2019-2020学年成都市青羊区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年成都市青羊区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. sin60∘ 的值等于
A. 12B. 22C. 32D. 1

2. 从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是

A. B.
C. D.

3. 如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，若 ∠AOD=120∘，AB=2.5 cm，则矩形的对角线长为
A. 3 cmB. 4 cmC. 5 cmD. 6 cm

4. 不等式组 x+1>0,x−3>0 的解集是
A. x>−1B. x>3C. −1
5. △ABC 与 △DEF 的相似比为 1：4，则 △ABC 与 △DEF 的周长比为
A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：16

6. 若双曲线 y=2x 过两点 x1,y1，x2,y2，则 y1 与 y2 的大小关系为
A. y1>y2B. y1
7. 二次函数 y=m−2x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是
A. m≤3B. m<3
C. m<3 且 m≠2D. m≤3 且 m≠2

8. a，b，c 是 △ABC 的 ∠A，∠B，∠C 的对边，且 a:b:c=1:2:3，csB 的值为
A. 63B. 33C. 22D. 32

9. 如图，⊙O 的直径垂直弦 CD，垂足是 E，∠A=22.5∘，OC=4，CD 的长为
A. 22B. 4C. 42D. 8

10. 在同一直角坐标系中，函数 y=ax+1 和 y=ax2+bx+1a≠0 的图象可能是
A. B.
C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 点 23,−3 在反比例函数 y=kx 的图象上，该反比例函数的图象位于第 象限．

12. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，∠AOD=30∘，则 ∠BCD 的度数是 ．

13. 甲、乙两盏路灯底部间的距离是 30 米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部 5 米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为 1.5 米，那么路灯甲的高为 米．

14. 从 1，−1，2 三个数中任意取一个，作为一次函数 y=kx+3 的 k 值，则该一次函数中 y 随 x 增大而增大的概率为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. （1）解方程：xx−2=x−2；
（2）先化简，再求值：1x−1−1x+1÷x+2x2−1，其中 x=3−1．

16. 如图，AD 是 △ABC 的高，AD=h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E．当 SR=12BC 时，求 DE 的长．

17. 如图，某市对位于笔直公路 AC 上两个小区 A，B 的供水路线进行优化改造．供水站 M 在笔直公路 AD 上，测得供水站 M 在小区 A 的南偏东 60∘ 方向，在小区 B 的西南方向，小区 A，B 之间的距离为 9003+1m，求供水站 M 分别到小区 A，B 的距离．（结果可保留根号）

18. 四川省某地区为了了解 2016 年初中毕业生毕业去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生毕业后的四种去向：A．读普通高中；B．读职业高中；C．直接进入社会就业；D．其他（如出国等）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（如图 1，如图 2）．
（1）填空：该地区共调查了 名九年级学生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）若该地区 2016 年初中毕业生共有 6500 名，请估计该地区今年初中毕业生中读普通高中的学生人数；
（4）老师想从甲，乙，丙，丁 4 位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用画树状图或列表的方法求选中甲同学的概率．

19. 已知反比例函数 y1=kx 的图象与一次函数 y2=ax+b 的图象交于点 A1,4 和点 Bm,−2．
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得 y1>y2 成立的自变量 x 的取值范围；
（3）如果点 C 与点 A 关于 x 轴对称，求 △ABC 的面积．

20. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，点 D 在半径 OA 上（不与点 O，A 重合）．
（1）如图 1，若 ∠COA=60∘，∠CDO=75∘，求 ∠ACD 的度数．
（2）如图 2，点 E 在线段 OD 上（不与 O，D 重合），CD，CE 的延长线分别交 ⊙O 于点 F，G，连接 BF，BG，点 P 是 CO 的延长线与 BF 的交点，若 CD=2，BG=4，∠OCD=∠OBG，∠CFP=∠CPF，求 CG2+CF2 的长．

四、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知：关于 x 的方程 x2+2mx+m2−1=0．若方程有一个根为 x=3，则 m= ．

22. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A−2,7，B6,7，C3,−8，则该抛物线上纵坐标为 −8 的另一个点的坐标为 ．

