中考数学热点冲刺：专题8 二次函数综合题型（含答案）

这是一份中考数学热点冲刺：专题8 二次函数综合题型（含答案），共13页。试卷主要包含了如图，特例感知等内容，欢迎下载使用。


《课程标准》对二次函数这一知识点的学习要求比较高，它最能体现初中代数的综合性和能力性，因此，二次函数在近几年中考试卷中已形成必不可少的题型, 将二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，促使我们在复习中把二次函数作为最核心的内容之一来学习，预计仍会以二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，在此过程中会以周长、面积、相似、等腰三角形，特殊四边形以及新定义问题为载体进行命题.
考向1 二次函数之周长与最值问题
1．如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（－1，0）．（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值．
解（1）设抛物线的解析式为y=，把B（－1，0）代入解析式得：4a＋4=0，解得a=－1，∴y=－=－；（2）∵四边形MNHG为矩形，∴MN∥x轴，设MG=NH=n，把y=n代入y=－，即n=－，∴=0，由根与系数关系得=2，=n－3，∵=－4，∴=4－4（n－3）=16－4n，∴MN= =2，设矩形MNHG周长为C，则C=2（MN＋MG）=2（2＋n）=4＋2n，令=t，则n=4－，∴C=－2＋4t＋8=－2，∵－2＜0，∴t=1时，周长有最大值，最大值为10．
考向2二次函数之面积问题
2．如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB，请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）把A（－1，0），B（3，0）代入y=x2＋bx＋c，
得解得
∴该抛物线的函数表达式为y=x2－2 x－3；
（2）∵CP⊥EB，∴∠OPE＋∠BCP=90°，
∵∠OPE＋∠OEP=90°，∴∠OEP=∠BPC，∴tan∠OEP=tan∠BPC．∴=．
设OE=y，OP=x，∴=．整理，得y=－x2＋x=－（x－）2＋．
∴当OP=时，OE有最大值，最大值为，此时点P在（，0）处.
（3）过点M作MF⊥x轴交BN于点F，
∵N（0，－3），B（3，0），∴直线的解析式为y=－3 m.
设M（m, m2－2 m－3）,则MF=m2－3m，
∴△MBN的面积=OB·MF=( m2－3m) =( m－) 2 －.
点M的坐标为（，－）时，△MBN的面积存在最大值.
考向3 二次函数之等腰三角形问题
3．二次函数的图象交x轴于点（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.
（1）求二次函数的表达式；（2）连接BD，当t=时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；
（4）当t=时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC=90°,求点Q的坐标.
解：（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2，∴a=，b=，∴；
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，将点B（4，0），C（0，2）代入解析式，
得： ，解得： ，∴BC的直线解析式为，当t=时，AM=3，∵AB=5，∴MB=2，∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），
∴S△DNB =S△DMB -S△MNB =×MB×DM-×MB×MN=×2×2=2；
（3）∵BM=5-2t，∴M（2t-1，0），
设P（2t-1，m），∵PC2=（2t-1）2+（m-2）2，PB2=（2t-5）2+m2，
∵PB=PC，
∴（2t-1）2+（m-2）2=（2t-5）2+m2，∴m=4t-5，∴P（2t-1，4t-5），
∵PC⊥PB，∴，
∴t=1或t=2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）；
（4）当t=时，M（，0），∴点Q在抛物线对称性x=上，
如图，过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x=的交点分别为Q1与Q2，
∵AB=5，
∴AM=，∵∠AQ1C+∠OAC=90°，∠OAC+∠MAG=90°，∴∠AQ1C=∠MAG，
又∵∠AQ1C=∠CGA=∠MAG，∴Q1（，），
∵Q1与Q2关于x轴对称，∴Q2（，），
∴Q点坐标分别为（，），（，）.
