=100∘，则 ∠C=
A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 80∘

7. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 90∘，得到 △ADE，连接 BD，若 AC=3，DE=1．则线段 BD 的长为
A. 25B. 23C. 4D. 210

8. 一元二次方程 x2−4x+4=0 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定

9. 已知抛物线 y=x2−x−1 与 x 轴的一个交点为 m,0，则代数式 m2−m+2016 的值为
A. 2015B. 2016C. 2017D. 2010

10. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 x2−4x+3=0 的根，则该三角形的周长是
A. 5B. 7C. 5 或 7D. 10

11. 函数 y=x2−2x−3 中，当 −2≤x≤3 时，函数值 y 的取值范围是
A. −4≤y≤5B. 0≤y≤5C. −4≤y≤0D. −2≤y≤3

12. 已知 △ABC 和 △ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90∘，AC=22，AD=1，F 是 BE 的中点．若将 △ADE 绕点 A 旋转一周，则线段 AF 长度的取值范围是
A. 4−22≤AF≤4+22B. 2≤AF≤3
C. 4−22≤AF≤3D. 2−22≤AF≤2+22

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 已知一元二次方程 x2−3x−1=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2= ．

14. 如图，在半径为 5 cm 的 ⊙O 中，弦 AB=6 cm，OC⊥AB 于点 C，则 OC= ．

15. 已知二次函数 y=x−22+3，当 x 时，y 随 x 的增大而减小．

16. 圆内接正六边形的边心距为 23 cm，则这个正六边形的面积为 cm2．

17. 如图，AB 是半径为 4 的 ⊙O 的直径，P 是圆上异于 A，B 的任意一点，∠APB 的平分线交 ⊙O 于点 C，连接 AC 和 BC，△ABC 的中位线所在的直线与 ⊙O 相交于点 E，F，则 EF 的长是 ．

18. 从如图所示的二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象中，观察得出了下面五条信息：
①abc<0；②a+b+c<0；③b+2c>0；④a−2b+4c>0；⑤a=32b，你认为其中正确的信息有 个．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解方程：3xx−2=22−x．

20. 如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字 1，2，3，4．转动A，B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用画树状图法或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．

21. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，AC 为直径，AB=BD，BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E，求证：
（1）∠ECB=∠BAD；
（2）BE 是 ⊙O 的切线．

22. 已知：抛物线 y=−x2+bx+c 经过 A−1,0，B5,0 两点，顶点为 P．
（1）求 b，c 的值；
（2）求 △ABP 的面积．

23. 如图，用长为 6 m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为 x m，窗户的透光面积为 y m2（铝合金条的宽度不计）．
（1）求出 y 与 x 的函数关系式；
（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大?并求出此时的最大面积．

24. 如图 1，已知 O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA 到点 F，OD 到点 E，使 OF=2OA，OE=2OD，连接 EF，将 △FOE 绕点 O 逆时针旋转 α 得到 △FʹOEʹ（如图 2）．连接 AEʹ，BFʹ．
（1）探究 AEʹ 与 BFʹ 的数量关系，并给予证明；
（2）当 α=30∘，AB=2 时，求：
① ∠AEʹO 的度数；
② BFʹ 的长度．

