2021年高考理科数学一轮复习：专题6.1 数列的概念与简单表示法 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳2
题型一 知数列前几项求通项公式2
题型二 an与Sn关系的应用3
类型一 利用an与Sn的关系求通项公式an3
类型二 利用an与Sn的关系求Sn4
题型三 由数列的递推关系求通项公式5
类型一 形如an+1＝anf(n)，求an5
类型二 形如an＋1＝an＋f(n)，求an6
类型三 形如an＋1＝pan＋q(p≠0且p≠1)，求an7
类型四 形如an＋1＝(A，B，C为常数)，求an8
题型四 数列的函数特征9
类型一 数列的单调性9
类型二 求最大(小)项10
类型三 数列的周期性11
二、高效训练突破12
一、题型全归纳
题型一 知数列前几项求通项公式
【题型要点】由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③各项的符号特征和绝对值特征；
④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．
⑤对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理
【例1】数列{an}的前4项是eq \f(3,2)，1，eq \f(7,10)，eq \f(9,17)，则这个数列的一个通项公式是an＝________．
【例2】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
(3)1,0，eq \f(1,3)，0，eq \f(1,5)，0，eq \f(1,7)，0，…；
(4)eq \f(3,2)，1，eq \f(7,10)，eq \f(9,17)，….
题型二 an与Sn关系的应用
类型一 利用an与Sn的关系求通项公式an
【题型要点】已知Sn求an的三个步骤
①先利用a1＝S1求出a1；
②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．
【例1】(2020·河北衡水中学调研)已知Sn＝3n＋2n＋1，则an＝________.
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式an＝________．
类型二 利用an与Sn的关系求Sn
【题型要点】Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
【例3】设Sn是数列{an}的前n项和，Sn≠0，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．
【例4】已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn≠0，且当n≥2时，有eq \f(2an,anSn－Seq \\al(2,n))＝1成立，则S2 017＝________．
题型三 由数列的递推关系求通项公式
类型一 形如an+1＝anf(n)，求an
【题型要点】根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出eq \f(an,a1)与n的关系式，进而得到an的通项公式．
累乘法求通项公式的四步骤
【例1】已知数列{an}中，a1＝1，an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2)，求通项公式an.
【例2】(2020·开封一模)在数列{an}中，a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an(n≥1)，则an＝________.
类型二 形如an＋1＝an＋f(n)，求an
【题型要点】根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．
累加法求通项公式的四步骤
【例3】设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
【例4】已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，求通项公式an.
类型三 形如an＋1＝pan＋q(p≠0且p≠1)，求an
【题型要点】根据形如an＋1＝pan＋q的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列{an＋x}，即将原递推关系式化为an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出数列{an＋x}的通项公式，最后求{an}的通项公式．
构造法求通项公式的三步骤

【例5】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
【例6】已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．
类型四 形如an＋1＝(A，B，C为常数)，求an
【题型要点】根据形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)(A，B，C为常数)的递推关系式求通项公式时，一般对递推式两边同时取倒数，当A≠C时，化为eq \f(1,an＋1)＋x＝eq \f(C,A)的形式，可构造公比为eq \f(C,A)的等比数列，其中用待定系数法求x是关键，当A＝C时，可构成一个等差数列．
【例7】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，求数列{an}的通项公式．
题型四 数列的函数特征
类型一 数列的单调性
【题型要点】判断数列的单调性的方法
(1)作差比较法：an＋1－an＞0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－an＜0⇔数列{an}是递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．
(2)作商比较法：ⅰ.当an＞0时，则eq \f(an＋1,an)＞1⇔数列{an}是递增数列；eq \f(an＋1,an)＜1⇔数列{an}是递减数列；eq \f(an＋1,an)＝1⇔数列{an}是常数列；ⅱ.当an＜0时，则eq \f(an＋1,an)＞1⇔数列{an}是递减数列；eq \f(an＋1,an)＜1⇔数列{an}是递增数列；eq \f(an＋1,an)＝1⇔数列{an}是常数列．
(3)结合相应函数的图象直观判断．
【例1】已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．
【例2】 已知an＝eq \f(n＋0.99,n－0.99)，那么数列{an}是( )
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
类型二 求最大(小)项
【题型要点】求数列最大(小)项的方法
(1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
(2)利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an＋1，,an≥an－1))求数列中的最大项an；利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an＋1，,an≤an－1))求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
【例3】已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(9n（n＋1）,10n)，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由．
【例4】(2020·大庆模拟)已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)，则数列{an}的项取最大值时，n＝________.
