2021年高考理科数学一轮复习：专题2.9 函数模型及其应用 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 用函数图象刻画变化过程1
题型二 应用所给函数模型解决实际问题2
题型三 构建函数模型解决实际问题4
命题角度一 构造一次函数、二次函数模型5
命题角度二 构建指数函数、对数函数模型6
命题角度三 构建函数y＝ax＋eq \f(b,x)(a＞0，b＞0)模型7
命题角度四 构建分段函数模型7
二、高效训练突破8
一、题型全归纳
题型一 用函数图象刻画变化过程
【题型要点】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
【例1】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
【答案】B
【解析】当h＝H时，体积为V，故排除A，C；由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.
【例2】一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的eq \f(1,2)，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.
题型二 应用所给函数模型解决实际问题
【题型要点】求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
【例1】某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170 p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
【答案】D
【解析】设毛利润为L(p)元，则由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
当p∈(0，30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－eq \r(a))和(eq \r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a) ]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝eq \r(a)时取最小值2eq \r(a)，当x200，两边同时取对数，得n－1>eq \f(lg 2－lg 1.3,lg 1.12)，又eq \f(lg 2－lg 1.3,lg 1.12)≈eq \f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元，故选C.
命题角度三 构建函数y＝ax＋eq \f(b,x)(a＞0，b＞0)模型
【例3】．(2019·青岛二中模拟某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝eq \f(k,50x＋250)(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；
(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？
【解析】(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，
∵C(0)＝eq \f(k,250)＝4，∴k＝1000，
∴y＝0.2x＋eq \f(1000,50x＋250)×4＝0.2x＋eq \f(80,x＋5)(x≥0)．
(2)y＝0.2(x＋5)＋eq \f(80,x＋5)－1≥2eq \r(0.2x＋5×\f(80,x＋5))－1＝7，当0.2(x＋5)＝eq \f(80,x＋5)，即x＝15时，ymin＝7，故当x为15平方米时，y取得最小值7万元．
命题角度四 构建分段函数模型
【例4】某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【解析】 (1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3，
因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.
当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115＞0，
有3x2－68x＋115＜0，
结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.
所以y＝f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(50x－115（3≤x≤6，x∈Z），,－3x2＋68x－115（6＜x≤20，x∈Z）.))
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x＝6时，ymax＝185；
对于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋eq \f(811,3)(6＜x≤20，x∈Z)，
当x＝11时，ymax＝270.
因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
二、高效训练突破
一、选择题
1．(2020·湖北荆、襄、宜联考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况．
(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升
C．10升 D．12升
【答案】C.
【解析】：因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为eq \f(60,600÷100)＝10(升)．故选C.
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
【答案】D.
【解析】：设进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D.
3.(2019·福建三明联考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq \f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】B
【解析】设至少要洗x次，则≤eq \f(1,100)，∴x≥eq \f(1,lg 2)≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.
4.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100lg2x＋100
【答案】C
【解析】对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x＝4时误差较大．对于C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小．
5．(2020·泸州诊断)某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利 B．无法判断盈亏情况
C．没有盈利也没有亏损 D．略有亏损
【答案】D
【解析】由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.975，不满足公司的要求．
(2)对于y＝1.003x，易知满足①，但当x>538时，y>5，不满足公司的要求．
(3)对于y＝eq \f(1,2)ln x＋1，易知满足①.
当x∈[10,1000]时，y≤eq \f(1,2)ln 1000＋1.
下面证明eq \f(1,2)ln 1000＋11)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
加油时间
加油量(升)
加油时累计里程(千米)
2018年10月1日
12
35 000
2018年10月15日
60
35 600
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过3 000元的部分
3%
2
超过3 000元至12 000元的部分
10%
3
超过12 000元至25 000元的部分
20%
…
…
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