2021年高考理科数学一轮复习：专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc23988" 一、考点全归纳 PAGEREF _Tc23988 1
\l "_Tc5708" 二、题型全归纳 PAGEREF _Tc5708 3
\l "_Tc32716" 题型一 直线与圆的位置关系 PAGEREF _Tc32716 3
\l "_Tc11299" 类型一 直线与圆位置关系的判断 PAGEREF _Tc11299 3
\l "_Tc17550" 类型二 根据直线与圆的位置关系求参数 PAGEREF _Tc17550 4
\l "_Tc23340" 题型二 圆的切线问题 PAGEREF _Tc23340 4
\l "_Tc3875" 题型三 圆的弦长问题 PAGEREF _Tc3875 6
\l "_Tc1399" 题型四 圆与圆的位置关系 PAGEREF _Tc1399 9
\l "_Tc1331" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc1331 10
一、考点全归纳
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0)．
【常用结论】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得到公共弦所在直线的方程．
二、题型全归纳
题型一 直线与圆的位置关系
【解题要点】判断直线与圆的位置关系常用的方法
【易错提醒】上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
类型一 直线与圆位置关系的判断
【例1】直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定，与m的取值有关
【答案】 A
【解析】 法一：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋（y－1）2＝5，))消去y，
整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．
法二：由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))1，如图
直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离eq \r(2)＋1.故选A.
题型二 圆的切线问题
【规律与方法】1．求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法
【例1】．(2020·丹东二模)经过点M(3,0)作圆x2＋y2－2x－4y－3＝0的切线l，则l的方程为( )
A．x＋y－3＝0 B．x＋y－3＝0或x＝3
C．x－y－3＝0 D．x－y－3＝0或x＝3
【答案】C
【解析】由x2＋y2－2x－4y－3＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝8，则圆心坐标为(1,2)，半径为2eq \r(2)，当过点M(3,0)的切线存在斜率k时，则设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，∵圆心到它的距离为2eq \r(2)，∴有eq \f(|1×k－2－3k|,\r(k2＋1))＝2eq \r(2)⇒k＝1；当过点M(3,0)的切线不存在斜率时，即x＝3，显然圆心到它的距离为2≠2eq \r(2)，∴x＝3不是圆的切线．因此切线方程为x－y－3＝0.
【例2】已知点P(eq \r(2)＋1，2－eq \r(2))，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
【答案】见解析
【解析】 由题意得圆心C(1，2)，半径长r＝2.
(1)因为(eq \r(2)＋1－1)2＋(2－eq \r(2)－2)2＝4，
所以点P在圆C上．
又kPC＝eq \f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，所以切线的斜率k＝－eq \f(1,kPC)＝1.
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－eq \r(2))＝1×[x－(eq \r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq \r(2)＝0.
(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以点M在圆C的外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝eq \f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，
解得k＝eq \f(3,4).所以切线方程为y－1＝eq \f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
当切线为3x－4y－5＝0时，
因为|MC|＝eq \r(（3－1）2＋（1－2）2)＝eq \r(5)，所以过点M的圆C的切线长为eq \r(|MC|2－r2)＝eq \r(5－4)＝1.
当切线为x＝3时，切线长为1.
题型三 圆的弦长问题
【解题要点】求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆C的半径为r，则|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则|AB|＝ eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．
【例2】若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝3asin A＋3bsin B，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为( )
A．4eq \r(6) B．2eq \r(6)
C．6 D．5
【答案】 C
【解析】 因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
故由csin C＝3asin A＋3bsin B可得c2＝3(a2＋b2)．
圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0，0)，半径为r＝2eq \r(3)，圆心O到直线l的距离d＝eq \f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq \r(3)，所以直线l被圆O所截得的弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(（2\r(3)）2－（\r(3)）2)＝6，故选C.
【例2】设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则圆C的面积为________．
【答案】 4π
【解析】 圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝eq \r(a2＋2)，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为eq \f(|－a＋2a|,\r(2))＝eq \f(|a|,\r(2))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|a|,\r(2))))eq \s\up12(2)＋(eq \r(3))2＝(eq \r(a2＋2))2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.
【例3】．(2020·遵义航天高级中学月考)直线l：x＋ay＝2被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2eq \r(3)，则直线l的斜率为( )
A.eq \r(3) B．－eq \r(3)
C.eq \f(\r(3),3) D．±eq \f(\r(3),3)
【答案】D
【解析】圆心(0,0)到直线l：x＋ay－2＝0的距离d＝eq \f(2,\r(1＋a2))，因为直线l被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为2eq \r(3)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(1＋a2))))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),2)))2＝4，解得a＝±eq \r(3)，所以直线l的斜率为－eq \f(1,a)＝±eq \f(\r(3),3).