23. 如图，⊙O 直径 AB 垂直弦 CD 于点 E．连接 CO 并延长交 AD 于点 F．若 CF 平分 AD，AB=2．CD 的长为 ．

24. 以 OA 为斜边作等腰 Rt△OAB，再以 OB 为斜边在 △OAB 外侧作等腰 Rt△OBC，如此继续，得到 8 个等腰直角三角形（如图所示），则图中 △OAB 与 △OHI 的面积的比值是 ．

25. 已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4，∠ABC=60∘，∠EAF 的两边分别与射线 CB，DC 相交于点 E，F，且 ∠EAF=60∘．如图，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且 ∠EAB=15∘ 时，点 F 到 BC 的距离为 ．

五、解答题（共3小题；共39分）
26. 某果园原计划种 100 棵桃树．一棵桃树平均结 1000 个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．实验发现，每多种 1 棵桃树，每棵桃树的产量就会减少 2 个，但多种桃树不能超过 100 棵，如果要使产量增加 15.2%，那么应多种多少棵桃树?

27. 如图，以菱形 ABCD 对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A，B 两点的坐标分别为 −6,0，0,−3，直线 DE⊥DC 交 AC 于点 E．动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿着 A→D→C 的路线向终点 C 匀速运动，设 △PDE 的面积为 SS≠0，点 P 的运动时间为 t 秒．
（1）求 E 点的坐标；
（2）求 S 与 t 之间的函数关系式．并写出自变量 t 的取值范围；
（3）当 ∠EPD+∠DCB=90∘，求出直线 BP 与直线 AC 所夹锐角的正切值．

