2021年高考理科数学一轮复习：专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 平面向量基本定理及其应用1
题型二 平面向量的坐标运算4
题型三 平面向量共线的坐标表示5
命题角度一 利用两向量共线求参数或坐标5
命题角度二 利用向量共线求解三点共线问题6
题型四 平面向量与三角形的“四心”问题7
一、平面向量与三角形的“重心”问题8
二、平面向量与三角形的“内心”问题8
三、平面向量与三角形的“垂心”问题9
四、平面向量与三角形的“外心”问题10
二、高效训练突破11
一、题型全归纳
题型一 平面向量基本定理及其应用
【题型要点】1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2.平面向量基本定理应用的实质和一般思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【易错提醒】在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
【例1】如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，F为AE的中点，则eq \(BF,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)) B．eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C．－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)) D．－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
【例2】(2020·西安调研)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若eq \(AE,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，则实数m的值为________．
题型二 平面向量的坐标运算
【题型要点】向量坐标运算的策略
①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行；
②若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；
③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
【例1】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标．
【例2】(2020·厦门外国语学校模拟)已知点A(－1,1)，B(0,2)，若向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,3)，则向量eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．(3，－2) B．(2，－2)
C．(－3，－2) D．(－3,2)
【例3】已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(3,2)b B.eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b
C．－eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b D．－eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b
题型三 平面向量共线的坐标表示
命题角度一 利用两向量共线求参数或坐标
【题型要点】1．平面向量共线的充要条件的两种形式
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2．利用向量共线求参数值
向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值．当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解．
【例1】(2020·开封模拟)已知平面向量a，b，c，a＝(－1，1)，b＝(2，3)，c＝(－2，k)，若(a＋b)∥c，则实数k＝________．
【例2】已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
命题角度二 利用向量共线求解三点共线问题
【例3】已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
【例3】(2020·江西吉安一中、新余一中等八所中学联考)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．eq \f(4,3) C.eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
题型四 平面向量与三角形的“四心”问题
【题型要点】
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c则
(1)O为△ABC的外心⇔|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(a,2sin A).
(2)O为△ABC的重心⇔eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→)).
(4)O为△ABC的内心⇔aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→))＋ceq \(OC,\s\up6(→))＝0.
一、平面向量与三角形的“重心”问题
【例1】(2020·江西上饶重点中学六校联考)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)[(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)·eq \(OC,\s\up6(→))]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过( )
A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心 D．AB边的中点
二、平面向量与三角形的“内心”问题
【例2】在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cs A＝eq \f(1,5)，O是△ABC的内心，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为( )
A.eq \f(10\r(6),3) B．eq \f(14\r(6),3)
C．4eq \r(3) D．6eq \r(2)
三、平面向量与三角形的“垂心”问题
【例3】 已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C))，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
四、平面向量与三角形的“外心”问题
【例4】 已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq \r(6)，AC＝2，点O为△ABC的外心，若eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则有序实数对(x，y)为( )
A. B．
C. D．
二、高效训练突破
一、选择题
1．(2020·绍兴模拟)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq \(MN,\s\up6(→))＝－3a，则点N的坐标为( )
A．(2,0) B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
2．(2020·山东德州一模)已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量m＝(sinB－sinA，eq \r(3)a＋c)，n＝(sinC，a＋b)，且m∥n，则B的大小是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(5π,6)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
3.在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－eq \f(1,2)b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝( )
A．－2 B．－4 C．－3 D．－1
4．(2020·安徽合肥第一次质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( )
A. B．(－6，8)
C. D．(6，－8)
5.(2020·宁波模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
6．(2020·绵阳模拟)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD的中点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AE,\s\up6(→))，则λ＋μ＝( )
A．3 B.eq \f(5,2)
C．2 D．1
7.已知向量eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))和eq \(AB,\s\up6(→))在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ等于( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
8.(2020·山东师范大学附中模拟)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝( )
A．1 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
9．(2020·南充摸底)原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝2，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝3，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，则eq \f(μ,λ)＝( )
A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3)
C．－eq \r(3) D.eq \r(3)
10．(2020·包河区校级月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，合得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(\r(5)－1,2)，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设eq \(AP,\s\up6(→))x1eq \(AB,\s\up6(→))＋y1eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AQ,\s\up6(→))＝x2eq \(AB,\s\up6(→))＋y2eq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(x1,x2)＋eq \f(y1,y2)＝( )
A.eq \f(\r(5)＋1,2) B．2
C.eq \r(5) D．eq \r(5)＋1
二、填空题
1.已知向量a＝(1，λ)，b＝(λ，2)，若(a＋b)∥(a－b)，则λ＝________.
2．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(λAC,\s\up6(→))(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．
3．在△ABC中，点M，N满足eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→))，若eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＝________；y＝________.
4.(2020·湖北荆门阶段检测)在△AOB中，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))，D为OB的中点，若eq \(DC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，则λμ的值为________．
5．已知O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－2，－1)，若2eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则|eq \(OP,\s\up6(→))|＝________.
6．已知A(－3，0)，B(0，eq \r(3))，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
7.已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
8．(2020·安徽省马鞍山二中高考模拟)已知向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，sinα－1)，eq \(BA,\s\up6(→))＝(3,1)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(2，csα)，若B，C，D三点共线，则tan(2019π－α)＝________.
9.若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________．
10．已知非零不共线向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，若2eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，且eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则点P(x，y)的轨迹方程是________．
三 解答题
1.已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，若eq \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，求r＋s的值；
(2)已知点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
2.已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))，求eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的值，并说明理由．