2021年高考理科数学一轮复习：专题1.1 集合及其运算 题型全归纳与高效训练突破

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TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 集合的含义与表示1
题型二 集合的基本关系2
题型三 集合的基本运算3
题型四 利用集合的运算求参数4
题型五 集合中的新定义问题5
二、高效训练突破7
一、题型全归纳
题型一 集合的含义与表示
【题型要点】与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
【例1】若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A.eq \f(9,2) B.eq \f(9,8) C.0 D.0或eq \f(9,8)
【例2】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
题型二 集合的基本关系
【题型要点】
(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【例1】(2020·河北衡水中学调研)已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1【例2】(2020云南省楚雄州十校联考)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
题型三 集合的基本运算
【题型要点】集合基本运算的求解规律
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．
(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．
【例1】已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－2【例2】(2020·开封一模)已知集合A＝{y|y＝2x，x>0}，B＝{x|y＝lg2(x－2)}，则A∩(∁RB)＝( )
A．[0,1) B．(1,2) C．(1,2] D．[2，＋∞)
【例3】(2020·江西吉安一中、新余一中等八所中学联考)已知集合M＝[－1，1]，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则M∩N＝( )
A．[0，1] B．[－1，1] C．[0，1) D．(0，1]
【例4】.(2020·安徽宣城八校联考)如图，设全集U＝N，集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2，4} B．{7，8}
C．{1，3，5} D．{1，2，3，4，5}
题型四 利用集合的运算求参数
【题型要点】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【提醒】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
【例1】(2020·江西上饶重点中学六校联考)已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．
C.D．(1，＋∞)
【例2】 已知集合A＝{x|x2－x－12＞0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x＞4}，则实数m的取值范围是________．
【例3】设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．
题型五 集合中的新定义问题
【题型要点】1.集合中的新定义问题
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
2.解决集合的新定义问题的两个切入点
①正确理解新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；
②合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．
【例1】(2020·河南南阳第一中学第十四次考试)定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cs α}，则集合A⊙B的所有元素之和为( )
A．1 B．0
C．－1 D．sin α＋cs α
【例2】(2020·河北保定一模)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝( )
A．{x|0C．{x|1≤x<2} D．{x|0【例3】给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中正确结论的序号是________．
二、高效训练突破
一、选择题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2，3}
C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}
3．(2020·河南许昌、洛阳三模)已知集合A＝{x|y＝eq \r(－x2＋1)}，B＝(0，1)，则A∩B＝( )
A．(0，1) B．(0，1]
C．(－1，1) D．[－1，1]
4．已知集合，则（ ）
A． B． C．D．
5.设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
6.满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．(2020·广东湛江测试(二))已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
7.(2020·福建厦门3月质量检查)已知集合A＝{x|x2－4x＋3>0}，B＝{x|x－a<0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
8.(2020·太原模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)
C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]
9.已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为( )
A.eq \f(1,3)或－eq \f(1,2) B．－eq \f(1,3)或eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3)或－eq \f(1,2)或0 D．－eq \f(1,3)或eq \f(1,2)或0
10.(2020·惠州模拟)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为( )
A．{1} B．{－1，1}
C．{1，0} D．{－1，1，0}
11.已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素，若A∩B非空，则A∩B的元素个数为( )
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
12.已知x∈R，集合A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，则x＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
二、填空题
1.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．
2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．
3．已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为________．
4.给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中错误结论的序号是________．
5．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．
6.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为________．
7.若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．
8．设[x]表示不大于x的最大整数，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，，则A∩B＝________．
三 解答题
1.已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，集合Q＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若a＝3，求集合(∁RP)∩Q；
(2)若P⊆Q，求实数a的取值范围．
2．(2019·衡水中学测试)已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.