专题13 动点型问题-决胜中考数学压轴题全揭秘精品（教师版）学案

这是一份专题13 动点型问题-决胜中考数学压轴题全揭秘精品（教师版）学案，共83页。学案主要包含了关键点拨等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B

【关键点拨】
此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°．
2．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　）

A． B． C．1 D．2
【答案】C

，
∴Rt△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，
∴PE=AP=CQ，QF=BQ，
∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，
∵M点为PQ的中点，
∴MH为梯形PEFQ的中位线，
∴MH=（PE+QF）=，
即点M到AB的距离为，
而CO=1，
∴点M的运动路线为△ABC的中位线，
∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1，
故选C．

【关键点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键.
3．如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B

∵PE⊥BO，
∴BE=EO=3，
∴PE==4，
∴ED=9，[来源:Z#X#X#K]
∴tan∠BOD==3，
故选B．

【关键点拨】本题考查了圆周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．
4．如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，
则△PBQ的面积S=PB•BQ=（3-t）×2t=-t2+3t，
故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．
故选：C．
【关键点拨】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．
5．如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）

A．（0，0） B．（，） C．（，） D．（，）
【答案】B


【关键点拨】
本题考查了一次函数的性质，坐标与图形性质，垂线段最短，等腰直角三角形等知识，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键.
6．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D

【关键点拨】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
7．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B

【关键点拨】本题考查了二次函数的应用，动点问题的函数图象，结合图形正确地分三种情况进行讨论是解题的关键.
8．已知点P为某个封闭图形边界上的一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【关键点拨】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
9．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

【关键点拨】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确利用相似得出函数关系式是解题关键．
10．如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　

A． B．
C． D．
【答案】B

②当P在边BC上时，如图2，

y=AD•h，
AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项A不正确；
③当P在边CD上时，如图3，


【关键点拨】
本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD的面积的表达式是解题的关键．
11．如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图①，当0≤t＜1时，BE=t，DE=t，

∴s=S△BDE=×t×t=t2；
如图②，当1≤t＜2时，CE=2-t，BG=t-1，


∴s=S△CFG=×（3-t）×（3-t）=t2-3t+，
综上所述，当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
故选B．
【关键点拨】
本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
12．已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C

【关键点拨】
本题求线段和的最值问题，把需要求和的线段，找到相等的线段进行转化，转化后的线段共线时为最值情况.
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB方向运动到点B.动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线ACCB方向运动到点B.设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是 （ ）

A． B． C． D．
【答案】D

【关键点拨】
本题考查了动点函数图象，解决本题要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的函数解析式，由函数的解析式对应其图象，由此即可解答．
14．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】D
【关键点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
15．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（　　）

A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2
【答案】A
【解析】
由题意知OA4n=2n，
∴OA2016=2016÷2=1008，即A2016坐标为(1008，0)，
∴A2018坐标为(1009，1)，
则A2A2018=1009－1=1008(m)，
∴＝A2A2018×A1A2＝×1008×1＝504(m2).
故选：A.
【关键点拨】
本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．
16．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　）

A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【解析】
作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．连接BC．

【关键点拨】
本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、填空题
17．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为_______．

【答案】(，0)
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2
∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x=,
故答案为：（）

【关键点拨】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
18．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__．

【答案】3≤AP<4



综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．
故答案是：3≤AP＜4．
【关键点拨】
考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
19．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为_____．

【答案】
【解析】
如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，
∴BC==9，
S△ABC=AB•AC=BC•AF，
∴3×6=9AF，
AF=2，
∴AA'=2AF=4，
∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，


【关键点拨】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题.
20．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为_____．
【答案】（﹣，0）
【解析】
取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．
设直线AB′解析式为：y=kx+b
把点A（-1，-1）B′（2，-7）代入

解得
∴直线AB′为：y=-2x-3，
当y=0时，x=-
∴M坐标为（-，0）
故答案为：（-，0）
【关键点拨】本题考查轴对称-最短路线问题、坐标与图象变换，解答本题的关键是明确题意，利用三角形两边之差小于第三边和一次函数的性质解答．
21．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是___．

【答案】12
【关键点拨】
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型．
22．如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为_____．

【答案】20
【解析】
当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB=2，∠B=60°，
∴AE=3，BE=，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF=BC=AD=7，
∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，
故答案为：20.[来源:]
【关键点拨】本题考查平移的性质，解题的关键是确定出当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小．
23．如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为__．