类型三 数列的周期性
【例7】已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)(n∈N*)，则该数列的前2 021项的乘积a1·a2·a3·…·a2 021＝________．
二、高效训练突破
一、选择题
1．如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为( )
A．5n－1 B．6n
C．5n＋1 D．4n＋2
2．(2020·秦皇岛质检)数列eq \f(2,3)，－eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，－eq \f(8,9)，…的第10项是( )
A．－eq \f(16,17) B．－eq \f(18,19)
C．－eq \f(20,21) D．－eq \f(22,23)
3.已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq \f(1,2)，那么a5＝( )
A.eq \f(1,32) B．eq \f(1,16) C.eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)
4．在数列{an}中，a1＝－eq \f(1,4)，an＝1－eq \f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，则a2 020的值为( )
A．－eq \f(1,4) B．5
C.eq \f(4,5) D．eq \f(5,4)
5.(2020·沈阳模拟)已知数列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则an＝( )
A．2n－1 B.n－1
C．n D．n2
6．(2020·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝( )
A.eq \f(1,3n－1) B.eq \f(2,nn＋1)
C.eq \f(6,n＋1n＋2) D.eq \f(5－2n,3)
7．(2020·湖北八校联考)已知数列{an}满足an＝eq \r(5n－1)(n∈N*)，将数列{an}中的整数项按原来的顺序组成新数列{bn}，则b2019的末位数字为( )
A．8 B．2
C．3 D．7
8．(2020·山西太原模拟(一))已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋an＝2n(n∈N*)，则a7＝( )
A.eq \f(7,3) B．eq \f(127,64)
C.eq \f(321,32) D．eq \f(385,64)
9．(2020·广东广州天河毕业班综合测试(一))数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a99)＝( )
A.eq \f(99,98) B．2 C.eq \f(99,50) D．eq \f(99,100)
10.(2020·辽宁省葫芦岛市普通高中高三第二次模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，{an}满足a1＝1，且an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2an－1－1，n为偶数，,2an－1＋2，n为奇数，))则解下4个环所需的最少移动次数为( )
A．7 B．10
C．12 D．22
11．(2020·广东中山一中月考)已知数列1，eq \f(1,2)，eq \f(2,1)，eq \f(1,3)，eq \f(2,2)，eq \f(3,1)，eq \f(1,4)，eq \f(2,3)，eq \f(3,2)，eq \f(4,1)，…，则eq \f(8,9)是该数列的( )
A．第127项 B．第128项
C．第129项 D．第130项
12．(2020·安徽江淮十校第三次联考)已知数列{an}满足eq \f(an＋1－an,n)＝2，a1＝20，则eq \f(an,n)的最小值为( )
A．4eq \r(5) B．4eq \r(5)－1 C．8 D．9
二、填空题
1.(2020·陕西商洛期中)在数列{an}中，已知an＝(－1)n＋n＋a(a为常数)，且a1＋a4＝3a2，则a100＝________.
2.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．
3.(2020·菏泽模拟)设数列{an}满足a1·2a2·3a3·…·nan＝2n，则an＝________.
4．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，记数列{anbn}的前n项和为Sn，若eq \f(Sn－2,2n＋1)＋1＝n，则数列{bn}的通项公式为bn＝________．
5.已知数列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为________．
6．(2020·广东湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2，2 019]时，符合条件的a共有________个．
三 解答题
1.已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝eq \f(n＋2,3)an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
2．(2020·银川模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(lg2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
3.已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝1－eq \f(4,an)(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(cn))的变号数．