2021年高考理科数学一轮复习：专题6.4 数列求和与数列综合 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 分组转化求和1
题型二 错位相减法求和3
题型三 裂项相消法求和6
题型四 并项求和8
题型五 数列与其他知识的交汇9
类型一．数列与不等式的交汇问题9
类型二．数列与三角函数的综合10
类型三．数列与函数的综合11
类型四．数列中的新定义问题12
类型五．数列中的新情境问题13
二、高效训练突破14
一、题型全归纳
题型一 分组转化求和
【题型要点】分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；
(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．
【例1】(2020·山东五地5月联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足关于x的不等式a1x2－S2x＋20，a6和a8是函数f(x)＝eq \f(15,4)ln x＋eq \f(1,2)x2－8x的极值点，则S8＝( )
A．－38 B．38
C．－17 D．17
【题后反思】破解数列与函数相交汇问题的关键：一是会利用导数法求函数的极值点；二是会利用等差数列的单调性，若公差大于0，则该数列单调递增，若公差小于0，则该数列单调递减，若公差等于0，则该数列是常数列，不具有单调性；三是会利用公式法求和，记清等差数列与等比数列的前n项和公式，不要搞混．
类型四．数列中的新定义问题
【例4】(2020·河北石家庄4月模拟)数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝eq \f(a1＋2a2＋…＋2n－1an,n)，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则Sn＝________．
【题后反思】破解此类数列中的新定义问题的关键：一是盯题眼，即需认真审题，读懂新定义的含义，如本题，题眼{an}的“优值”Hn＝2n的含义为eq \f(a1＋2a2＋…＋2n－1an,n)＝2n；二是想“减法”，如本题，欲由等式a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n求通项，只需写出a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n－1，通过相减，即可得通项公式．
类型五．数列中的新情境问题
【例5】(2020·安徽六校第二次联考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋ a2 ＝3，a3－a2＝ 2，等差数列{bn}的前n项和为Sn，且b3＝5，S4＝16.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系中，有点P1(a1，0)，P2(a2，0)，…，Pn(an，0)，Pn＋1(an＋1，0)，Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)，…，Qn(an，bn)，若记△PnQnPn＋1的面积为cn，求数列{cn}的前n项和Tn.
【题后反思】数列中新情境问题的求解关键：一是观察新情境的特征，如本题中的各个直角三角形的两直角边长的特征；二是会转化，如本题，把数列{cn}的通项公式的探求转化为直角三角形的两直角边长的探求；三是活用数列求和的方法，如本题，活用错位相减法，即可得数列{cn}的前n项和．
二、高效训练突破
一、选择题
1.在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为( )
A．990 B．1 000
C．1 100 D．99
2.(2020·汕头摸底)已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2019项和为( )
A．5 B．－4
C．0 D．－2
3．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象经过点P(1，3)，Q(2，5)．当n∈N*时，an＝eq \f(f（n）－1,f（n）·f（n＋1）)，记数列{an}的前n项和为Sn，当Sn＝eq \f(10,33)时，n的值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
4．(2020·河北保定期末)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则该数列的前100项之和是( )
A．18 B．8
C．5 D．2
5．已知数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn，若an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(an,2)，an是偶数，,3an＋1，an是奇数，))且a1＝5，则S2020＝( )
A．4740 B．4737
C．12095 D．12002
6.在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝( )
A．132 B．299
C．68 D．99
7．(2020·洛阳模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，(Sn＋1－Sn)an＝2n(n∈N*)，则S2020＝( )
A．3×(21010－1) B.eq \f(3,2)×(21010－1)
C．3×(22020－1) D.eq \f(3,2)×(22020－1)
8.(2020·河北五个一名校联盟第一次诊断)数列{an}的通项公式为an＝ncseq \f(nπ,2)，其前n项和为Sn，则S2021等于( )
A．－1010 B．2018
C．505 D．1010
9.在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于( )
A．76 B．78
C．80 D．82
10．(2020·湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,n).①
第二步：将数列①的各项乘以eq \f(n,2)，得到一个新数列a1，a2，a3，…，an.
则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝( )
A.eq \f(n2,4) B.eq \f(n－12,4)
C.eq \f(nn－1,4) D.eq \f(nn＋1,4)
二、填空题
1.(2020·湖南三湘名校(五十校)第一次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1.当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 019＝________．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，记Tn＝eq \f(1,S1)＋eq \f(1,S2)＋…＋eq \f(1,Sn)(n∈N*)，则T2 018＝________．
3.(2020·商丘质检)有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________．
4.(2020·枣庄模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为________．
5.(2020·湖南郴州第二次教学质量监测)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝2bn(n∈N*)，若数列{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16，则数列的前n项和Sn＝________．
三 解答题
1.已知数列{an}满足a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an＝eq \f(n,4)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(4nan,2n＋1)，求数列{bnbn＋1}的前n项和Tn.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝eq \f(3an－1,2).
(1)求an；
(2)若bn＝(n－1)an，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
3.已知等差数列{an}中，a5－a3＝4，前n项和为Sn，且S2，S3－1，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)neq \f(4n,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
4.已知Sn为正项数列{an}的前n项和，a1＝1，且eq \r(Sn)＝an＋eq \f(1,4)(n≥2且n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{4eq \r(Sn)·an}的前n项和Tn.
数列
裂项方法
(k为非零常数)
eq \f(1,nn＋k)＝eq \f(1,k)
eq \f(1,4n2－1)＝eq \f(1,2)
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))))
eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))
(a>0，a≠1)
＝lga(n＋1)－lgan
{an}为等差数列，公差
为d(d≠0)，
eq \f(1,an·an＋1)＝eq \f(1,d)