【答案】18
【解析】


∴DF+DC的最小值为13
∴△CDF的周长最短=13+5=18.
故答案为：18.
【关键点拨】
本题考查的知识点是轴对称-最短路线问题, 线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质，解题关键是学会运用轴对称，解决最短问题.
24．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．

【答案】2-2
【解析】
如图：


∴D′O=，
∴D′G=-2，
∴PD+PG的最小值为-2，
故答案为：-2.
【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.
25．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；③DE2=2CF•CA；④若AB=3，AD=2BD，则AF=．其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②③

∵△BCD≌△ACE，
∴∠AEC=∠BDC=110°，
∵∠DCE=90°，CD=CE，
∴∠CED=45°，
则∠AED=∠AEC-∠CED=65°，故②正确；
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF，
∵∠ECF=∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
∴ ，
∴CE2=CF•AC，
在等腰直角三角形CDE中，DE2=2CE2=2CF•AC，故③正确；
如图，过点D作DG⊥BC于G，


∴CF=，
∴AF=AC-CF=3-=，故④错误，
故答案为：①②③．
【关键点拨】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△BCD≌△ACE是解本题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______．

【答案】6


【关键点拨】
圆外一点到圆上一点的距离最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减去半径.
27．如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是______．

【答案】
【解析】
如图，


，
，
，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值，
故答案为：．
【关键点拨】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF最小时点F的位置是解题关键．
28．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为_____．

【答案】①②③



【关键点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质的综合运用，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
29．如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为_____．

【答案】
【解析】
如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，


【关键点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质及勾股定理．
30．如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____．

【答案】或4
【解析】
当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.

②当∠A'FE=90°时，如图2，
.

【关键点拨】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
31．如图，△ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=_____．

【答案】
【解析】
作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，
∴∠ABH=∠CAH，
在△ABE和△CAH中，
∴△ABE≌△CAH，
∴BE=AH，AE=CH，
在Rt△AHE中，∠AHE=∠BHD=60°，
∴sin∠AHE=，HE=AH，
∴AE=AH•sin60°=AH，
∴CH=AH，


【关键点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，解题的关键是明确在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
32．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．

【答案】

∴A(,0);
∴OA=,
设D(x,) ,
∴E(x,- x+2),
延长DE交OA于点F，
∴EF=-x+2,OF=x,

【关键点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了菱形的性质.
三、解答题
33．已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N.
（1）求证：△ABE≌△BCN；
（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE.

【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）如图，


【关键点拨】
本题主要考查正方形的性质、三角形的内角和定理、垂线、全等三角形的性质和判定以及锐角三角函数等知识点的掌握和理解，证出△ABE≌△BCN是解此题的关键.
34．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（-3，0）.动点M，N同时从A点出发，M沿A→C,N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒.连接MN.
（1）求直线BC的解析式；
（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；
（3）当点M,N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式.

【答案】（1）y=x+4；（2）D（-，）；（3）①当0 【解析】

，，，，
点在上，
，
解得．
时，点恰好落在边上点处，此时，．
（3）如图2中，当时，在直线右侧部分是，．

如图3中，当时，在直线右侧部分是四边形．

．
【关键点拨】
考查一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.
35．已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．
根据题意解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示AP；
（2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）当QP⊥BD时，求t的值；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）AP= 10﹣2t；（2）S=t2﹣12t+78；（3）当t=s时，PQ⊥BD；（4）存在．当t=s时，点E在∠ABD的平分线．理由见解析.

S=S△PQB+S△BCP=•（16﹣2t）•（10﹣2t）+×6×[16﹣（10﹣2t）]=t2﹣12t+78
（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，
∵∠QPN+∠PQN=90°，
∴∠QPN=∠DBA，
∴tan∠QPN==，
∴=，
解得t=，
经检验：t=是分式方程的解，
∴当t=s时，PQ⊥BD．

∵KH∥EF，
∴=，
∴=，
解得：t=，
经检验：t=是分式方程的解，
∴当t=s时，点E在∠ABD的平分线．

【关键点拨】
本题考查四边形综合题，解直角三角形、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题.
36．如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为他t(s)．
（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？
（2）是否存在某一时刻t，使APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．

【答案】（1） （2）存在，或2 （3）
【解析】
（1）如图1中，连接．

在中，，，


则有，
，
解得．
②如图3中，当时，易知是等腰直角三角形，．


．
【关键点拨】
本题考查了四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
37．如图：一次函数 的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP.
（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；
（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标.

