2019-2020学年北京市门头沟区七下期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市门头沟区七下期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，羊二，直金十两；牛二，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 点 P2,1 在平面直角坐标系中所在的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

2. 计算 50 的结果是
A. 0B. 1C. 50D. 5

3. 人体中成熟的红细胞平均直径为 0.00077 厘米，将数字 0.00077 用科学记数法表示为
A. 7.7×10−3B. 77×10−4C. 77×10−3D. 7.7×10−4

4. 下列计算正确的是
A. a3⋅a3=2a6B. a3+a3=a6C. a3÷a5=1a2D. a33=a6

5. 已知 aA. a−3>b−3B. 3a−1>3b−1C. −3a>−3bD. a3>b3

6. 如图所示，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若 ∠1=65∘，则 ∠2 的度数为
A. 10∘B. 15∘C. 20∘D. 25∘

7. 在下列命题中，为真命题的是
A. 相等的角是对顶角
B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 同旁内角互补
D. 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直

8. 如图，在一个三角形三个顶点和中心处的每个“〇”中各填有一个式子，如果图中任意三个“〇”中的式子之和均相等，那么 a 的值为
A. 1B. 2C. 3D. 0

9. 如图是某市 10 月 1 日至 7 日一周内“日平均气温变化统计图”．在这组数据中，众数和中位数分别是
A. 13，13B. 14，14C. 13，14D. 14，13

10. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P1,0，点 P 第 1 次向上跳动 1 个单位至点 P11,1，紧接着第 2 次向左跳动 2 个单位至点 P2−1,1，第 3 次向上跳动 1 个单位至点 P3，第 4 次向右跳动 3 个单位至点 P4，第 5 次又向上跳动 1 个单位至点 P5，第 6 次向左跳动 4 个单位至点 P6，⋯⋯．
照此规律，点 P 第 100 次跳动至点 P100 的坐标是
A. −26,50B. −25,50C. 26,50D. 25,50

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 如果把方程 3x+y=2 写成用含 x 的代数式表示 y 的形式，那么 y= ．

12. 图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式 ．

13. 因式分解：a3−4a= ．

14. 如果 ∠1 与 ∠2 互余，∠3 与 ∠2 互余，∠1=35∘，那么 ∠3= 度．

15. 如果关于 x，y 的二元一次方程组 3x+y=1+a,x+3y=3 的解满足 x+y<2，那么 a 的取值范围是 ．

16. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何?”译文：“假设有 5 头牛、 2 只羊，值金 10 两；2 头牛、 5 只羊，值金 8 两．问：每头牛、每只羊各值金多少两?”设每头牛值金 x 两，每只羊值金 y 两，可列方程组为 ．

17. 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，AB⊥CD，OG 平分 ∠AOE，如果 ∠FOD=28∘，那么 ∠AOG= 度．

18. 学完一元一次不等式解法后，老师布置了如下练习：
解不等式 15−3x2≥7−x，并把它的解集在数轴上表示出来．
以下是小明的解答过程：
解：第一步 去分母，得
15−3x≥27−x,
第二步 去括号，得
15−3x≥14−2x,
第三步 移项，得
−3x+2x≥14−15,
第四步 合并同类项，得
−x≥−1,
第五步 系数化为 1，得
x≥1.
第六步 把它的解集在数轴上表示为：
老师看后说：“小明的解题过程有错误！”
问：请指出小明从第几步开始出现了错误，并说明判断依据．
答： ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 计算：
（1）a2−a+a+1a−1；
（2）x+yx2+y2x−yx4+y4；
（3）a−2b+3a+2b−3；
（4）x−y2+x+y2x2−y2．

20. 解下列方程组：
（1）y=5−x,x−2y=2;
（2）2x−3y=3,3x−2y=7.