28. 如图，已知抛物线经过原点 O，顶点 A2,2，且与直线 y=x−4 交于 B，C．
（1）求抛物线的解析式及 C 点的坐标；
（2）求证：AB⊥BC；
（3）若点 N 为 x 轴上一个动点，过点 N 作 MN⊥x 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与 △ABC 相似?若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. A【解析】从上向下看，茶壶的嘴和把成一条“线”．
3. C
4. B【解析】解不等式 x+1>0，得 x>−1；
解不等式 x−3>0，得 x>3，
∴ x>3．
∴ 不等式组的解集为 x>3．
5. C
6. D
7. D
8. B
9. C【解析】∵ ∠A=22.5∘，
∴ ∠BOC=2∠A=45∘，
∵ ⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，
∴ CE=DE，△OCE 为等腰直角三角形，
∴ CE=22OC=22，
∴ CD=2CE=42．
10. C
【解析】A．根据一次函数图象知道 a<0，与 y 轴的交点不是 0,1，故选项错误；
B．根据二次函数的图象知道 a<0，同时与 y 轴的交点是 0,1，但是根据一次函数的图象知道 a>0，故选项错误；
C．根据图象知道两个函数图象与 y 轴的交点坐标为 0,1，同时也知道 a>0，故选项正确；
D．根据一次函数图象知道 a<0，根据二次函数的图象知道 a>0，故选项错误．
第二部分
11. 二、四
12. 105∘
13. 9
14. 23
第三部分
15. （1）
x−1x−2=0.
解得
x1=1,x2=2.
（2） 1x−1−1x+1÷x+2x2−1=2x2−1⋅x2−1x+2=2x+2.
∵x=3−1，
∴原式=23−1+2=3−1.
16. ∵SR⊥AD，SR=12BC，
∴SR 为 △ABC 的中位线，
∴AEAD=SRBC=12，
∴DE=12h．
17. 设 MB 的长为 x m，
则 xsin45∘+3xsin45∘=9003+1，
解得 x=9002，
∴AM=9002sin45∘×2=1800m．
18. （1） 200
（2） 200×35%=70（名），
16÷200=8%，
补图如图所示．
（3） 6500×55%=3575（名），
∴ 读普通高中的学生的个数为 3575 名．
（4） P=12，树状图如图．
共有 12 种等可能的情况，选中甲同学的情况有 6 种，
∴P=612=12．
19. （1） 因为函数 y1=kx 的图象过点 A1,4，即 4=k1，
所以 k=4，即 y1=4x，
又因为点 Bm,−2 在 y1=4x 上，
所以 m=−2，
所以 B−2,−2，
一次函数 y2=ax+b 过 A，B 两点，
即 −2a+b=−2,a+b=4,
解得 a=2,b=2.
所以 y2=2x+2．
所以这两个函数的关系式分别为 y1=4x，y2=2x+2．
（2） x<−2 或 0 （3） 如图所示，连接 AC，BC，过点 B 作 AC 上的垂线段交 AC 于 D．
由图形及题意可得：AC=8，BD=3，
所以 S△ABC=12AC×BD=12×8×3=12．
20. （1） ∵ ∠DCO=180∘−∠CDO−∠COD=180∘−60∘−75∘=45∘．
∴ ∠ACD=∠ACO−∠DCO=60∘−45∘=15∘．
（2） 延长 CP 交 BG 于点 M，交 ⊙O 于点 N，
在 △OCD 和 △OBM 中，
∠1=∠2,OC=OB,∠OCD=∠OBM,
∴ △OCD≌△OBM，
∴ CD=BM=2，
∵ BG=4，
∴ GM=4−2=2，
连接 OG，
∵ △OGB 为等腰三角形且 M 为 BG 的中点，
∴ OM⊥BG，
∴ ∠OMB=∠ODC=90∘，
由垂径定理可知 CD=DF=2，
∴ CF=4，
∴ CF2=16，
又 ∵ ∠3=∠4=∠5，∠6=∠7 且 ∠5+∠7=90∘，
∴ ∠3+∠6=90∘，
∴ CQ⊥FP，
又 ∵ ∠3=∠4，
∴ △CFP 为等腰三角形，
∴ ∠6=∠8=∠7，
又 ∵ ∠6+∠8=∠7+∠9，
∴ ∠6=∠7=∠8=∠9，
∴ AF=FG=GN，
由垂径定理可知 CA=AF，
∴ CA=AF=FG=GN，
又 ∵ CN 为 ⊙O 的直径，
∴ ∠1=45∘，
∴ △CDO 为等腰直角三角形，
∴ CO=22，OM=CD=2，
在 Rt△CGM 中：CG2=CM2+MG2=22+22+22=16+82，
∴ CF2+CG2=16+16+82=32+82．
第四部分
21. −2 或 −4
22. 1,−8
23. 3
24. 128
【解析】由题可知所有的三角形相似，且相邻的两个三角形的相似比为 1:2，
∴ 相邻两个三角形的面积比为 1:2，△OAB 与 △OHI 的面积比值是 27，即 128．
25. 3−3
【解析】过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，过点 F 作 FH⊥EC 于点 H，连接 AC，
∵∠EAB=15∘，∠ABC=60∘，
∴∠AEB=60∘−15∘=45∘．
由（1）知 △ABC 是等边三角形，AG⊥BC，
∴BG=12BC=12AB．
在 Rt△AGB 中，AB=4，
∴BG=2，AG=AB2−BG2=23．
在 Rt△AEG 中，∠AEG=45∘，
∴AG=GE=23，