【答案】（1）AP=；（2）点P的坐标为(，)或(2，)．

（2）①在中，当时
，
，

，
将代入代入中，得
，；
②在中，当时，如图，
过点作于点


【关键点拨】
本题主要考查一次函数的图像与性质、一次函数解析式、二次函数解析式、相似三角形的性质，仔细读题，熟练掌握这些知识点并依据图形灵活运用是解答此类题目的关键.
38．如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0 （1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱周长取最大值时，求点G的坐标．

【答案】（1），；（2）；（3）或.

（2）由已知，
点坐标为
点坐标为


轴


，




解得，（舍去）
故值为
（3）如图，过点做于点

由（2）
同理
四边形是平行四边形

整理得：

，即

由已知


周长

时，最大．

点坐标为，，此时点坐标为，
当点、位置对调时，依然满足条件
点坐标为，或，
【关键点拨】
本题考查一次函数与二次函数的综合运用，解题的关键是能够根据题意找到有限条件列出解析式或表示出相关坐标.
39．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．

【答案】（1）AD=；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；理由见解析.
【解析】
（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；
连接CD，∵BC为直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°；
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴，∴；
（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；
证明：连接OD，

∵DE是Rt△ADC的中线；
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD；
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD；
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；
∴ED⊥OD，
∴ED与⊙O相切．
【关键点拨】
本题考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
40．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．

【答案】（1）yx2x﹣3；（2）；（3）．

∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．
∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴．
∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．
【关键点拨】
本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
41．综合与探究
如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．
(1)求抛物线的解析式
(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；
(3)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．
①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为　　；
②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()

【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)5；(3)①或4；②存在，D点坐标为(，)或(-1+，)或(-1-，-)或(-4，3).


，则关于抛物线对称轴对称
的面积为

当时
由已知为等腰直角三角形，
过点作于点，设点坐标为
，
则为，

代入
解得
的面积为4
故答案为：或4
②存在
设坐标为
则为
则点坐标为
把点坐标代入
解得(舍去)，
当时，点在垂直平分线上，则
当时，由菱形性质点坐标为，，
当时，、关于直线对称，点坐标为
【关键点拨】
本题考查了直角坐标系下抛物线的综合运用与图形变换，能够综合应用相似形和分类讨论是解答本题的关键.
42．已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．

【答案】（1）m=1；（2）点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）．

∴y1==，y2==，
∵y1﹣y2=4，
∴﹣=4，
∴m=1；
（2）设BD与x轴交于点E．
∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，

∴D（2m，），BD=﹣=．
∵三角形PBD的面积是8，
∴BD•PE=8，[来源:Z|xx|k.Com]
∴••PE=8，
∴PE=4m，
∵E（2m，0），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）．
【关键点拨】
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．
43．（定义）如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线l的对称点，连接B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线的“等角点”．
（运用）如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A(2,)，B(-2,-)两点．
（1）C(4,)，D(4,)，E(4,)三点中，点　　是点A，B关于直线x=4的等角点；
（2）若直线l垂直于x轴，点P(m,n)是点A，B关于直线l的等角点，其中m>2，∠APB=α，求证：；
（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b(a≠0)的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．

【答案】（1）C；（2）证明见解析；（3）见解析.


点和关于直线对称





，即
，即
，

在中，
（3）如图，当点位于直线的右下方，时，
点在以为弦，所对圆周为，且圆心在下方
若直线与圆相交，设圆与直线的另一个交点为
由对称性可知：，

又

，

是等边三角形
线段为定线段
点为定点
若直线与圆相切，易得、重合
直线过定点
连，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、
，

是等边三角形
，
[来源:]
又，




，，点坐标为
设直线解析式为
将、坐标代入得

解得

直线的解析式为：.
设直线的解析式为：,
将、两点代入，
解得.
直线的解析式为：.
若点与点重合，则直线与直线重合，此时，.
若点与点重合，则直线与直线重合，此时，.
又，且点位于右下方，
且或.
【关键点拨】
本题考查的知识点是一次函数，三角函数，解题关键是把握定义，理解定义，严格按照定义解题．
44．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，G（1，0）；（3）2．