21. 已知 x=12，y=13，求 x+y2+x+yx−y−2x3y÷xy 的值．

22. 解不等式组 4x+1≤7x+10,x−5
23. 完成下面的证明：
已知：如图，D 是 BC 上任意一点，BE⊥AD，交 AD 的延长线于点 E，CF⊥AD，垂足为 F．
求证：∠1=∠2．
证明：∵ BE⊥AD（已知），
∴ ∠BED= ∘ ．
又 ∵ CF⊥AD（已知），
∴ ∠CFD= ∘．
∴ ∠BED=∠CFD（等量代换）．
∴ BE∥CF ．
∴ ∠1=∠2 ．

24. 为了更好的开展“我爱阅读”活动，小明针对某校七年级学生（共 16 个班，480 名学生）课外阅读喜欢图书的种类（每人只能选一种书籍）进行了调查．
（1）小明采取的下列调查方式中，比较合理的是 ；理由是： ．
A．对七年级（1）班的全体同学进行问卷调查；
B．对七年级各班的语文科代表进行问卷调查；
C．对七年级各班学号为 3 的倍数的全体同学进行问卷调查．
（2）小明根据问卷调查的结果绘制了两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题：
①在扇形统计图中，“其它”所在的扇形的圆心角等于 度；
②补全条形统计图；
③根据调查结果，估计七年级课外阅读喜欢“漫画”的同学有 名．

25. 为建设京西绿色走廊，改善永定河水质，某治污公司决定购买 10 台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如表：
A型B型价格万元/台xy处理污水量吨/月240200
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多 2 万元，购买 2 台A型设备比购买 3 台B型设备少 6 万元．
（1）求 x，y 的值；
（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过 105 万元，求该治污公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于 2040 吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案．

26. 已知：△ABC 和同一平面内的点 D．
（1）如图 1，点 D 在 BC 边上，过 D 作 DE∥BA 交 AC 于 E，DF∥CA 交 AB 于 F．
①依题意，在图 1 中补全图形；
②判断 ∠EDF 与 ∠A 的数量关系，并直接写出结论（不需证明）．
（2）如图 2，点 D 在 BC 的延长线上，DF∥CA，∠EDF=∠A．判断 DE 与 BA 的位置关系，并证明．
（3）如图 3，点 D 是 △ABC 外部的一个动点，过 D 作 DE∥BA 交直线 AC 于 E，DF∥CA 交直线 AB 于 F，直接写出 ∠EDF 与 ∠A 的数量关系（不需证明）．

