专题17 探究型问题-决胜中考数学压轴题全揭秘精品（教师版）学案

这是一份专题17 探究型问题-决胜中考数学压轴题全揭秘精品（教师版）学案，共94页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

《中考压轴题全揭秘》
专题17 探究型问题
一、单选题
1．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　）

A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【解析】
作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．连接BC．

∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5．
∵S△ABC= AB•CH=AC•OB，∴AB•CH=AC•OB，∴5CH=(4+1)×3，解得：CH=3，∴EH=3﹣1=2．
当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值5×2=5．
故选A．
【关键点拨】
本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
2．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：

若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（　　）
A．1 B．4 C．2018 D．42018
【答案】A
【解析】
若n=13，
第1次结果为：3n+1=40，
第2次结果是：，
第3次结果为：3n+1=16，
第4次结果为：=1，
第5次结果为：4，
第6次结果为：1，
…
可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，
且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，
而2018次是偶数，因此最后结果是1，
故选A．
【关键点拨】
本题考查了规律题——数字的变化类，能根据所给条件得出n=13时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．
3．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】D
【解析】
设运动的时间为x，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，解得x=4．故选D．
【关键点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
4．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
抛物线与x轴交于点A、B，
∴=0，
∴x1=5，x2=9，
，
抛物线向左平移4个单位长度后的解析式，
当直线过B点，有2个交点，
，
，
当直线与抛物线相切时，有2个交点，
，
，
相切，
，
，
如图，

若直线与、共有3个不同的交点，
--，
故选C．
【关键点拨】
本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键.
5．已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，

∵F（0，2）、M（ ，3），
∴ME=3，FM==2，
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．
故选C．
【关键点拨】
本题求线段和的最值问题，把需要求和的线段，找到相等的线段进行转化，转化后的线段共线时为最值情况.
6．如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
设菱形的高为h，有三种情况：
①当P在AB边上时，如图1，

y=AP•h，
∵AP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，
故选项C不正确；
②当P在边BC上时，如图2，

y=AD•h，
AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项A不正确；
③当P在边CD上时，如图3，

y=PD•h，
∵PD随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，
∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，
∴P在三条线段上运动的时间相同，
故选项D不正确，
故选B．
【关键点拨】
本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD的面积的表达式是解题的关键．
7．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2，
∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，
t=0（舍）或t=﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴k=﹣×（-）=，
故选C．

【关键点拨】
本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.
8．如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A、E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【解析】
①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BAD=45°，
由作图可知：AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=22.5°，
∵PQ是AE的中垂线，
∴AE⊥PQ，
∴∠AOL=90°，
∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB，
∴∠LKB=∠BAE=22.5°；
故①正确；
②∵OG是AE的中垂线，
∴AG=EG，
∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，
∴EG∥AB，
故②正确；
③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°，
∴∠ALO=∠AGO，
∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO，
∴∠CGF=∠BLK，
在Rt△BKL中，tan∠CGF=tan∠BLK=，
故③正确；
④连接EL，

∵AL=AG=EG，EG∥AB，
∴四边形ALEG是菱形，
∴AL=EL=EG＞BL，
∴，
∵EG∥AB，
∴△CEG∽△CBA，
∴，
故④不正确；
本题正确的是：①②③，
故选A．
【关键点拨】
本题考查了基本作图：角平分线和线段的垂直平分线，三角形相似的性质和判定，菱形的性质和判定，三角函数，正方形的性质，熟练掌握基本作图是关键，在正方形中由于性质比较多，要熟记各个性质并能运用；是中考常考的选择题的压轴题．
9．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程=1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
【答案】B
【解析】
，
解①得x≥-3，
解②得x≤，
不等式组的解集是-3≤x≤．
∵仅有三个整数解，
∴-1≤＜0
∴-8≤a＜-3，
=1，
3y-a-12=y-2．
∴y=，
∵y≠-2，
∴a≠-6，
又y=有整数解，
∴a=-8或-4，
所有满足条件的整数a的值之和是-8-4=-12，
故选B．
【关键点拨】
本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．
10．如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（　　）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
连接OD

∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC
在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，
∴OD=OB=2，AO=4，
∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥CB，
∴，即，
∴CD=．
故选B．
【关键点拨】
本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB方向运动到点B.动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线ACCB方向运动到点B.设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是 （ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，可得AB=，∠A=∠B=45°，当0＜x≤3时，点Q在AC上运动，点P在AB上运动（如图1）， 由题意可得AP=x，AQ=x，过点Q作QN⊥AB于点N，在等腰直角三角形AQN中，求得QN=x，所以y==（0＜x≤3），即当0＜x≤3时，y随x的变化关系是二次函数关系，且当x=3时，y=4.5；当3≤x≤6时，点P与点B重合，点Q在CB上运动（如图2），由题意可得PQ=6-x，AP=3，过点Q作QN⊥BC于点N，在等腰直角三角形PQN中，求得QN=(6-x)，所以y==（3≤x≤6），即当3≤x≤6时，y随x的变化关系是一次函数，且当x=6时，y=0.由此可得，只有选项D符合要求，故选D.

【关键点拨】
本题考查了动点函数图象，解决本题要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的函数解析式，由函数的解析式对应其图象，由此即可解答．
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，则下列选项中的结论错误的是（　　）

A．△ONC≌△OAM
B．四边形DAMN与△OMN面积相等
C．ON=MN
D．若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，+1）
【答案】C
【解析】
∵点M、N都在y=的图象上，
∴S△ONC=S△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，
∴A正确；
∵S△OND=S△OAM=k，
而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，
∴四边形DAMN与△MON面积相等，
∴B正确；
∵△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，
∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ON≠MN，
∴C错误；
作NE⊥OM于E点，如图所示：

∵∠MON=45°，∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE=OE，
设NE=x，则ON=x，
∴OM=x，
∴EM=x-x=（ -1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（ -1）x]2，
∴x2=2+，
∴ON2=（x）2=4+2，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴BN=MN=，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-，
在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a-）2=4+2，解得a1=+1，a2=-1（舍去），
∴OC=+1，
∴C点坐标为（0，+1），
∴D正确．
故选：C．
【关键点拨】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；本题难度较大，综合性强；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行推理计算．
13．如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（　　）

A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12
【答案】D
【解析】
翻折后的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣8x+12，
∵设x1，x2，x3均为正数，
∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，
根据对称性可知：x1+x2=8，
∵2≤x3≤4，
∴10≤x1+x2+x3≤12，
即10≤t≤12，
故选D．
【关键点拨】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键.
14．已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　）

A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
【答案】D
【解析】
如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），
即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；
当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，
所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2，
故选D．

【关键点拨】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与x轴的交点等，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法.
15．如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（　　）

A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF•CF
【答案】D
【解析】
连接．

四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=BC=AD=2，CD∥AB，
∵BE⊥AP，CG⊥BE，
∴CH∥PA，
∴四边形是平行四边形，
∴CP = AH，
∵CP=PD=1，
∴AH=PC=1，
∴AH=BH，
在Rt△ABE中，∵AH=HB，
∴EH=HB，∵HC⊥BE，
∴BG=EG，
∴CB=CE=2，故选项A错误，
∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，
∴△CBH≌△CEH，
∴∠CBH=∠CEH=90°，
∵HF=HF，HE=HA，
∴Rt△HFE≌Rt△HFA，
∴AF=EF，设EF=AF=x，
在Rt△CDF中，有22+(2-x)2=(2+x)2，
∴x= ，
∴EF=∴，故B错误，
∵PA∥CH，
∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，
∴cos∠CEP=cos∠BCH== ，故C错误．
∵HF= ，EF= ，FC=
∴HF2=EF·FC，故D正确，
故选：D．
【关键点拨】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
16．如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
∵在y=（x+2）（x﹣8）中，当y=0时，x=﹣2或x=8，
∴点A（﹣2，0）、B（8，0），
∴抛物线的对称轴为x==3，故①正确；
∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5，
∴⊙D的面积为25π，故②错误；
在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，当x=0时y=﹣4，
∴点C（0，﹣4），
当y=﹣4时，x2﹣x﹣4=﹣4，
解得：x1=0、x2=6，
所以点E（6，﹣4），
则CE=6，
∵AD=3﹣（﹣2）=5，
∴AD≠CE，
∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，
∴点M（3，﹣），
∴DM=，

