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2020-2021学年八 用字母表示数教案
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这是一份2020-2021学年八 用字母表示数教案，共5页。
1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现皮克公式。
2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。
3.获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。
4.能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。
教学重点：
发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律
教学难点： 类比推导出一般规律
教学准备： 作业纸，多媒体课件
激趣导入，引发猜想
师：同学们，钉子板大家都很熟悉吧。如果把钉子板抽象成点子图，大家还能看明白吗？相邻两个钉子的距离是1厘米，那这个图形的面积就是
生：1平方厘米。
师：这个图形的面积又是多少呢？你是怎样思考的？
（大）
预设；用的是数的方法。请学生上来指一指
师：这个图形，面积是多少？预设：用的是面积计算的方法。
师：再看这个图形，不容易算出来吧？（难分割、不好算）
师：这个问题该怎么办呢？1899年，奥地利有一个人叫皮克，他也遇到了。
师：他觉得这样太麻烦了，他想啊这几个图形，面积大小不一，可能与钉子板上什么有关呢，你觉得皮克有什么发现？
生1：和边的的长短有关。
生2：边越长，面积越大。（边越长，说明在围的时候用到的什么越多？）
生1：用到的钉子有关。
生2：钉子越多，面积越多。
师：如果皮克先生把这个结论写下来，寄给世界数学大会，你觉得他的结论会得到数学家们严格的认可吗？
生：不会，会认为太简单了。太笼统了。
师：是的，这只是我们的一种直觉，钉子板上多边形里隐藏着什么规律呢？今天我们就来做一位小皮克，一起来研究钉子板上的多边形。（板书：钉子板上的多边形）
独立思考，由简探索
师：钉子板上的多边形形状不一，纷繁复杂，你觉得皮克先生会怎样来研究？
铺垫：复杂规律，课前和学生交流
师：从简单开始（板书）
师：我们看一下活动要求：
课件：1.填一填，把多边形的面积记录在研究单上；
2.想一想，多边形的面积可能与什么钉子数有关？
师：请拿出1号研究单。
师：谁先来说一说多边形的面积分别是多少？
生：交流3个图形的面积。Ppt出示面积（（）平方厘米）
师：他的结果正确吗？
生：正确
师：那多边形的面积可能与什么有关？有什么样的关系呢？同桌交流。
指导，边上钉子数有关
生2：边上钉子数越多，这多边形的面积越大。板书：边上钉子数/枚
生3：多边形的面积=边上钉子数÷2
板书：边上钉子数/枚 2平方厘米 4枚
师：你们听明白他的意思了吗？谁再来说一说。
生：同上
一个学生示范数钉子
师：剩下的多边形也有这样的规律吗？剩下的两个多边形数一数边上钉子数
师：五（）班的同学真会观察，从3个图形中提出了猜想。
板书：猜想
师：如果用S表示面积，n表示边上的钉子数，你能用含有字母n的式子表示面积S吗？（停顿5秒）
板书：s=n÷2
师：大家都有这样的感觉了吗？这个猜想是不是对所有的多边形都适用呢？那接下来我们该怎么办呢？
生：验证。铺垫
板书：验证
师：那我们一起来试一试，为了便于验证，每位同学在2号研究单上设计一个简单的多边形，并把结果填入表中，看看是不是符合刚才的猜想。
学生活动
两张是符合规律的，两张是不符合规律的。（资源收集两张形内钉子数是2枚的）
师：请这个多边形的创作者交流一下验证过程？
指生交流4个作品，2个符合规律的，2个不符合规律的。（资源收集形内有2、3枚钉子的）
师：看来这个发现并不适合所有多边形，那么聚焦这些符合猜想的多边形，它们有什么共同的特点呢？仔细观察。停顿一下。
小组内交流你的发现。
指导里面的钉子
生：形内只有1枚钉子的情况下。在屏幕上指一指
师：你们都有这样的发现吗？
生：是的。
师：这里的钉子可以称为形内钉子，看来钉子板上多边形的面积不仅跟边上钉子数有关，还跟形内钉子数有关。当多边形内只有1枚钉子时，面积=边上钉子数÷2。（表扬）
师：回顾刚才的探索过程，我们是怎样找到规律的呢？