27. 定义一种新运算“a☆b”的含义为：当 a≥b 时，a☆b=a+b；当 a例如：3☆−4=3+−4=−1，−6☆12=−6−12=−612．
（1）填空：−4☆3= ；
（2）如果 3x−4☆2x+8=3x−4−2x+8，求 x 的取值范围；
（3）填空：x2−2x+3☆−x2+2x−5= ；
（4）如果 3x−7☆3−2x=2，求 x 的值．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. D
4. C
5. C
6. D【解析】如图所示：
∵∠1=65∘，
∴∠3=65∘．
∵∠3 与 ∠2 互余，
∴∠2=25∘．
7. B
8. A
9. D
10. C
【解析】经过观察得：
P1 和 P2 的纵坐标均为 1，
P3 和 P4 的纵坐标均为 2，
P5 和 P6 的纵坐标均为 3，
因此可以推知 P99 和 P100 的纵坐标均为 100÷2=50；
其中 4 的倍数的跳动都在 y 轴的右侧，那么第 100 次跳动得到的横坐标也在 y 轴右侧．
P1 横坐标为 1，P4 横坐标为 2，P8 横坐标为 3，依此类推可得到点 P100 的横坐标为：100÷4+1=26，纵坐标为：100÷2=50，点 P 第 100 次跳动至点 P100 的坐标是 26,50．
第二部分
11. 2−3x
12. am+bm+cm=ma+b+c
13. aa−2a+2
14. 35
15. a<4
16. 5x+2y=10,2x+5y=8
17. 59
【解析】∵AB⊥CD，
∴∠AOD=90∘，
∵∠FOD=28∘，
∴∠AOF=90∘−28∘=62∘，
∴∠AOE=180∘−62∘=118∘．
∵OG 平分 ∠AOE，
∴∠AOG=12∠AOE=12×118∘=59∘．
18. 第五步，不等式的基本性质 3（不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向要改变）
【解析】
15−3x≥27−x,
去括号，得
15−3x≥14−2x,
移项，得
−3x+2x≥14−15,
合并同类项，得
−x≥−1,
系数化为 1，得
x≤1.
（不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向要改变）．
第三部分
19. （1） 原式=2a−a2+a2−1=2a−1.
（2） 原式=x+yx−yx2+y2x4+y4=x2−y2x2+y2x4+y4=x4−y4x4+y4=x8−y8.
（3） 原式=a−2b−3a+2b−3=a2−2b−32=a2−4b2+12b−9.
（4） 原式=x2−2xy+y2+x2+2xy+y2x2−y2=2x2+y2x2−y2=2x4−2y4.
20. （1）
y=5−x, ⋯⋯①x−2y=2, ⋯⋯②
把 ① 代入 ② 得
x−25−x=2,
解得
x=4.
把 x=4 代入得 ①
y=5−4=1,∴
原方程组的解为
x=4,y=1.
（2）
2x−3y=3, ⋯⋯①3x−2y=7, ⋯⋯②
由 ①×3 得
6x−9y=9, ⋯⋯③
由 ②×2 得
6x−4y=14, ⋯⋯④③−④
得
−9y+4y=9−14,
解得
y=1.
把 y=1 代入 ① 得
2x−3=3,
解得
x=3,∴
原方程组的解为
x=3,y=1.
21. x+y2+x+yx−y−2x3y÷xy=x2+2xy+y2+x2−y2−2x2=2xy.
∴ 当 x=12，y=13 时，原式=2×12×13=13．
22. 4x+1≤7x+10, ⋯⋯①x−5由 ① 得
x≥−2,
由 ② 得
x<72,
∴−2≤x<72，
∴ 非负整数解为 0，1，2，3．
23. 90；垂直的定义；90；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
24. （1） C；此抽样调查的所得样本具有代表性
【解析】小明采取的下列调查方式中，比较合理的是C；理由是此抽样调查的所得样本具有代表性．
（2） ① 36；
②科普类人数为 200−80+40+20=60（名），如图．
③ 96
【解析】①本次调查的总人数为 80÷40%=200（名），则“其它”所在的扇形的圆心角等于 360∘×20200=36∘．
③估计七年级课外阅读喜欢“漫画”的同学有 480×40200=96（名）．
25. （1） 由题意，得
x−y=2,2x−3y=−6.
解得
x=12,y=10.
答：x，y 的值分别为 12，10．
（2） 设治污公司决定购买A型设备 a 台，则购买B型设备 10−a 台．
由题意，得
12a+1010−a≤105.
解得
a≤52.∴
该公司有以下三种方案：
A型设备 0 台，B型设备为 10 台；
A型设备 1 台，B型设备为 9 台；
A型设备 2 台，B型设备为 8 台．
（3） 由题意，得
240a+20010−a≥2040.
解得：
a≥1.∴
购买A型设备 1 台，B型设备 9 台最省钱．
26. （1） ①补全图形，如图 1 所示；
② ∠EDF=∠A．
【解析】②理由：
∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠A=∠DEC，∠DEC=∠EDF，
∴∠A=∠EDF．
（2） DE∥BA．
证明：如图 2，延长 BA 交 DF 与 G．
∵DF∥CA，
∴∠2=∠3．
又 ∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
∴DE∥BA．
（3） ∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180∘．
【解析】由（2）知：∠EDF=∠A，当动点位于如图 3 位置时，
∵DE∥BA，DF∥CA
∴∠BAC=∠AFD，∠AFD+∠EDF=180∘，
∴∠BAC+∠EDF=180∘．
27. （1） −7
【解析】由题意：
原式=−4−3=−7.
（2） 由题意得 3x−4<2x+8，解得 x<12．
∴ x 的取值范围是 x<12．
（3） −2
【解析】由题意可知：
x2−2x+3−−x2+2x−5=x2−2x+3+x2−2x+5=2x2−4x+8=2x2−2x+1+6=2x+12+6>0.
即 x2−2x+3>−x2+2x−5，
∴原式=x2−2x+3+−x2+2x−5=−2.
（4） 当 3x−7≥3−2x，即 x≥2 时，
由题意得 3x−7+3−2x=2，解得 x=6．
当 3x−7<3−2x，即 x<2 时，
由题意得 3x−7−3−2x=2，解得 x=125（舍）．
∴ x 的值为 6．