初中数学湘教版九年级上册4.1 正弦和余弦教案及反思

这是一份初中数学湘教版九年级上册4.1 正弦和余弦教案及反思，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，课时安排，第一课时，教学过程，作业布置，教学反思，第二课时等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
（一）知识与技能
1．使学生理解锐角正弦的定义。
2．会求直三角形中锐角的正弦值。
3．会用计算器计算任意一个锐角的正弦值。
（二）过程与方法
使学生经历探索正弦定义的过程，逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力。
（三）情感态度
通过探索、发现，培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
【教学重难点】
1．重点：根据定义求锐角的正弦值。
2．难点：探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程。
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【教学过程】
一、情景导入，初步认知
下图是上海东方明珠电视塔的远景图，你能想办法求出旗杆的高度吗？
学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”。
教学说明：
通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望，有利于引导学生进行数学思考。
二、思考探究，获取新知
（一）画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，计算：65°角的对边/斜边=_______=_______。
1．与同桌和邻桌的同学交流，看看你们计算出的比值是否相等。
2．根据计算的结果，你能得到什么结论？
3．这个结论是正确的吗？
4．若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？
（二）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α、∠C=∠F=90°，则BC/AB=EF/DE成立吗？请说出你的证明过程。
通过我们的证明，说明在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关。
归纳结论：在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦。记作sinα。
（三）计算sin30°、sin45°、sin60°的值。
归纳结论：sin30°=1/2；sin45°=/2；sin60°=/2
（四）我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的正弦值，而对于一般锐角α的正弦值，我们应该如何来计算呢？
例如：利用计算器计算sin50°的值。
在计算器上依次按键sin 5 0，则屏幕上显示的就是sin50°的值，
（五）如果已知正弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数。
例如：已知sinα=0.7071，求α的度数。我们可以依次按键2ndF sin 0 ． 7 0 7 1，则屏幕上显示的就是α的度数。
三、运用新知，深化理解
（一）见教材相关例1、例2。
（二）在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，a=2，则b等于（ ）。
A．6 B．2 C．3 D．26
答案：A
（三）计算sin36°=_____。（保留四个有效数字）。
答案：0.5878
（四）若sinA=0.1234，sinB=0.2135，则A_____B（填<、>、=）
解析：根据sin30°=1/2，sin45°=/2，sin60°=/2，我们可以发现锐角的度数越大，正弦值越大。
答案：<
（五）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．
1．求∠A的正弦sinA。
2．求∠B的正弦sinB。
分析：先利用勾股定理算出AB的长，再利用正弦的计算方法进行计算。
解：1．∠A的对边BC=3，斜边AB=5，于是sinA=3/5
2．∠B的对边是AC，因此sinB=AC/AB=4/5
（六）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的正弦值（ ）。
A．不变化 B．扩大3倍
C．缩小1/3 D．缩小3倍
分析：因为各边值都扩大3倍，所以锐角A的对边与斜边的比值不变。
答案：A
（七）已知：在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=2，求BC的长。
分析：作△ABC的一条高，把原三角形转化成直角三角形，并注意保留原三角形中的特殊角。
（八）求sin63°52′41″的值。（精确到0.0001）
解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
所以sin63°52′41″≈0.8979
四、师生互动、课堂小结
首先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充。
【作业布置】
教材“习题4.1”中第3、4题。
【教学反思】
本节课，重难点就是对比值的理解，可以从以下几方面着手研究：
（一）讨论角的任意性（从特殊到一般）；
（二）运用相似三角形性质，让学生领悟到：在直角三角形中，对于固定角，无论直角三角形大小怎么样改变，都影响不到其对边与斜边的比值。
【第二课时】
【教学目标】
一、知识与技能
（一）使学生理解锐角余弦的定义。
（二）会求直三角形中锐角的余弦值。
（三）会用计算器求一般锐角的余弦值。
二、过程与方法
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
三、情感态度
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
【教学重难点】
求直三角形中锐角的余弦值。
【教学过程】
一、情景导入，初步认知
（一）什么叫做正弦？
（二）sin30°、sin45°、sin60°的值分别是多少？
二、思考探究，获取新知