∴EB=EG−BG=23−2．
∵∠ABE=180∘−∠ABC=120∘，∠ACF=∠ACE+∠FCE，AD∥EC，∠ACE=60∘，
∴∠ACF=∠ABE．
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠EAB=∠FAC，
在 △AEB 和 △AFC 中，
∠EAB=∠FAC,AB=AC,∠ABE=∠ACF,
∴△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，EB=CF=23−2，
在 Rt△HFC 中，∠FHC=90∘，∠HCF=60∘，
∴HC=12CF=3−1，HF=3HC=3−3．
∴ 点 F 到 BC 的距离为 3−3．
第五部分
26. 设应多种 x 棵桃树，产量为 y 个．
y=100+x1000−2x,y=−2x2+800x+1000000≤x≤100,y=−2x2+800x+100000=100000×15.2%+1,x2−400x+7600=0,x−20x−380=0,x1=20,x2=380舍,
答：应多种 20 棵桃树．
27. （1） ∵ DE⊥CD，
∴ ∠EDO+∠CDO=90∘，
又 ∠CDO+∠DCO=90∘，
∴ ∠EDO=∠DCO，
∵ ∠EOD=∠DOC=90∘，
∴ △DOE∽△COD，
∴ ODCO=OEOD，
∴ OD2=CO×OE，
∵ OD=3，CO=6，
∴ OE=32，
∴ E−32,0．
（2） 过 P 作 x 轴垂线交 x 轴于 H，
①0≤t<352，
∵AP1=2t，tan∠DAO=12，
∴P1H1=2t5，S△AP1E=12×92⋅2t5=9t25，
又 S△ADE=274，
∴S=274−9510t．
②352 S△CDE=454，
∵CP2=65−2t，tan∠DCO=12，
∴P2H2=6−2t5，S△P2EC=12×1526−2t5=−352t+452，
S=454+352t−452=352t−454，
S=−9510t+274,0≤t<352352t−454,352 （3） 过点 E 作 AD 的垂线交 AD 于点 F，设 BP 与 AC 相交于点 Q，
在菱形 ABCD 中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，
故 DE⊥AB，∠DAB+∠ADE=90∘，
∴ 要使 ∠EPD+∠DCB=90∘，则 ∠EPD=∠ADE．
当点 P 在 AD 上运动时，如图，
由 ∠EPD=∠ADE 得 EF 垂直平分 PD，
∴ AP=AD−2DF，即 2t=35−23522−95102=655，
t=355，
此时 AP=655．
由 AP∥BC 得 △APQ∽△CBQ，
故 AQCQ=APBC，即 AQAC−AQ=APBC，得 OQ=OA−AQ=4，
在 Rt△OBQ 中，tan∠OQB=OBOQ=34．
当点 P 在 DC 上运动时，如图所示，
∵ ∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90∘，
∴ △EDP∽△EFD，
∴ DPDF=DEEF，
∴ DP=DE⋅DFEF=25，
由 2t=AD+DP=55，解得 t=552，
此时 CP=DC−DP=5，
由 PC∥AB 得 △CPQ∽△ABQ，
故 CQAQ=CPAB，即 CQAC−CQ=CPAB，
∴ CQ12−CQ=13，
∴ CQ=3，OQ=OC−CQ=3，
在 Rt△AOB 中，tan∠OQB=OBOQ=1，
综上所述，当 t=355 时，∠EPD+∠DCB=90∘，此时直线 BP 与 AC 所夹锐角的正切值为 34；当 t=552 时，∠EPD+∠DCB=90∘，此时直线 BP 与 AC 所夹锐角的正切值为 1．
28. （1） ∵ 顶点坐标为 2,2，
∴ 设抛物线解析式为 y=ax−22+2，
又 ∵ 抛物线经过原点，
∴0=a0−22+2，解得 a=−12，
∴ 抛物线解析式为 y=−12x−22+2，
即 y=−12x2+2x，
联立 y=−12x2+2x,y=x−4,
解得 x=4,y=0, x=−2,y=−6,
∴C 点坐标为 −2,−6．
（2） 如图，分别过 A，C 两点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 D，E 两点，
则 AD=OD=BD=2，BE=OB+OE=6，EC=6，
∴∠ABO=∠CBD=45∘，即 ∠ABC=90∘，
∴AB⊥BC．
（3） 假设存在满足条件的点 N，设 Nx,0，
则 Mx,−12x2+2x，
∴ON=∣x∣，MN=−12x2+2x，
由（2）在 Rt△ABD 和 Rt△CEB 中，可求得 AB=22，BC=62，
∵MN⊥x 轴于点 N，
∴∠ABC=∠MNO=90∘，
∴ 当 △ABC 和 △MNO 相似时有 MNAB=ONBC 或 MNBC=ONAB，
①当 MNAB=ONBC 时，有 −12x2+2x22=∣x∣62，即 ∣x∣⋅−12x+2=13∣x∣，
当 x=0 时，M，O，N 不能构成三角形，
∴x≠0，
∴−12x+2=13，解得 x=103 或 x=143，
②当 MNBC=ONAB 时，有 −12x2+2x62=∣x∣22，
即 ∣x∣⋅−12x+2=3∣x∣，
∴−12x+2=3，解得 x=−2 或 x=10．
综上所述，存在满足条件的 N 点，其坐标为 103,0，143,0，−2,0 或 10,0．