专题03 截长补短法（教师版） 备战2021年中考几何压轴题分类导练学案

2．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC.

（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？

（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y。

①求y与x的函数关系式；

②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.

【答案】（1）AE=EF；（2）①y=-x2+2x（0＜x＜4)，②当x=2,y最大值=2.

【分析】

（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：△AGE≌△ECF，则可证得：AE=EF；

（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明△ABE≌△ENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题．

【解答】

（1）如图，在AB上取AG=EC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

有∵AG=EC ，∴BG=BE ，

又∵∠B=90°，

∴∠AGE=135°，

又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN，

∴∠ECF=135°，

∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

在△AGE和△ECF中，

,

∴△AGE≌△ECF，

∴AE=EF；

(2)①∵由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF，

∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°，

∴△ABE≌△ENF，

∴FN=BE=x，

∴S△ECF= (BC-BE)·FN，

即y= x(4-x），

∴y=- x2+2x（0＜x＜4)，

②，

3．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在三角形内取一点D，AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠ADB．

小明通过探究发现，∠DAB＝∠DCB＝15°，BC＝AD，这样就具备了一边一角的图形特征，他果断延长CD至点E，使CE＝AB，连接EB，造出全等三角形，使问题得到解决．

（1）按照小明思路完成解答，求∠ADB；

（2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

如图2，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别为BC、AC、AB上一点，连接DE，延长FE、DF分别交BC、CA延长线于点G、H，若∠DHC＝∠EDG＝2∠G．

①在图中找出与∠DEC相等的角，并加以证明；

②若BG＝kCD，猜想DE与DG的数量关系并证明．

【答案】（1）135°;（2）①∠HDC＝∠DEC;②猜想DG＝kDE.

【分析】（1）根据辅助线证得△DAB≌△BCE，则∠ADB＝∠CBE（还不能直接求得，考虑全等的其他等边等角），∠ABD＝∠E，BD＝BE，得到∠BDE＝∠E＝∠ABD．考虑引入未知数，设∠CBD＝x，则∠E＝∠ABD＝∠BDE＝x+15°，利用∠ABC＝∠ABD+∠CBD求得x，再由周角求得结果．

（2）①∠DEC是△DEH的外角，等于∠DHC+∠HDE，而∠DHC＝∠EDG，等量代换得∠DEC＝∠EDG+∠HDE＝∠HDC．

②由条件DHC＝∠EDG＝2∠G，在FG上方构造2∠G即∠FGM＝∠FGD，则∠EDG＝∠MGD，令M落在BA延长线上，加上∠B＝∠ACB，即得△BGM∽△CDE，有=k．又通过三角形内角和求得∠M＝∠HDC，证得△MFG≌△DFG，有MG＝DG，得证．

【解答】（1）延长CD至点E，使CE＝AB，连接EB

∵，∠ACB＝90°，AC＝BC

∴∠CAB＝∠CBA＝45°

∵AD＝AC，∠CAD＝30°

∴BC＝AD，∠ACD＝∠ADC＝＝75°，∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝15°

∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°

即∠DAB＝∠BCD

在△DAB与△BCE中，

∴△DAB≌△BCE（SAS）

∴∠ADB＝∠CBE，∠ABD＝∠E，BD＝BE

∴∠BDE＝∠E

设∠CBD＝x，则∠ABD＝45°﹣x，∠BDE＝∠BCD+∠CBD＝15°+x

∴∠ABD＝∠E＝∠BDE＝15°+x

∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD

∴45°＝15°+x+x，得：x＝15°

∴∠CDB＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝180°﹣15°﹣15°＝150°

∴∠ADB＝360°﹣∠ADC﹣∠CDB＝360°﹣75°﹣150°＝135°

（2）①∠HDC＝∠DEC，证明如下：

∵∠DHC＝∠EDG

∴∠HDC＝∠HDE+∠EDG＝∠HDE+∠DHC＝∠DEC

∴∠HDC＝∠DEC

②猜想DG＝kDE，证明如下：

在FG的上方作∠FGM＝∠FGD，使∠FGM的一边与BA延长线交于M

∵∠DHC＝∠EDG＝2∠FGD

∴∠DHC＝∠EDG＝∠MGD

∵AB＝AC

∴∠B＝∠ACB

∴∠M＝180°﹣∠B﹣∠MGD＝180°﹣∠ACB﹣∠EDC＝∠DEC

∴∠M＝∠HDC

在△MFG与△DFG中，

∴△MFG≌△DFG（AAS）

∴MG＝DG

∵∠B＝∠ACB，∠EDG＝∠MGD

∴△BGM∽△CDE

∴

∵BG＝kCD

∴=K

∴DG＝MG＝kDE

4．【问题情境】在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE=CF．

       图①             图②               图③

证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）

【变式探究】

当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

【结论运用】

如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；

【答案】【变式探究】 【结论运用】4

【分析】【变式探究】按照【问题情境】的证明思路即可解决问题．

【结论运用】过作利用问题情境中的结论可得，易证只需求即可．

【解答】【变式探究】：连接

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

【结论运用】过作垂足为 ，如图④，

∵四边形是长方形，  

由折叠可得：

∴四边形是长方形．  

∵AD∥BC，

由问题情境中的结论可得：  

的值为4．