如图，连接CD，过点M作MN⊥y轴于点N，则有N（0，﹣），MN=3，
∵C（0，-4），∴CN=，∴CM2=CN2+MN2=，
在Rt△ODC中，∠COD=90°，∴CD2=OC2+OD2=25，∴CM2+CD2=，
∵DM2=，
∴CM2+CD2=DM2，
∴∠DCM=90°，即DC⊥CM，
∵CD是半径，
∴直线CM与⊙D相切，故④正确，
故选B．
【关键点拨】本题考查了二次函数与圆的综合题，涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、待定系数法、两直线垂直、切线的判定等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合的思想灵活应用相关知识是解题的关键.
17．抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是下列结论中：
；；方程有两个不相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点坐标为；若点在该抛物线上，则．
其中正确的有　　

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】
对称轴是y轴的右侧，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，故错误；
，
，，故正确；
由图象得：时，与抛物线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，故正确；
抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故正确；
抛物线的对称轴是，
有最大值是，
点在该抛物线上，
，故正确，
本题正确的结论有：，4个，
故选B．
【关键点拨】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时即，对称轴在y轴左；当a与b异号时即，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质．
18．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【解析】
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC
∵AD=AE，AB=AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，
∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，
∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，
∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确，
∴BE2=BC2-EC2=2AB2-（CD2-DE2）=2AB2-CD2+2AD2=2（AD2+AB2）-CD2．故④正确，
故选：A．
【关键点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
19．如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图①，当0≤t＜1时，BE=t，DE=t，

∴s=S△BDE=×t×t=t2；
如图②，当1≤t＜2时，CE=2-t，BG=t-1，

∴DE=（2-t），FG=（t-1），
∴s=S五边形AFGED=S△ABC-S△BGF-S△CDE=×2×-×（t-1）×（t-1）-×（2-t）×（2-t）=-t2+3t-；
如图③，当2≤t≤3时，CG=3-t，GF=（3-t），

∴s=S△CFG=×（3-t）×（3-t）=t2-3t+，
综上所述，当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
故选B．
【关键点拨】
本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
20．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：
①FG=2AO；②OD∥HE；③；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC
正确结论的个数有（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
如图，
建立以B点为坐标原点的平面直角坐标系，设正方形边长为2，可分别得各点坐标，
A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2), E为CD的中点,可得E点坐标（2，1），可得AE的直线方程，，由OF为直线AE的中垂线可得O点为，设直线OF的斜率为K，得，可得k=2,同时经过点O(),可得OF的直线方程：
，可得OF与x轴、y轴的交点坐标G(,0),H(0,),及F(,2),
同理可得：直线CO的方程为：，可得M点坐标（，2），
可得：①FG=,
AO= =,
故FG=2AO，故①正确；
②：由O点坐标，D点坐标（2，2），可得OD的方程：，
由H点坐标(0,)，E点坐标（2，1），可得HE方程：，
由两方程的斜率不相等，可得OD不平行于HE，
故②错误；
③由A(0,2)，M（，2），H(0,)，E（2，1），
可得：BH=,EC=1,AM=,MD=,
故=，
故③正确；
④：由O点坐标，E（2，1），H(0,)，D(2,2),
可得：,
AH=,DE=1,有2OE2=AH•DE，
故④正确；
⑤：由G(,0)，O点坐标，H(0,)，C(2,0),
可得：,
BH=,HC=,
可得：GO≠BH+HC,
故正确的有①③④，
故选B.
【关键点拨】
本题主要考查一次函数与矩形的综合，及点与点之间的距离公式，难度较大，灵活建立直角坐标系是解题的关键.
二、填空题
21．如图，已知等边△，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；以此类推，，则点的坐标为__．