【例4】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点M(1，eq \r(3))，N(1，－eq \r(3))．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为－2.求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标．
【答案】见解析
【解析】 (1)因为圆C过点M(1，eq \r(3))，N(1，－eq \r(3))，
所以圆心C在线段MN的垂直平分线上，即在x轴上，
故设圆心为C(a，0)，易知a>0，
又圆C与y轴相切，所以圆C的半径r＝a，
所以圆C的方程为(x－a)2＋y2＝a2.
因为点M(1，eq \r(3))在圆C上，
所以(1－a)2＋(eq \r(3))2＝a2，解得a＝2.
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)记直线OA的斜率为k(k≠0)，
则其方程为y＝kx.
联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－2）2＋y2＝4，,y＝kx，))消去y，得(k2＋1)x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝eq \f(4,k2＋1).
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k2＋1)，\f(4k,k2＋1))).
由k·kOB＝－2，得kOB＝－eq \f(2,k)，直线OB的方程为y＝－eq \f(2,k)x，
在点A的坐标中用－eq \f(2,k)代换k，得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k2,k2＋4)，\f(－8k,k2＋4))).
当直线l的斜率不存在时，eq \f(4,k2＋1)＝eq \f(4k2,k2＋4)，得k2＝2，此时直线l的方程为x＝eq \f(4,3).
当直线l的斜率存在时，eq \f(4,k2＋1)≠eq \f(4k2,k2＋4)，即k2≠2.
则直线l的斜率为eq \f(\f(4k,k2＋1)－\f(－8k,k2＋4),\f(4,k2＋1)－\f(4k2,k2＋4))＝
eq \f(4k（k2＋4）＋8k（k2＋1）,4（k2＋4）－4k2（k2＋1）)＝eq \f(3k（k2＋2）,4－k4)＝eq \f(3k,2－k2).
故直线l的方程为y－eq \f(4k,k2＋1)＝eq \f(3k,2－k2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,k2＋1))).
即y＝eq \f(3k,2－k2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))，所以直线l过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，0)).
综上，直线l恒过定点，定点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，0)).
题型四 圆与圆的位置关系
【规律方法】(1)判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
(2)两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
【提醒】(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单且易求．
【例1】．(2020·揭阳模拟)若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则m的值为________．
【答案】 －9或11
【解析】因为x2＋y2－6x－8y－m＝0，所以(x－3)2＋(y－4)2＝25＋m，因为两圆相切，所以eq \r(32＋42)＝1＋eq \r(25＋m)或eq \r(32＋42)＝|1－eq \r(25＋m)|，解得m＝－9或11.
【例2】．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
【答案】见解析
【解析】 (1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝eq \r(11)，
圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq \r(11)＋4，|r1－r2|＝4－eq \r(11)，
∴|r1－r2|0时，圆心C在x轴上方，若OA、OB为圆的切线且∠AOB＝60°，此时a取得最大值，
此时∠AOC＝30°，
有|OC|＝2|AC|＝4，即(3－0)2＋(a－0)2＝16，
解得a＝eq \r(7)，故实数a的最大值是eq \r(7)，故选C.
10．(2020·安徽合肥二模)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0，1)，(0，3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k>0)关于y轴对称，则k的最小值为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B．eq \r(3)
C．2eq \r(3) D．4eq \r(3)
【答案】D.
【解析】：如图，
因为圆C经过点(0，1)，(0，3)，且与x轴正半轴相切，
所以圆心的纵坐标为2，半径为2，则圆心的横坐标为eq \r(22－12)＝eq \r(3)，
所以圆心坐标为(eq \r(3)，2)，设过原点与圆相切的直线方程为y＝k1x，
由圆心到直线的距离等于半径，得eq \f(|\r(3)k1－2|,\r(keq \\al(2,1)＋1))＝2，解得k1＝0(舍去)或k1＝－4eq \r(3).
所以若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k>0)关于y轴对称，则k的最小值为4eq \r(3).
故选D.
11．(2020·安徽皖南八校联考)圆C与直线2x＋y－11＝0相切，且圆心C的坐标为(2，2)，设点P的坐标为(－1，y0)．若在圆C上存在一点Q，使得∠CPQ＝30°，则y0的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(9,2))) B．[－1，5]
C．[2－eq \r(11)，2＋eq \r(11)] D．[2－2eq \r(3)，2＋2eq \r(3)]
【答案】C.
【解析】：由点C(2，2)到直线2x＋y－11＝0的距离为eq \f(|4＋2－11|,\r(5))＝eq \r(5)，可得圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.若存在这样的点Q，当PQ与圆C相切时，∠CPQ≥30°，可得sin∠CPQ＝eq \f(CQ,CP)＝eq \f(\r(5),CP)≥sin 30°，即CP≤2eq \r(5)，则eq \r(9＋（y0－2）2)≤2eq \r(5)，解得2－eq \r(11)≤y0≤2＋eq \r(11).故选C.
