2021年高考理科数学一轮复习：专题6.3 等比数列及其前n项和 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 等比数列基本量的运算1
题型二 等比数列的判定与证明3
题型三 等比数列性质的应用6
类型一 等比数列项的性质的应用7
类型二 等差数列前n项和性质的应用8
题型四 数列与数学文化及实际应用10
类型一．等差数列与数学文化10
类型二．等比数列与数学文化11
类型三．递推数列与数学文化12
类型四．周期数列与数学文化12
类型五．数列在实际问题中的应用13
二、高效训练突破13
一、题型全归纳
题型一 等比数列基本量的运算
【题型要点】1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0，n∈N*)．
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3.解决等比数列有关问题的2种常用思想
4．等比数列的基本运算方法
(1)等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行．
(2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成a1，n，q，an，Sn的“知三求二”问题．
【例1】记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝eq \f(1,3)，aeq \\al(2,4)＝a6，则S5＝________．
【例2】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
题型二 等比数列的判定与证明
【题型要点】等比数列的判定方法
(1)定义法：若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
【易错提醒】：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
【例1】已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝eq \f(an,n).
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
【例2】设数列{an}的前n项和为Sn，满足：Sn＋an＝eq \f(n－1,nn＋1)，n＝1,2，…，n.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求Sn.
【例3】(2020·沈阳模拟)已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( )
A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列
C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列
D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
【例4】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an，若不存在，请说明理由．
题型三 等比数列性质的应用
【题型要点】1.等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,r)．
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
常用结论
2．记住等比数列的几个常用结论
(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，仍是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．
(4){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比数列．
(5)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝eq \f(a1,1－q).
(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．
类型一 等比数列项的性质的应用
【例1】已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1
C.eq \f(1,2) D．eq \f(1,8)
【例2】(2020·开封模拟)已知数列{an}满足lg2an＋1＝1＋lg2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则lg2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.
类型二 等差数列前n项和性质的应用
【例3】等比数列{an}中，前n项和为48，前2n项和为60，则其前3n项和为________．
【例4】(2020·池州高三上学期期末)已知等比数列{an}的公比q＝2，前100项和为S100＝90，则其偶数项a2＋a4＋…＋a100为( )
A．15 B．30
C．45 D．60
【例5】(2020·丽水模拟)设各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于( )
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400或－50
【总结提升】1．掌握运用等比数列性质解题的两个技巧
(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．
(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：
①若{an}是等比数列，且an>0，则{lgaan}(a>0且a≠1)是以lgaa1为首项，lgaq为公差的等差数列．
②若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
2．牢记与等比数列前n项和Sn相关的几个结论
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1＋q)(q≠1且q≠－1)，eq \f(S奇－a1,S偶)＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝eq \f(Sn＋m－Sn,Sm)(q为公比)．
题型四 数列与数学文化及实际应用
类型一．等差数列与数学文化
【例1】(2020·广东潮州二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重( )
A．6斤 B．7斤
C．9斤 D．15斤
【题后升华】以数学文化为背景的等差数列模型题的求解关键：一是会脱去数学文化的背景，读懂题意；二是构建模型，即由题意构建等差数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等．
类型二．等比数列与数学文化
【例2】(2020·湖南衡阳三模)中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题．今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为( )
A.eq \f(25,3) B．eq \f(50,3)
C.eq \f(50,7) D．eq \f(100,7)
【题后升华】以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n项和等．
类型三．递推数列与数学文化
【例3】(2020·北京市石景山区3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2an－1－1，n为偶数，,2an－1＋2，n为奇数，))则解下4个环所需的最少移动次数a4为( )
A．7 B．10
C．12 D．22
【题后升华】以数学文化为背景的已知递推公式的数列模型的求解关键是耐心读题、仔细理解题，只有弄清题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答，“盯紧”题目条件中的递推公式，利用此递推公式往要求的量转化，如本题，剥去数学文化背景，实质就是已知a1＝1，且an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2an－1－1，n为偶数，,2an－1＋2，n为奇数，))求a4的问题．
类型四．周期数列与数学文化
【例4】(2020·山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 019项的和为( )
A．672 B．673
C．1 346 D．2 019
【题后反思】以数学文化为背景的周期数列模型题的求解关键是细审题，建立数学模型，并会适时脱去背景，如本题，脱去背景，实质是利用斐波那契数列的各项除以2的余数的特征，得出新数列的周期性，进而求出结果．
类型五．数列在实际问题中的应用
【例5】私家车具有申请报废制度．一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3 000元的等差数列，第一年维修费为3 000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限(使用多少年的年平均费用最少)是________年．
【题后反思】数学建模是指对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决实际问题的过程．有关数列的应用问题，是让学生能够在实际情境中，用数学的思想分析数列问题，用数学的语言表达数列问题，用数学的知识得到数列模型，用数列的方法得到结论，验证数学结论与实际问题的相符程度，最终得到符合实际规律的结果．
二、高效训练突破
一、选择题
1．(2020·湖南衡阳一模)在等比数列{an}中，a1a3＝a4＝4，则a6的所有可能值构成的集合是( )
A．{6} B．{－8，8}
C．{－8} D．{8}
2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135 B．100
C．95 D．80
3．(2020·山西3月高考考前适应性测试)正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，且a5与a9的等差中项为4，则{an}的公比是( )
A．1 B．2
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \r(2)
4．(2020·湘赣十四校第二次联考)中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了( )
A．6里 B．12里
C．24里 D．96里
5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )
A．13 B．12 C．11 D．10
6．(2020·青岛模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6,3a4，－a5成等差数列，则eq \f(S4,S2)＝( )
A．3 B．9
C．10 D．13
7．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42
C．63 D．84
8．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )
A．80 B．30
C．26 D．16
9.(2020·新乡调研)已知各项均不为0的等差数列{an}满足a3－eq \f(a\\al(2,7),2)＋a11＝0，数列{bn}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝( )
A．25 B．16
C．8 D．4
10．(2020·天津武清区模拟)设{an}是首项大于零的等比数列，则“aeq \\al(2,1)1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则q等于( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(3,2) D．eq \f(3,2)
二、填空题
1.(2020·黄冈模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为eq \f(3,2)，则S5＝________．
2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________．
3．(2020·安徽安庆模拟)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为________．
4.在递增的等比数列{an}中，已知a1＋an＝34，a3·an－2＝64，且前n项和Sn＝42，则n＝________．
5．已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有eq \f(am＋n,am)＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝________.
三 解答题
1.已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
2.已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝eq \f(31,32)，求λ.
3.(2020·湖北武汉4月毕业班调研)已知正项等比数列{an}的前n项和Sn满足S2＋4S4＝S6，a1＝1.
(1)求数列{an}的公比q；
(2)令bn＝an－15，求T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值．
4．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；
(2)求T2n.
方程的思想
等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解
分类讨论的思想
等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q)