25. 如图，抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），点 A 的坐标为 −1,0，抛物线与 y 轴交于点 C0,3，作直线 BC，动点 P 在 x 轴上运动，过点 P 作 PM⊥x轴，交抛物线于点 M，交直线 BC 于点 N，设点 P 的横坐标为 m．
（1）求抛物线的解析式和直线 BC 的解析式；
（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，求线段 MN 的最大值；
（3）当以 C，O，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 m 的值．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. A【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．
4. B
5. C
6. B
7. A
8. B
9. C
10. B
11. A
12. A
第二部分
13. 3
14. 4 cm
15. <2（或 ≤2）
16. 243
17. 43
18. 4
第三部分
19. 由原方程，得
3x+2x−2=0.
所以
3x+2=0 或 x−2=0.
解得
x1=−23,x2=2.
20. （1） 画树状图得：
共有 12 种等可能的结果．
（2） ∵ 共有 12 种等可能的结果，两个数字的积为奇数的有 4 种情况，
∴ 两个数字的积为奇数的概率为：412=13．
21. （1） 因为四边形 ABCD 是圆内接四边形，
所以 ∠BAD+∠BCD=180∘，
因为 ∠BCD+∠BCE=180∘，
所以 ∠ECB=∠BAD．
（2） 连接 OB，OD，
在 △ABO 和 △DBO 中，
AB=BD,BO=BO,OA=OD,
所以 △ABO≌△DBO，
所以 ∠DBO=∠ABO，
因为 ∠ABO=∠OAB=∠BDC，
所以 ∠DBO=∠BDC，
所以 OB∥ED，
因为 BE⊥ED，
所以 EB⊥BO，
所以 BE 是 ⊙O 的切线．
22. （1） ∵ 抛物线经过点 A，B，
∴ 设抛物线的解析式为 y=−x+1x−5，
∴ y=−x2+4x+5，
∴b=4，c=5；
（2） ∵y=−x2+4x+5=−x−22+9，
∴ P 点坐标为 2,9，
∴ S△ABP=12×6×9=27．
23. （1） ∵ 铝合金条长为 6 m，窗框宽为 x m，
∴ 窗框长为 6−3x2 m，
∴y=x⋅6−3x2=−32x2+3x0 （2） 由（1）可知：y=−32x2+3x0 a=−32<0，
∴ 抛物线开口向下，函数有最大值，
当 x=−32×−32=1 时，y最大=32，此时窗框长为 6−3x2=6−3×12=32m，
答：窗框的长和宽分别为 1.5 m 和 1 m 时可使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为 1.5 m2．
24. （1） AEʹ=BFʹ，
证明：正方形 ABCD 中，OA=OD=OB，
∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，
∴ OEʹ=OFʹ，
∵ ∠AOD=∠AOB，旋转后 ∠DOEʹ=∠AOFʹ，
∴ ∠AOEʹ=∠BOFʹ，
在 △AOEʹ 和 △BOFʹ 中，
OEʹ=OFʹ,∠AOEʹ=∠BOFʹ,OA=OB,
∴△AOEʹ≌△BOFʹ，
∴AEʹ=BFʹ．
（2） ①延长 OA 到 M，如图，使 AM=OA，连接 MEʹ，
∵ OEʹ=2OD，
∴ OM=OEʹ．
∵ 正方形 ABCD 中，∠AOD=90∘，
∴∠AOEʹ=90∘−30∘=60∘，
∴△OMEʹ 是等边三角形，
∵AM=OA，
∴AEʹ⊥OM，
∴∠EʹAO=90∘，
∴ 在 Rt△AOEʹ 中，∠AEʹO=90∘−∠AOEʹ=30∘．
② ∵ ∠AOEʹ=90∘−α=60∘，∠EʹOFʹ=90∘，
∴∠AOFʹ=30∘，
∵∠AOB=90∘，
∴∠BOFʹ=60∘，
∵ 等腰直角 △AOB 中，OB=22AB=2，
∴ 在 Rt△AOEʹ 中，AEʹ=3OA=6，
∵BFʹ=AEʹ，
∴BFʹ=6．
25. （1） 因为抛物线过 A，C 两点，
所以把 A，C 两点坐标分别代入抛物线解析式可得：−1−b+c=0,c=3,
解得：b=2,c=3,
所以抛物线解析式为 y=−x2+2x+3，
令 y=0 可得，−x2+2x+3=0，解得 x1=−1，x2=3，
因为 B 点在 A 点右侧，
所以 B 点坐标为 3,0，
设直线 BC 解析式为 y=kx+s，
把 B，C 坐标代入可得 3k+s=0,s=3,
解得 k=−1,s=3,
所以直线 BC 解析式为 y=−x+3；
（2） 因为 PM⊥x轴，点 P 的横坐标为 m0≤m≤3，
所以 Mm,−m2+2m+3，Nm,−m+3，
因为 P 在线段 OB 上运动，
所以 M 点在 N 点上方，
所以
MN=−m2+2m+3−−m+3=−m2+3m=−m−322+94,
所以当 m=32 时，MN 有最大值，MN 的最大值为 94；
（3） m 的值为 3+212 或 3−212．