生：猜想，验证，结论。
师：同学们善于从不同的多边形中发现它们的相同点，提出猜想，进行验证，得到结论，真是了不起的探索者。板书：猜想、验证、结论。观察、发现。
师：如果现在皮克先生就把这个发现寄给世界数学大会，会得到数学家们的认可吗？（不行，并不能适合所有的情况）
运用结构，合作学习
探究多边形内有2枚钉子的情况
屏幕移去五幅形内是1枚钉子的多边形，留下形内是2枚钉子的多边形。
师：刚刚在验证时，这2个多边形不符合我们的猜想，它与符合猜想的多边形有什么不同呢？。
生：形内有2、3枚钉子。
师：那我们就先聚焦形内有2枚钉子的多边形，它的面积和边上钉子数有怎样的关系呢？
活动要求：
（1）把3个多边形的面积和边上钉子数填入表格中，认真观察，你有什么猜想；
（2）设计一个形内钉子数是2枚的多边形，验证你的猜想；
（3）在小组中交流你的想法。
师：你能完整的介绍你的研究过程吗？
生：交流过程。记录两个数据。
师：他通过猜想，验证，得到了这个结论。你的想法是不是和他一样，你是怎样验证的呢？
生：交流验证的多边形。
预设1：S=n÷2+1
预设2：S=（n+2）÷2
师：这两个式子都能表示面积和边上钉子数的关系，你们更愿意用哪种方式进行表达。你们也能像这样写一写吗？
2、推想多边形内有3枚或4枚钉子的情况
师：刚刚我们找到了形内有1枚钉子、2枚钉子的规律，比较这两个规律，你有什么发现？停顿如果你是皮克先生你能根据这两个规律猜想一下形内钉子数是3枚多边形，又会有怎样的规律呢？4枚呢？
师：相信你一定有猜想了，有吗？那就让我们一起来提出猜想，再通过验证，得出结论吧。
探索形内有3枚钉子，4枚钉子的情况。
活动要求（材料三）：
1.猜想：形内有3枚钉子、4枚钉子，多边形的面积和边上钉子数的关系；
2.验证：设计一个形内有3枚钉子、4枚钉子的多边形，将结果记录下来，组长负责汇总；
3.结论：在小组里交流自己的想法。
师：你们的猜想是什么，验证的结果呢？哪个小组来交流。
生：交流结果。
请一个小组交流
师：其他小组也是这样的想法吗？
生：是
师：想一想，形内钉子数是5枚、6枚……
生：齐答。
师：如果形内的钉子数是a枚呢？同桌交流。
师：谁来说说你的想法。
生：S=n÷2+a-1
师：为什么这里是a-1呢？
生：介绍
师：太了不起了，我们用一个式子就表示了面积和边上钉子数、形内钉子数的关系。
师：如果现在皮克先生把这样一个，用来表示面积和边上钉子数、形内钉子数关系的式子寄给世界数学大会，会得到认同吗？同学们，这样一个发现被称为皮克定理，把掌声送给皮克和你们这些
小皮克。
师：一起来解决这个问题了吗？我们只要知道哪些信息就行了？
a= n= S=
师：再看这个多边形，面积是多少？
（3）如果用我们今天发现的规律能算出来吗？
a= n= S=
师：看这里的a也可以是0，也就是形内钉子数是0枚时，同样适用这一规律。
回顾反思，总结延伸
总结：同学们，今天我们一起探索了钉子板上的多边形，在探索的过程中，我们从简单想起，通过猜想、验证、得出结论，感受到了数学家们对科学孜孜不倦的追求。今天，老师还带来了一个特殊的钉子板，你们想看吗？每个小三角形面积是1平方厘米，如果在这样的钉子板上围出多边形，多边形的面积和形内钉子数、边上钉子数又有怎样的关系呢？你们会研究吗？（你打算怎样研究？）有了发现可以发邮件给老师，也可以和你们的数学老师一起交流，好吗？下课。
教学反思：
本内容是五年级上册综合实践这一领域的内容，属于规律探索类课型。新教材安排这一实践活动的价值不仅仅在于得出一个结论，而是重在让学生经历规律探索的一般过程与方法，积累数学活动经验，培养学生善于发现的眼光，科学严谨的态度，归纳概括的能力。
我是这样安排内容的：第一课时三大板块：第一板块，激趣生疑，直观感知多边形面积既和边上钉子数有关也和形内钉子数有关。第二板块，学生探究多边形有一个钉子的情况，教师是半扶半放的，学生形成了画一画图形、数一数面积、说一说发现的方法结构。第三板块，学生独立经历钉子板内有2枚钉子的情况，这是个巩固运用结构进行探究的过程。到有3枚、4枚钉子时，学生已有研究的方法和结构，速度也快了很多。然后在此基础上推导规律就显得水到渠成了。就像霍姆林斯基说：“儿童就其天性来讲，是富有探求精神的探索者，是世界的发现者”，所以这节课学生始终兴趣浓厚，他们就像个小科学家一般，能独立经历整个规律探究的过程，自觉提出猜想，举例验证，得到结论，这对于他们今后的学习也是非常有益的。另外以数学家故事的方法串连整节课，让学生整体体悟探索钉子板上多边形规律的过程，用融入式的方法让学生感受到数学文化的价值所在，不失为一大亮点。