(2)存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小．
∵E(0，3)，∴E'(2，3)，
设EF的解析式为y=k′x+b′，
把F(0，﹣3)，E'(2，3)分别代入，得，解得，
所以E'F的解析式为：y＝3x﹣3，
当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，∴G(1，0)；
(3)如图2．
设AB的解析式为y=k″x+b″，
把A(1，4)，B(3，0)分别代入，得，解得，
所以AB的解析式为：y＝﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，
设N(m，﹣m2+2m+3)，则Q(m，﹣2m+6)，(1＜m＜3)，
∴NQ＝(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)＝﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB，
∴，∴，
∴MN(m﹣2)2
0，
∴当m＝2时，MN有最大值；
过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，∴△NGP∽△ADB，
∴，∴PGNGm，
∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3m＝﹣m2m+3，
∴S△PONOP•GN(﹣m2m+3)•m，
当m＝2时，S△PON2(﹣4+3+3)＝2．

【关键点拨】
本题考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于m的方程是解题答问题(3)的关键．
45．如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）
（1）当PQ⊥AB时，x等于多少；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．

【答案】（1）s；（2）y=；（3）当x=s或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．
【解析】


y=2x×x=2x2．
②如图②中，当＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．

y=(2﹣x+2x)×x=x2+x.
③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．


（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．

则有：tan∠EAB=tan∠QPB，
∴=，
解得x=．
②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．

此时tan∠DEA=tan∠QPB，
∴=，
解得x=，
综上所述，当x=或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．
故答案为：(1)s；(2)y=；(3)x=或．
【关键点拨】
本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．[来源:Z_X_X_K]
46．如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）P点坐标为（4 ,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）

（2）当在直线上方时，
设坐标为，则有，，
当时，，即，
整理得：，即，
解得：，即或（舍去），
此时，；
当时，，即，
整理得：，即，
解得：，即或（舍去），
此时，；
当点时，也满足；
当在直线下方时，同理可得：的坐标为，，
综上，的坐标为，或，或，或；
（3）在中，，，
根据勾股定理得：，
，
，
，
边上的高为，
过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：

在中，，即，
过作轴，
在中，，，即，，
设直线解析式为，
把坐标代入得：，即，即，
联立得：，
解得：或，即，或，，
则抛物线上存在点，使得，此时点的坐标为，或，．
【关键点拨】
二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①Q（2，3）；②Q2（， ），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，MN=9或．理由见解析.

①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，

∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，
联立得：，
解得：或，即Q（2，3）；
②设G（1，2），∴PG=GH=2，
过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，
联立得：，
解得：或，
∴Q2（，），Q3（，）；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，

如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，
设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b，
联立得：，
消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，
∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b，
∵△MNF为等腰直角三角形，
∴MN2=2NF2=42﹣8b，
∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，
若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，
∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），
整理得：b2+10b﹣75=0，
解得：b=﹣15或b=5，
∵正方形边长为MN=，
∴MN=9或．
【关键点拨】
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
48．已知，如图1，在▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．
①求证：HC=2AK；
②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）n=4．


∵△ADE≌△BFE，
∴BF=AD=BC，
∴BN=HC，
由（1）的方法可知，△AEK≌△BEN，
∴AK=BN，
∴HC=2AK；
（3）如图3，作GM∥DF交HC于M，

∵点G是边BC中点，
∴CG=CF，
∵GM∥DF，
∴△CMG∽△CHF，
∴==，
∵AD∥FC，
∴△AHD∽△GHF，
∴===，
∴=，
∵AK∥HC，GM∥DF，
∴△AHK∽△HGM，
∴==，
∴=，即HD=4HK，
∴n=4．
【关键点拨】
此题重点考察学生对于三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质的综合应用能力，熟练掌握判定条件和性质是解题的关键.
49．如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①S四边形ACFD= 4；②Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．

②∵点P在线段AB上，
∴∠DAQ不可能为直角，
∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，
i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴直线AD解析式为y=x+1，
∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，
把D（2，3）代入可求得b′=5，
∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，
联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，
∴Q（1，4）；
ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，
把A、Q坐标代入可得，解得k1=﹣（t﹣3），
设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，
∵AQ⊥DQ，
∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t=，
当t=时，﹣t2+2t+3=，
当t=时，﹣t2+2t+3=，
∴Q点坐标为（，）或（，）；
综上可知Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．
【关键点拨】
此题重点考察学生对于抛物线的综合应用能力，熟练抛物线的图像和性质，四边形面积的计算方法，点坐标的求解方式是解答本题的关键.
50．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．
（1）求AD的长．
（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．

