2021年高考理科数学一轮复习：专题8.4 直线、平面垂直的判定与性质 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19146" 一、考点全归纳 PAGEREF _Tc19146 1
\l "_Tc11970" 二 题型全归纳 PAGEREF _Tc11970 4
\l "_Tc7809" 题型一 线面垂直的判定与性质 PAGEREF _Tc7809 4
\l "_Tc514" 类型一 线面垂直的证明 PAGEREF _Tc514 4
\l "_Tc28210" 类型二 线面垂直性质的应用 PAGEREF _Tc28210 5
\l "_Tc6329" 题型二 面面垂直的判定与性质 PAGEREF _Tc6329 6
\l "_Tc29262" 题型三 平行与垂直的综合问题 PAGEREF _Tc29262 10
\l "_Tc9918" 类型一 探索性问题中的平行与垂直关系 PAGEREF _Tc9918 10
\l "_Tc8149" 类型二 折叠问题中的平行与垂直关系 PAGEREF _Tc8149 13
\l "_Tc9100" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc9100 15
一、考点全归纳
1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
3.空间角
(1)直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．
②线面角θ的范围：θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．
(2)二面角
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．
如图的二面角，可记作：二面角α­l­β或二面角P­AB­Q．
②二面角的平面角
如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α­l­β的平面角．
③二面角的范围
设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．
④当θ＝eq \f(π,2)时，二面角叫做直二面角．
【常用结论】
1．线线、线面、面面垂直间的转化
2．两个重要定理
(1)三垂线定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．
3．重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
二 题型全归纳
题型一 线面垂直的判定与性质
【题型要点】(1)判定线面垂直的四种方法
(2)判定线线垂直的四种方法
类型一 线面垂直的证明
【例1】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝eq \f(1,2)AB，PH为△PAD中AD边上的高．
求证：(1)PH⊥平面ABCD；
(2)EF⊥平面PAB.
类型二 线面垂直性质的应用
【例2】如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
题型二 面面垂直的判定与性质
【题型要点】(1)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是：先寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，作辅助线应有理论根据并有利于证明．
(2)证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现．
(3)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．
【例1】(2020·衡水中学模拟)如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2.PA＝AB＝BC＝1.
(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；
(2)求四棱锥P­ABCD的体积．
【例2】.如图，四棱锥P­ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.
题型三 平行与垂直的综合问题
类型一 探索性问题中的平行与垂直关系
【通法归纳】处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明．探索点存在问题，点多为中点或n等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置．
【技巧要点】对命题条件的探索的三种途径
途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．
途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
途径三：将几何问题转化为代数问题
【例1】(2019·北京高考)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
【例2】如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.
(1)求证：C1E∥平面ADF；
(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF.
类型二 折叠问题中的平行与垂直关系
【通法归纳】解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”．
(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；
(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变．
【例1】如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝eq \f(2,3)DA，求三棱锥Q­ABP的体积．
【例2】如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝eq \r(2)，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A′－BCDE，其中A′O＝eq \r(3).
(1)证明：A′O⊥平面BCDE；
(2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．
三、高效训练突破
一、选择题
1．(2020·昆明模拟)己知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是( )
A．l∥β或l⊂β B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
2．(2020·辽宁大连模拟)已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2020·河北唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
A．①② B．②④
C．①③ D．②③
4.(2020·黑龙江鹤岗模拟)如图，在三棱锥V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是( )
A．AC＝BC B．AB⊥VC C．VC⊥VD D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO
5.(2020·宁夏模拟)如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P­ABC的四个面中，直角三角形的个数有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
6．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
7.如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC
8．(2020·武邑模拟)如图所示，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在( )
直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC的内部
9.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，则上述结论可能正确的是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
10．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(2\r(3),3)
C.eq \f(3\r(2),4) D.eq \f(\r(3),2)
二、填空题
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是边AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
2.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是边PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
3.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正确结论的序号是________．
4．在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：
①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；
②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；
③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
5．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
6．(2020·南昌模拟)如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是________．(将符合题意的序号填到横线上)
①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面．
三 解答题
1．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点．
(1)求证：BF∥平面ADP；
(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.
2．如图1，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB＝3，DC＝1，∠DPB＝45°，DA⊥PB于点A，将△PAD沿AD折起，构成如图2所示的四棱锥P­ABCD，点M在棱PB上，且PM＝eq \f(1,2)MB.
(1)求证：PD∥平面MAC；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求点A到平面PBC的距离．
3．(2020·河南郑州第二次质量预测)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝eq \f(π,3)，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E在线段BC上，且EC＝eq \f(1,4)BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D－CEG的体积；若不存在，请说明理由．
4．如图(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1­BCD，如图(2)所示．
(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；
(2)求证：BD⊥A1F；
(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β
性质定理
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α