1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现皮克公式。
2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。
3.获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。
4.能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。
教学重点：
发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律
教学难点： 类比推导出一般规律
教学准备： 作业纸，多媒体课件
激趣导入，引发猜想
师：同学们，钉子板大家都很熟悉吧。如果把钉子板抽象成点子图，大家还能看明白吗？相邻两个钉子的距离是1厘米，那这个图形的面积就是
生：1平方厘米。
师：这个图形的面积又是多少呢？你是怎样思考的？
（大）
预设；用的是数的方法。请学生上来指一指
师：这个图形，面积是多少？预设：用的是面积计算的方法。
师：再看这个图形，不容易算出来吧？（难分割、不好算）
师：这个问题该怎么办呢？1899年，奥地利有一个人叫皮克，他也遇到了。
师：他觉得这样太麻烦了，他想啊这几个图形，面积大小不一，可能与钉子板上什么有关呢，你觉得皮克有什么发现？
生1：和边的的长短有关。
生2：边越长，面积越大。（边越长，说明在围的时候用到的什么越多？）
生1：用到的钉子有关。
生2：钉子越多，面积越多。
师：如果皮克先生把这个结论写下来，寄给世界数学大会，你觉得他的结论会得到数学家们严格的认可吗？
生：不会，会认为太简单了。太笼统了。
师：是的，这只是我们的一种直觉，钉子板上多边形里隐藏着什么规律呢？今天我们就来做一位小皮克，一起来研究钉子板上的多边形。（板书：钉子板上的多边形）
独立思考，由简探索
师：钉子板上的多边形形状不一，纷繁复杂，你觉得皮克先生会怎样来研究？
铺垫：复杂规律，课前和学生交流
师：从简单开始（板书）
师：我们看一下活动要求：
课件：1.填一填，把多边形的面积记录在研究单上；
2.想一想，多边形的面积可能与什么钉子数有关？
师：请拿出1号研究单。
师：谁先来说一说多边形的面积分别是多少？
生：交流3个图形的面积。Ppt出示面积（（）平方厘米）
师：他的结果正确吗？
生：正确
师：那多边形的面积可能与什么有关？有什么样的关系呢？同桌交流。
指导，边上钉子数有关
生2：边上钉子数越多，这多边形的面积越大。板书：边上钉子数/枚
生3：多边形的面积=边上钉子数÷2
板书：边上钉子数/枚 2平方厘米 4枚
师：你们听明白他的意思了吗？谁再来说一说。
生：同上
一个学生示范数钉子
师：剩下的多边形也有这样的规律吗？剩下的两个多边形数一数边上钉子数
师：五（）班的同学真会观察，从3个图形中提出了猜想。
板书：猜想
师：如果用S表示面积，n表示边上的钉子数，你能用含有字母n的式子表示面积S吗？（停顿5秒）
板书：s=n÷2
师：大家都有这样的感觉了吗？这个猜想是不是对所有的多边形都适用呢？那接下来我们该怎么办呢？
生：验证。铺垫
板书：验证
师：那我们一起来试一试，为了便于验证，每位同学在2号研究单上设计一个简单的多边形，并把结果填入表中，看看是不是符合刚才的猜想。
学生活动
两张是符合规律的，两张是不符合规律的。（资源收集两张形内钉子数是2枚的）
师：请这个多边形的创作者交流一下验证过程？
指生交流4个作品，2个符合规律的，2个不符合规律的。（资源收集形内有2、3枚钉子的）
师：看来这个发现并不适合所有多边形，那么聚焦这些符合猜想的多边形，它们有什么共同的特点呢？仔细观察。停顿一下。
小组内交流你的发现。
指导里面的钉子
生：形内只有1枚钉子的情况下。在屏幕上指一指
师：你们都有这样的发现吗？
生：是的。
师：这里的钉子可以称为形内钉子，看来钉子板上多边形的面积不仅跟边上钉子数有关，还跟形内钉子数有关。当多边形内只有1枚钉子时，面积=边上钉子数÷2。（表扬）
师：回顾刚才的探索过程，我们是怎样找到规律的呢？
生：猜想，验证，结论。
师：同学们善于从不同的多边形中发现它们的相同点，提出猜想，进行验证，得到结论，真是了不起的探索者。板书：猜想、验证、结论。观察、发现。