（一）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？
由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关。
归纳结论：在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫做角α的余弦。记作csα。即csα=角α的邻边/斜边。
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有csα=sin(90°-α)，从而有：
sinα=cs(90°-α)。
（二）计算cs30°，cs45°，cs60°的值。
（三）我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的余弦值，而对于一般锐角α的余弦值，我们可以用计算器来计算。
例如，求cs50°角的余弦值，我们可以在计算器上依次按键，则屏幕上显示的就是cs50°的值。
（四）如果已知余弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数。
例如：已知csα=0.8661，求α的度数。我们可以依次按键，则屏幕上显示的就是α的度数。
三、运用新知，深化理解
（一）见教材相关例4。
（二）下列说法正确的个数有（ ）。
1．对于任意锐角α，都有02．对于任意锐角α1，α2，如果α1<α2，那么csα13．如果sinα14．对于任意锐角α，都有sinα=cs(90°-α)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
（三）在△ABC中，∠C=90°，若2AC=AB，求∠A的度数及csB的值。
分析：利用三角形中边的比值关系，结合三角函数的定义解决问题，注意对特殊角三角函数值的逆向应用。
（四）计算：
1．｜-｜-2sin60°+sin45°·cs45°
2．cs260°+cs245°+sin30°·sin45°
（五）用计算器求值（保留四位小数）：
1．sin38°19′；2．cs78°43′16″。
解：1．按MODE，出现：DEG，按sin，38，“.”，19，“.”，=，显示：0.620007287，则结果为0.6200.
2．按MODE，出现：DEG，按cs，78，“.”，43，“.”，16，“.”=，显示：0.195584815，则结果为0.1956．
（六）若sin40°=csα，求α的度数。
解：∵sin40°=csα
∴α=90°-40°=50°
（七）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3/5，求BC/AB的值。
解：∵sin2B+cs2B=1，∠B为Rt△ABC的内角
∴csB==4/5
即csB=BC/AB=4/5
（八）正方形网格中，∠AOB如图放置，求cs∠AOB的值。
解：如图，在OA上取一点E，过点E作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=。
四、师生互动、课堂小结
首先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充。
【作业布置】
教材“习题4.1”中第6、7、8题。
【教学反思】
教学中要关注学生的情感态度，对那些积极动脑，热情参与的同学都给予鼓励和表扬，促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态，从而保证施教活动的有效性。在学生“心求通而未得，口欲言而不能”的状态下，适时导出概念，自然而合理，符合新课标的理念。若干年后，或许对余弦概念的表达式已经彻底忘记，但对探索概念的过程，创新意识，数学思想，将深深铭刻在他们的脑海中。
【第三课时】
【教学目标】
一、知识与技能
（一）进一步认识正弦和余弦。
（二）正弦和余弦的综合应用。
二、过程与方法
通过合作交流，能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算。
三、情感态度
经过探索，引导、培养学生观察，分析、发现问题的能力。
【教学重难点】
直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用。
【教学过程】
一、情景导入，初步认知
（一）正弦和余弦的定义是什么？
（二）正弦和余弦之间有什么关系？
二、思考探究，获取新知
一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。（结果精确到0.01m）
分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
解：根据题意（如图）
可知，∠BOD=60°
OB=OA＝OD=2.5m
∠AOD＝1/2×60°＝30°
∴OC=OD·cs30°
=2.5×≈2.165(m)
∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m)
所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34m。
三、运用新知，深化理解
（一）求下列式子的值。
（二）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=3/5，求csA。
（三）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，csA＝12/13，AC＝10，AB等于多少？sinB呢？
（四）已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD。（用正弦、余弦函数的定义证明）
解：在Rt△ABC中
sinA=BC/AB
在Rt△BCD中
csB=BD/BC
根据上题中的结论，可知：
在Rt△ABC中，sinA=csB
BC/AB=BD/BC
即：BC2＝AB·BD
四、师生互动、课堂小结
首先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充。
【作业布置】
教材“习题4.1”中第9、10题。
【教学反思】
传统教学存在弊端，同时也具有不合理的元素，因此，我的课堂教学特别强调通过情景引导，使学生学会应用知识，通过探究，将学生引向知识深处，在整个过程中体现了教师的主导作用，学生的主体地位。在教学过程中，如何保证每位学生都得到发展，如何给予每个学生以发展平台，这是每位教师在课堂教学中必须做到的。