2021年高考理科数学一轮复习：专题3.8 定积分与微积分基本定理 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2053" 一、题型全归纳 PAGEREF _Tc2053 1
\l "_Tc16594" 题型一 定积分的计算 PAGEREF _Tc16594 1
\l "_Tc1530" 类型一 利用微积分基本定理求定积分 PAGEREF _Tc1530 2
\l "_Tc16842" 类型二 利用定积分的几何意义求定积分 PAGEREF _Tc16842 2
\l "_Tc7862" 题型二 利用定积分求平面图形的面积 PAGEREF _Tc7862 3
\l "_Tc78" 题型三 定积分在物理中的应用 PAGEREF _Tc78 4
二、 \l "_Tc13853" 高效训练突破 PAGEREF _Tc13853 5
一、题型全归纳
题型一 定积分的计算
【题型要点】1.计算定积分的解题步骤
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．
(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．
(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．
【易错提醒】 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．
2.运用微积分基本定理求定积分时的4个关键点
(1)对被积函数要先化简，再求积分．
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．
(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．
类型一 利用微积分基本定理求定积分
【例1】计算下列定积分：
(1)；(2)；(3).
【解】 (1)因为(ln x)′＝eq \f(1,x)，所以
(2)因为(sin x)′＝cs x，所以.
(3)因为(x2)′＝2x，＝－eq \f(1,x2)，所以.
类型二 利用定积分的几何意义求定积分
【例2】计算下列定积分：
(1)；
(2).
【解】 (1)
根据定积分的几何意义，可知表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的eq \f(1,4)(如图中阴影部分)．
故＝eq \f(π,4).
(2)设y＝f(x)＝3x3＋4sin x，
则f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x)，
所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5，5]上是奇函数．
所以.
所以.
题型二 利用定积分求平面图形的面积
【题型要点】1.利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论
2.设阴影部分的面积为S，则对如图所示的四种情况分别有：

(1).
(2).
(3)
(4).
【例1】由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积为__________．
【答案】18
【解析】 如图所示
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2x，,y＝x－4，))得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)．
法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，
即.
法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积.
【例2】曲线y＝－x＋2，y＝eq \r(x)与x轴所围成的面积为________．
【答案】eq \f(7,6)
【解析】如图所示
由y＝eq \r(x)及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝eq \r(x)，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为
题型三 定积分在物理中的应用
【题型要点】定积分在物理中的两个应用
(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程.
(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是.
【例1】物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】：.因为物体A在t秒内行驶的路程为，物体B在t秒内行驶的路程为，因为(t3＋t－5t2)′＝3t2＋1－10t，所以，整理得(t－5)(t2＋1)＝0，解得t＝5.
【例2】设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m；力的单位： N)．
【答案】：342
【解析】：变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为，因为，所以原式＝342(J)．
二、高效训练突破
一、选择题
1．定积分的值为( )
A．e＋1 B．e
C．e－eq \f(1,2) D．e＋eq \f(1,2)
【答案】D
【解析】：.
2．已知t是常数，若，则t＝( )
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
【答案】D
【解析】由得，(x2－2x)|eq \\al(t,0)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．
3.设，则( )
A．1 B．sin eq \r(2)
C．sin 2 D．2sin eq \r(2)
【答案】D
【解析】∵＝sin t|eq \\al(x,－x)＝2sin x，∴，∴
4.若，则＝( )
A．－1 B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,3) D．1
【答案】B.
【解析】：因为，所以＝，所以＝－eq \f(1,3).
5.若f(f(1))＝1，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
【答案】A.
【解析】：因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝，所以由f(f(1))＝1得a3＝1，所以a＝1.
6.直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2eq \r(2) B．4eq \r(2)
C．2 D．4
【答案】D
【解析】如图
y＝4x与y＝x3的交点A(2，8)，图中阴影部分即为所求图形面积．
，故选D.
7.的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2)
C．π D．2π
【答案】A
【解析】令y＝eq \r(x（2－x）)，则(x－1)2＋y2＝1，(y＞0)．
∴表示由曲线y＝eq \r(x（2－x）)，x＝0，x＝1及x轴围成的曲边图形的面积，即圆面积的eq \f(1,4)，
∴＝eq \f(π,4).
8．如果1 N的力能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为( )
A．0.18 J B．0.26 J
C．0.12 J D．0.28 J
【答案】A
【解析】设F(x)＝kx，当x＝0.01 m时，F(x)＝1，可知k＝100.∴所耗费的功
9.由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭平面图形的面积为( )
A.eq \f(32,9) B．4－ln 3
C．4＋ln 3 D．2－ln 3
【答案】B.
【解析】：画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝1，直线y＝x，x＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xy＝1，,y＝x，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.（舍）))由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＝3，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝3.))
故阴影部分的面积为.
10．已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin x x∈[－π，0],\r(1－x2) x∈（0，1]))，则( )
A．2＋π B.eq \f(π,2)
C．－2＋eq \f(π,2) D.eq \f(π,4)－2
【答案】D
【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的eq \f(1,4)，故，所以，故选D.
二、填空题
1.一物体在力F(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5，0≤x≤2，,3x＋4，x>2))(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J.
【答案】36
【解析】由题意知，力F(x)所做的功为
．
2.若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则f′(1)＝________，＝________．
【答案】－3 －4
【解析】因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，
所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．
所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.
所以f(x)＝x3－3x2.
故
3.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为eq \f(1,12)，则a的值为________．
【答案】：－1
【解析】：f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，因为f′(0)＝0，所以b＝0，所以f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a＜0)．，所以a＝－1.
4.一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)＝eq \f(1,10)ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时F(x)所做的功等于________．
【答案】：－eq \f(e,10)－eq \f(2,5)
【解析】：由题意知
5.设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若，x0＞0，则x0＝________．
【答案】eq \r(3)
【解析】依题意得，即3axeq \\al(2,0)＝9a(a≠0)，xeq \\al(2,0)＝3(x0＞0)，由此解得x0＝eq \r(3).
6.汽车以72 km/h的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a＝4 m/s2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.
【答案】50
【解析】先求从刹车到停车所用的时间，
当t＝0时，v0＝72 km/h＝20 m/s，
刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.
令v(t)＝0，可得t＝5 s，
所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：
．
即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m．
三、解答题
1.已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．
【答案】
【解析】：因为(1，2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，
设过点(1，2)处的切线的斜率为k，
则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，
所以过点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图中阴影部分所示，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝2x))可得交点A(2，4)，O(0，0)，故y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积
2.如图，在曲线C：y＝x2，x∈[0，1]上取点P(t，t2)，过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝1及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S1，S2.当S1＝S2时，求t的值．
【答案】t＝eq \f(\r(3),3)
【解析】：根据题意，直线l的方程是y＝t2，且0＜t＜1.结合题图，得交点坐标分别是A(0，0)，P(t，t2)，B(1，1)．所以，0＜t＜1.
，0＜t＜1.
由S1＝S2，得eq \f(2,3)t3＝eq \f(2,3)t3－t2＋eq \f(1,3)，所以t2＝eq \f(1,3).又0＜t＜1，所以t＝eq \f(\r(3),3).
所以当S1＝S2时，t＝eq \f(\r(3),3).