师：如果现在皮克先生就把这个发现寄给世界数学大会，会得到数学家们的认可吗？（不行，并不能适合所有的情况）
运用结构，合作学习
探究多边形内有2枚钉子的情况
屏幕移去五幅形内是1枚钉子的多边形，留下形内是2枚钉子的多边形。
师：刚刚在验证时，这2个多边形不符合我们的猜想，它与符合猜想的多边形有什么不同呢？。
生：形内有2、3枚钉子。
师：那我们就先聚焦形内有2枚钉子的多边形，它的面积和边上钉子数有怎样的关系呢？
活动要求：
（1）把3个多边形的面积和边上钉子数填入表格中，认真观察，你有什么猜想；
（2）设计一个形内钉子数是2枚的多边形，验证你的猜想；
（3）在小组中交流你的想法。
师：你能完整的介绍你的研究过程吗？
生：交流过程。记录两个数据。
师：他通过猜想，验证，得到了这个结论。你的想法是不是和他一样，你是怎样验证的呢？
生：交流验证的多边形。
预设1：S=n÷2+1
预设2：S=（n+2）÷2
师：这两个式子都能表示面积和边上钉子数的关系，你们更愿意用哪种方式进行表达。你们也能像这样写一写吗？
2、推想多边形内有3枚或4枚钉子的情况
师：刚刚我们找到了形内有1枚钉子、2枚钉子的规律，比较这两个规律，你有什么发现？停顿如果你是皮克先生你能根据这两个规律猜想一下形内钉子数是3枚多边形，又会有怎样的规律呢？4枚呢？
师：相信你一定有猜想了，有吗？那就让我们一起来提出猜想，再通过验证，得出结论吧。
探索形内有3枚钉子，4枚钉子的情况。
活动要求（材料三）：
1.猜想：形内有3枚钉子、4枚钉子，多边形的面积和边上钉子数的关系；
2.验证：设计一个形内有3枚钉子、4枚钉子的多边形，将结果记录下来，组长负责汇总；
3.结论：在小组里交流自己的想法。
师：你们的猜想是什么，验证的结果呢？哪个小组来交流。
生：交流结果。
请一个小组交流
师：其他小组也是这样的想法吗？
生：是
师：想一想，形内钉子数是5枚、6枚……
生：齐答。
师：如果形内的钉子数是a枚呢？同桌交流。
师：谁来说说你的想法。
生：S=n÷2+a-1
师：为什么这里是a-1呢？
生：介绍
师：太了不起了，我们用一个式子就表示了面积和边上钉子数、形内钉子数的关系。
师：如果现在皮克先生把这样一个，用来表示面积和边上钉子数、形内钉子数关系的式子寄给世界数学大会，会得到认同吗？同学们，这样一个发现被称为皮克定理，把掌声送给皮克和你们这些
小皮克。
师：一起来解决这个问题了吗？我们只要知道哪些信息就行了？
a= n= S=
师：再看这个多边形，面积是多少？
（3）如果用我们今天发现的规律能算出来吗？
a= n= S=
师：看这里的a也可以是0，也就是形内钉子数是0枚时，同样适用这一规律。
回顾反思，总结延伸
总结：同学们，今天我们一起探索了钉子板上的多边形，在探索的过程中，我们从简单想起，通过猜想、验证、得出结论，感受到了数学家们对科学孜孜不倦的追求。今天，老师还带来了一个特殊的钉子板，你们想看吗？每个小三角形面积是1平方厘米，如果在这样的钉子板上围出多边形，多边形的面积和形内钉子数、边上钉子数又有怎样的关系呢？你们会研究吗？（你打算怎样研究？）有了发现可以发邮件给老师，也可以和你们的数学老师一起交流，好吗？下课。
教学反思：
本内容是五年级上册综合实践这一领域的内容，属于规律探索类课型。新教材安排这一实践活动的价值不仅仅在于得出一个结论，而是重在让学生经历规律探索的一般过程与方法，积累数学活动经验，培养学生善于发现的眼光，科学严谨的态度，归纳概括的能力。
我是这样安排内容的：第一课时三大板块：第一板块，激趣生疑，直观感知多边形面积既和边上钉子数有关也和形内钉子数有关。第二板块，学生探究多边形有一个钉子的情况，教师是半扶半放的，学生形成了画一画图形、数一数面积、说一说发现的方法结构。第三板块，学生独立经历钉子板内有2枚钉子的情况，这是个巩固运用结构进行探究的过程。到有3枚、4枚钉子时，学生已有研究的方法和结构，速度也快了很多。然后在此基础上推导规律就显得水到渠成了。就像霍姆林斯基说：“儿童就其天性来讲，是富有探求精神的探索者，是世界的发现者”，所以这节课学生始终兴趣浓厚，他们就像个小科学家一般，能独立经历整个规律探究的过程，自觉提出猜想，举例验证，得到结论，这对于他们今后的学习也是非常有益的。另外以数学家故事的方法串连整节课，让学生整体体悟探索钉子板上多边形规律的过程，用融入式的方法让学生感受到数学文化的价值所在，不失为一大亮点。
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