2021年高考理科数学一轮复习：专题4.3 三角函数的图象与性质 题型全归纳与高效训练突破

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TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 三角函数的定义域和值域1
题型二 三角函数的单调性3
类型一 求三角函数的单调区间3
类型二 根据单调性求参数4
题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性7
类型一 三角函数的周期性7
类型二 三角函数的奇偶性8
类型三 三角函数的对称性9
题型四 三角函数中ω值的求法11
类型一、利用三角函数的单调性求解11
类型二、利用三角函数的对称性求解11
类型三、利用三角函数的最值求解12
二、高效训练突破13
一、题型全归纳
题型一 三角函数的定义域和值域
【题型要点】1．三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．
【例1】函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________．
【答案】：{x|2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z}
【解析】：法一：要使函数有意义，必须使sin x－cs x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x＝cs x的x为eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x|2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z}．
法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．
所以定义域为{x|2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z}．
法三：sin x－cs x＝eq \r(2)sin(x－eq \f(π,4))≥0，
将x－eq \f(π,4)视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－eq \f(π,4)≤π＋2kπ(k∈Z)，
解得2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)．
所以定义域为{x|2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z}．
【例2】．(2020·长沙质检)函数y＝sinx－csx＋sinxcsx的值域为________．
【答案】
【解析】令t＝sinx－csx，则t＝eq \r(2)sin∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]．由(sinx－csx)2＝1－2sinxcsx得sinxcsx＝eq \f(1,2)(1－t2)，
所以y＝t＋eq \f(1,2)(1－t2)，t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]的值域即为所求．
因为y＝t＋eq \f(1,2)(1－t2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1，
当t＝－eq \r(2)时，ymin＝－eq \f(1,2)－eq \r(2)，
当t＝1时，ymax＝1，
所以原函数的值域为
题型二 三角函数的单调性
类型一 求三角函数的单调区间
【题型要点】三角函数单调性的求法
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解；
(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．
【例1】(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以eq \f(π,2)为周期且在区间上单调递增的是( )
A．f(x)＝|cs2x| B．f(x)＝|sin2x|
C．f(x)＝cs|x| D．f(x)＝sin|x|
【答案】A
【解析】作出函数f(x)＝|cs2x|的图象，如图．
由图象可知f(x)＝|cs2x|的周期为eq \f(π,2)，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为eq \f(π,2)，在区间上单调递减，f(x)＝cs|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.
【例2】．已知eq \f(π,3)为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由于eq \f(π,3)为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则＝0，所以sin＝0，
解得φ＝eq \f(π,3)，故f(x)＝sin，令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
解得kπ－eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(π,12)(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为．
类型二 根据单调性求参数
【题型要点】已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法
(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；
(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过eq \f(1,4)周期列不等式(组)求解．
【易错提醒】要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω0)在区间[－eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)]上是增函数，则ω的取值范围是________．
【答案】(0，eq \f(3,4)]
【解析】法一：因为x∈[－eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)](ω>0)，
所以ωx∈[－eq \f(ωπ,2)，eq \f(2πω,3)]，
因为f(x)＝2sin ωx在[－eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)]上是增函数，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)ω≥－\f(π,2)，,\f(2π,3)ω≤\f(π,2)，,ω>0，))故00)的图象如图所示．
要使f(x)在[－eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)]上是增函数，需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)≤－\f(π,2)，,\f(2π,3)≤\f(π,2ω)))
(ω>0)，即00)，
从而有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)≤－\f(π,2)，,\f(π,2ω)≥\f(2π,3)，))即00，函数f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,4))在(eq \f(π,2)，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．
【答案】：[eq \f(1,2)，eq \f(5,4)]
【解析】：法一：由eq \f(π,2)