12.已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．3eq \r(5) B．6eq \r(5)
C．4eq \r(15) D．2eq \r(15)
【答案】 D
【解析】 圆x2＋y2－4x＋2y＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心M(2，－1)，半径r＝eq \r(5)，最长弦为圆的直径，∴|AC|＝2eq \r(5).∵BD为最短弦，∴AC与BD垂直，易求得|ME|＝eq \r(2)，∴|BD|＝2|BE|＝2eq \r(5－2)＝2eq \r(3).S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝eq \f(1,2)|BD|·|EA|＋eq \f(1,2)|BD|·|EC|＝eq \f(1,2)|BD|·(|EA|＋|EC|)＝eq \f(1,2)|BD|·|AC|＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×2eq \r(5)＝2eq \r(15).故选D.
二、填空题
1．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝eq \r(3)，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝________．
【答案】：－eq \f(1,2)
【解析】：在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝eq \r(3)，可得∠AOB＝120°，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝1×1×cs 120°＝－eq \f(1,2).
2．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________．
【答案】：±eq \r(5)
【解析】：记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝eq \r(2)可知，圆心C(1，2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是eq \f(|2×1－2＋b|,\r(5))＝1，解得b＝±eq \r(5).
3.由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
【答案】：eq \r(7)
【解析】：设圆心为C(3，0)，P为直线y＝x＋1上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以|PN|min＝(eq \r(|PC|2－1))min＝eq \r(|PC|eq \\al(2,min)－1)，又|PC|min＝eq \f(|3－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq \r(2)，所以|PN|min＝eq \r(7).
4．(2020·广东天河一模)已知圆C的方程为x2－2x＋y2＝0，直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k＝________．
【答案】：1或7
【解析】：由x2－2x＋y2＝0，得(x－1)2＋y2＝1，则圆的半径r＝1，圆心C(1，0)，
直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点，
当CA与CB垂直时，△ABC面积最大，
此时△ABC为等腰直角三角形，圆心C到直线AB的距离d＝eq \f(\r(2),2)，
则有eq \f(|2－k|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(2),2)，解得k＝1或7.
5.直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是________．
【答案】：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3)))
【解析】：当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝eq \f(|m|,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2)))＝1，解得m＝eq \f(2\r(3),3)(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则10)，由3eq \(AD,\s\up6(→))＝5eq \(DB,\s\up6(→))可得|BD|＝3m，|AB|＝8m，
则|DE|＝4m－3m＝m，
在Rt△ODE中，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)r))eq \s\up12(2)＝(eq \r(2))2＋m2，①
在Rt△OAE中，有r2＝(eq \r(2))2＋(4m)2，②
联立①②，解得r＝eq \r(10).
三 解答题
1.(2020·柳州摸底)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
【答案】见解析
【解析】：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，
所以eq \f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))＜1.
解得eq \f(4－\r(7),3)＜k＜eq \f(4＋\r(7),3).
所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝eq \f(4（1＋k）,1＋k2)，x1x2＝eq \f(7,1＋k2).
eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq \f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8.
由题设可得eq \f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.
2.已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
【答案】见解析
【解析】：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋2，,y2＝2x))可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.
又x1＝eq \f(yeq \\al(2,1),2)，x2＝eq \f(yeq \\al(2,2),2)，故x1x2＝eq \f(（y1y2）2,4)＝4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(－4,4)＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径
r＝eq \r(（m2＋2）2＋m2).
由于圆M过点P(4，－2)，因此eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－eq \f(1,2).
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为eq \r(10)，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－eq \f(1,2)时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，－\f(1,2)))，圆M的半径为eq \f(\r(85),4)，圆M的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,4)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(85,16).
3.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．
【答案】见解析
【解析】：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，可设圆心的坐标为(m，2)(m>0)，
则圆C的半径为m，
又|MN|＝3，
所以m2＝4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(25,4)，解得m＝eq \f(5,2)，
所以圆C的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))eq \s\up12(2)＋(y－2)2＝eq \f(25,4).
(2)证明：由(1)知M(1，0)，N(4，0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，
即kAN＋kBN＝0.
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝－\f(2t,t2＋1),y1y2＝\f(－3,t2＋1，)))，则kAN＋kBN＝eq \f(y1,x1－4)＋eq \f(y2,x2－4)＝eq \f(y1,ty1－3)＋eq \f(y2,ty2－3)＝eq \f(2ty1y2－3（y1＋y2）,（ty1－3）（ty2－3）)＝eq \f(\f(－6t,t2＋1)＋\f(6t,t2＋1),（ty1－3）（ty2－3）)＝0.
综上可知，kAN＋kBN为定值．
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δr1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|