【答案】（1）AD=2；（2）当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣2．

（2）当DP=DF时，如图2，

点P与A重合，F与C重合，则AP=0；
当DP=PF时，如图4，

∴∠CDP=∠PFD，
∵DE是AC的垂直平分线，∠DPF=∠DAC，
∴∠DPF=∠C，
∵∠PDF=∠CDP，
∴△PDF∽△CDP，
∴∠DFP=∠DPC，
∴∠CDP=∠CPD，
∴CP=CD，
∴AP=AC﹣CP=AC﹣CD=AC﹣AD=8﹣2；
当PF=DF时，如图3，

∴∠FDP=∠FPD，
∵∠DPF=∠DAC=∠C，
∴△DAC∽△PDC，
∴ ，
∴，
∴AP=5，
即：当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣2．
【关键点拨】
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，判断出△PDF∽△CDP和△DAC∽△PDC 是解本题的关键．
51．如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ．
（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ．

【答案】（1），点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)；（2）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)．

（2） 当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为．
将、代入，
，解得：，
直线的解析式为．
假设存在， 设点的坐标为，过点作轴， 交直线于点，则点的坐标为，如图所示 ．
，
．
，
当时，的面积最大， 最大面积是 16 ．
，
存在点，使的面积最大， 最大面积是 16 ．
（3） 设点的坐标为，则点的坐标为，
．
又，
．
当时， 有，
解得：，，
点的坐标为或；
当或时， 有，
解得：，，
点的坐标为，或，．
综上所述：点的坐标为，、、或，．

【关键点拨】
本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x的函数关系式； （3） 根据MN的长度， 找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程 ．
52．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C

（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．
【答案】（1）；（2）△BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t的值为1或4．

．
，
，
为直角三角形．
（3）设直线的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
直线的解析式为，
将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为．
联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
点的坐标为，，点的坐标为，．
点的坐标为，
，，．
为直角三角形，
分三种情况考虑：
①当时，有，即，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
②当时，有，即，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
③当时，有，即，
整理，得：．
，
该方程无解（或解均为增解）．
综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4．
【关键点拨】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．
53．如图，二次函数的图象与轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为(-4,0)，P是抛物线上一点 （点P与点A、B、C不重合）．
（1）b=　　，点B的坐标是　　；
（2）设直线PB直线AC交于点M，是否存在这样的点P，使得PM:MB=1:2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）；（，0）；（2）存在点P的横坐标为或．（3）∠CBA=2∠CAB.理由见解析.
【解析】

（2） （方 法一） 当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将、代入中，
得：，解得：，
直线的解析式为．
假设存在， 设点的坐标为．
①当点、在直线的异侧时， 点的坐标为，，
点在抛物线上，
，
整理， 得：．
△，
方程无解， 即不存在符合题意得点；
②当点、在直线的同侧时， 点的坐标为，，
点在抛物线上，
，
整理， 得：，
解得：，，
点的横坐标为或．
综上所述： 存在点，使得，点的横坐标为或．
（3），理由如下：
作的角平分线， 交轴于点，过点作于点，如图 2 所示 ．
点，，点，
，，．
设，则，，
由面积法， 可知：，即，
解得：．
，，
，
，
．

【关键点拨】
考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质.
54．已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，如图1，连接．
（1）填空：　　；
（2）如图1，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如图2，点，同时从点出发，在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点的运动速度为1.5单位秒，点的运动速度为1单位秒，设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？

【答案】（1）60；（2）；（3）x时，y有最大值，最大值．


∵OB＝4，∠ABO＝30°，
∴OAOB＝2，ABOA＝2，
∴S△AOC•OA•AB2×2．
∵△BOC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，
∴AC，
∴OP．
（3）①当0＜x时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．

则NE＝ON•sin60°x，
∴S△OMN•OM•NE1.5xx，
∴yx2，
∴x时，y有最大值，最大值．
②当x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．

作MH⊥OB于H．
则BM＝8﹣1.5x，MH＝BM•sin60°（8﹣1.5x），
∴yON×MHx2+2x．
当x时，y取最大值，y，
③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，


【关键点拨】
本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．