中考数学热点冲刺：专题6 方案设计问题（含答案）

这是一份中考数学热点冲刺：专题6 方案设计问题（含答案），共9页。试卷主要包含了解得x=17等内容，欢迎下载使用。


《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中明确提出要培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”，学会“数学地思考”，即运用数学的知识、方法去分析事物、思考问题，中考试卷中有一类方案设计题，特点是题中给出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案，这种方案有时不止一种，因而又具有开放型题的特点，此种题型考查考生的数学应用意识，命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，因此倍受命题者的青睐，它要求学生根据題意设计符合条件的方案，或对己知方案进行评判，涉及的知识点主要有函数思想、分类讨论的思想、统计与概率、锐角三角函数方程或不等式(组)的应用以及图形变换等，对学生的能力要求较高，符合新课标的理念.
考向1 设计测量安装方案问题
1．某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整).
任务一:两次测量A，B之间的距离的平均值是______m.
任务二:根据以上测量结果，请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆GH的高度.
(参考数据:sin25.7°≈0.43，cs25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60)
任务三:该"综合与实践"小组在制定方案时，讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)
解：任务一:平均值=(5.4+5.6)÷2=5.5m
任务二:由题意可得，四边形ACDB，ACEH都是矩形，∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，设EG=xm，
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，∠GDE=31°，
∵tan31°=，∴DE=，
在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，
∵tan25.7°=，∴CE=，
∵CD=CE－DE，∴－=5.5，∴x=13.2，
∴GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7.
答:旗杆GH的高度为14.7m.
任务三:答案不唯一:没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.
2．如图是一种淋浴喷头，右图是的示意图，若用支架把喷头固定在A点处，手柄长AB=25cm，AB与墙壁D的夹角∠AB=37°，喷出的水流BC与AB行程的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm，CE=130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）．
解：过B点作MN∥DE，分别交直线AD和直线EC于点M、N，由题意可知AD∥CE，∠ADE=90°
∴四边形DMNE为矩形，∴∠AMB=∠BNC=9 0°，MN=DE，MD=NE．在Rt△ABM中，∠AB=37°， sin∠MAB=，∴MB=AB·sin37°=25×0.6=15，cs∠MAB=，∴AM=AB·cs37°=25×0.8=20，∵MN=DE=50，∴NB=50－15=35，∵∠ABM=90°－37°=53°，∠ABC=72°，∴∠NBC=180°－53°－72°=55°，∴∠BCN=90°－55°=35°．在Rt△BNC中，tan∠BCN=，∴CN==50，∴EN=CN+CE=50+130=180=MD，∴AD=MD－AM=180－20=160（cm）．
答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm高的位置．
考向2 设计方案搭配问题
1. 某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动，旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人，若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元
（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有几种租车方案？哪种方案最省钱？
解（1）设租用A型客车的费用是x元，B型客车的费用是y元，根据题意得
4x+3y=10700;3x+4y=10300，解得，x=1700，y=1300;
答：租用A型客车的费用1700元，B型客车的费用是1300元.
（2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆，根据题意得
45a+30b≥240；1700a+1300b≤10000；
∴，∵a，b均为正整数，∴a=2，b=5;a=4，b=2两种方案，
当a=2，b=5时，费用为（元），
当a=4，b=2时，费用为（元），
答：租用A型客车4辆，B型客车2辆时费用最低，最低费用为9400元.
2．有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
解：（1）设辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为a人，b人，
， 解得答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人．
（2）设租用甲种客车x辆，租车费用为y元，根据题意，得y=400x+280（6－x）=120x+1680．
由45x+30（6－x）≥240，得x≥4． ∵120＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x为最小值4时，y值最小．
即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，费用最低， 此时，最低费用y=120×4+1680=2160（元）．
3．某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人?
（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元?②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．
【解题过程】（1）该旅行团中成人有x人，少年有y人，根据题意，得：
，解得.答：该旅行团中成人有17人，少年有5人；
（2）①∵成人8人可免费带8名儿童，
∴所需门票的总费用为：100×8+100×0.8×5+100×0.6×(10-8)=1320(元).
②设可以安排成人a人、少年b人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5.
设10≤a≤17时，(i) 当a=10时，100×10+80b≤1200，∴b≤，
∴ b最大值=2，此时 a+b=12，费用为1160元；
(ii) 当a=11时，100×11+80b≤1200，
∴b≤，∴ b最大值=1，此时 a+b=12，费用为1180元；
(iii) 当a≥12时，100a≥1200，即成人门票至少需要1200元，不符合题意，舍去.
设1≤a＜10时，(i) 当a=9时，100×9+80b+60≤1200，∴b≤3，
∴ b最大值=3，此时 a+b=12，费用为1200元；
(ii) 当a=8时，100×8+80b+60×2≤1200，∴b≤，
∴ b最大值=3，此时 a+b=11＜12，不符合题意，舍去；
(iii) 同理，当a＜8时，a+b＜12，不符合题意，舍去.
综上所述，最多可以安排成人和少年共12人带队，
有三个方案：
成人10人、少年2人；
成人11人、少年1人；
成人9人、少年3人.
其中当成人10人、少年2人时购票费用最少.
考向3 设计产品销售方案问题
1. 某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：
（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？
解：（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个，
依题意得：10（x+1）×0.85=10x﹣17．解得x=17．答：小明原计划购买文具袋17个．
（2）设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔（50﹣x）支，
依题意得：[8y+6（50﹣y）]×80%≤400--－17×10+17．解得y≤4.375．
即y最大值=4．答：明最多可购买钢笔4支．
2. 为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机.
(1) 求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
(2)该市明年计划采购A型、B型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
解： （1）设今年每套A型一体机的价格为x万元，每套B型一体机的价格为y万元
由题意得：解得
故今年每套A型一体机的价格为1.2万元，每套B型一体机的价格为1.8万元.
（2）设该市明年购买A型一体机m套，则购买B型一体机（1100-m）套，
由题意得：1.8（1100-m）≥1.2（1+25%）m，解得m≤600
设明年需投入W万元，W=1.2×（1+25%）m+1.8（1100-m）=-0.3m+1980
∵-0.3<0，∴W随m的增大而减小
∵m≤600，∴当m=600时，W有最小值为-0.3×600+1980=1800.
故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划.
考向4 设计图案问题
1. 如图3，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂照n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A．10 B．6 C．3 D．2
【答案】C
【解析】如图所示，
∴n的最小值为3.
2. 图1，图2都是有边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中由5个小等边三角形已图上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个图上阴影:
(1)使得6个阴影小等边三角形中组成一个轴对称图形;
(2)使得6个阴影小等边三角形中组成一个中心对称图形.
(请将两个小题一次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)
解：(1)画出下列其中一种即可
(2)画出下列其中一种即可.
课题
测量旗杆的高度
成员
组长:××× 组员:×××，×××，×××
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量
示意图
说明:线段GH表示旗杆，测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内.点C，D，E在同一直线上，点E在GH上.
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
∠GCE的度数
25.6°
25.8°
25.7°
∠GDE的度数
31.2°
30.8°
31°
A，B之间的距离
5.4m
5.6m
……
……