考向4 二次函数之相似三角形问题
4．如图（14），抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，－3）．点P、Q是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），
∴设抛物线的解析式为．又∵抛物线过点 D（2，－3），
∴，∴，∴．
（2）如图，设PD与y轴相交于点F，OD与抛物线相交于点G，
设P坐标为（），则直线PD的解析式为，它与y轴的交点坐标为F（0，－2m－3），则OF=2m+3．
∴
由于点P在直线OD下方，所以．
∴当时，△POD面积的最大值；
（3）①由得抛物线与y轴的交点C（0，－3），结合A（－1，0）得直线AC的解析式为，∴当OE∥AC时，△OBE与△ABC相似；此时直线OE的解析式为．
又∵的解为，；
∴Q的坐标为和．
②如图，作EN⊥y轴于N，
由A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）得AB=3－(－1)=4，BO=3，BC=
当即时 ，△OBE与△ABC相似；此时BE=．
又∵△OBC∽△ONE，∴NB=NE=2，此时E点坐标为（1，－2），直线OE的方程为．
又∵的解为，；
∴Q的坐标为和．
综上所述，Q的坐标为，，，．
考向5 二次函数之特殊四边形问题
5. 如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）．（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值；
（3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、，、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点、的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线的表达式为：，将点、的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：；
（2）直线的表达式为：，则直线与轴的夹角为，即：则，
设点坐标为、则点，
，
，故有最大值，当时，其最大值为18；
（3），①当是平行四边形的一条边时，
设点坐标为、则点，
由题意得：，即：，
解得：或0或4（舍去，
则点坐标为，或，或；
②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为，，
设点坐标为、则点，
、，、为顶点的四边形为平行四边形，则的中点即为中点，
即：，，解得：或（舍去，
故点；故点的坐标为：，或，或或．
考向6 二次函数之角度存在性问题
6. 若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,－2),且过点C(2,－2).(1)求二次函数表达式;(2)若点P为抛物线上第一象限内的点,且S△PBA=4,求点P的坐标；
(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使∠ABO=∠ABM？若存在,求出点M到y轴的距离;若不存在,请说明理由.
解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点(0,－2),∴c=－2,又∵抛物线过点(3,0)(2,－2)∴,解得,∴抛物线的表达式为；
(2)连接PO,设点P()；则S△PAB=S△POA+S△AOB－S△POB==,由题意得:m2－3m=4,∴m=4,或m=－1(舍去),∴=,∴点P的坐标为(4,).
(3)设直线AB的表达式为y=kx+n,∵直线AB过点A(3,0),B(0,－2),∴3k+n=0,n=－2,解之,得:k=,n=－2,∴直线AB的表达式为:y=x－2,设存在点M满足题意,点M的坐标为(t,).过点M作ME⊥y轴,垂足为E,作MD⊥x轴交于AB于点D,则D的坐标为(t,t－2),MD=,BE=||.又MD∥y轴,∴∠ABO=∠MDB,又∵∠ABO=∠ABM,∴∠MDB=∠ABM,∴MD=MB,∴MB=.
在Rt△BEM中,+t2=,解之,得:t=,∴点M到y轴的距离为.
考向7 二次函数之新定义问题
7．特例感知：(1)如图1，对于抛物线，，下列结论正确的序号是 ；
①抛物线，，都经过点C(0，1)；②抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；③抛物线，，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.
形成概念：(2)把满足（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.
知识应用在(2)中，如图2.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，，，…，，用含n的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：，，，…，，其横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；
③在②中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点，，，…，，连接，，判断，是否平行？并说明理由.
解：（1）对于抛物线，，来说，
∵抛物线，，都经过点C(0，1)，∴①正确；
∵抛物线，，的对称轴分别为：，，，
∴抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到，∴②正确；
∵抛物线，，与直线y=1的另一个交点的横坐标分别为：-1、-2、-3，
∴抛物线，，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.∴③正确.
答案：①②③；
（2）①由可知，顶点坐标为（，），
∴该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式为；
②当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，，，…，，
∴
，
，…，
，
∴相邻两点的距离相等，且距离为：.
③将y=1代入可得，∴x=-n（0舍去），
∴点（-1，1），（-2，1），（-3，1），…，（-n，1）.
∵当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，，，…，，
∴点（-k-1，），（-k-2，），（-k-3，），…，（-k-n，）.设，的解析式分别为：y=px+q，y=mx+n，
则，，
解得p=k+n，m=k+n-1，∴p≠m，∴，不平行.