【答案】（2，0）．
【解析】
如图，作轴于点C，

设，则，
，．
点A2在双曲线上，
，
解得，（不符题意舍去），
，
点B2的坐标为；
作轴于点D，设B2D=b，则，
，．
点A3在双曲线上，
，
解得，（不符题意舍去），
，
点B3的坐标为；
同理可得点B4坐标为；
以此类推，
点Bn的坐标为，
点B6的坐标为．
故答案为．
【关键点拨】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质等知识. 正确求出、、的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．
22．如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：
①AD=CD；
②∠ACD的大小随着α的变化而变化；
③当α=30°时，四边形OADC为菱形；
④△ACD面积的最大值为a2；
其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）．

【答案】①③④
【解析】①∵A、C关于直线OM'对称，
∴OM'是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，故①正确；
②连接OC，
由①知：OM'是AC的垂直平分线，∴OC=OA，
∴OA=OB=OC，
以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，
则A、B、C都在⊙O上，
∵∠MON=120°，
∴∠BOE=60°，
∵OB=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠E=60°，
∵A、C、B、E四点共圆，
∴∠ACD=∠E=60°，故②不正确；
③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，
由①得：CD=AD，
∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=CD，
∴OC=OA=AD=CD，
∴四边形OADC为菱形，故③正确；
④∵CD=AD，∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
当AC最大时，△ACD的面积最大，
∵AC是⊙O的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，α=90°，
∴△ACD面积的最大值是：AC2=，故④正确，
所以本题结论正确的有：①③④，
故答案为：①③④．

【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键.
23．按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为_____．
【答案】
【解析】
由数列知第n个数为，
则前2018个数的和为
=
=
=1﹣
=，
故答案为：．
【关键点拨】本题考查了规律题、有理数的加减混合运算等，熟练掌握有理数混合运算的法则以及得出第n个数为是解题的关键.
24．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是_____．

【答案】（0，21009）
【解析】
∵∠OAA1=90°，OA=AA1=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，再以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…，
∴OA1=，OA2=（）2，…，OA2018=（）2018，
∵A1、A2、…，每8个一循环，
∵2018=252×8+2
∴点A2018的在y轴正半轴上，OA2018==21009，
故答案为：（0，21009）.
【关键点拨】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．
25．如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y=（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为_____．

【答案】（2，0）．
【解析】
如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C=a，
OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）．
∵点A2在双曲线y=（x＞0）上，
∴（2+a）•a=，
解得a=﹣1，或a=﹣﹣1（舍去），
∴OB2=OB1+2B1C=2+2﹣2=2，
∴点B2的坐标为（2，0）；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D=b，
OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）．
∵点A3在双曲线y=（x＞0）上，
∴（2+b）•b=，
解得b=﹣+，或b=﹣﹣（舍去），
∴OB3=OB2+2B2D=2﹣2+2=2，
∴点B3的坐标为（2，0）；
同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；
…，
∴点Bn的坐标为（2，0），
∴点B6的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．

【关键点拨】本题考查了规律题，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．
26．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．
【答案】4
【解析】
∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=4，
（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
2k2+2k﹣4=0，
k2+k﹣2=0，
k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1•x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4，
故答案为：4．
【关键点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．
27．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，反比例函数y=（x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S△BEF=7，k1+3k2=0，则k1等于_____．

【答案】9
【解析】
设点B的坐标为（a，0），则A点坐标为（﹣a，0），
由图象可知，点C（a，），E（﹣a，﹣），D（﹣a，），
∵k1+3k2=0，∴k2=﹣k1，∴F（﹣，），
矩形ABCD面积为：2a•=2k1，
∴S△DEF=，
S△BCF=，
S△ABE=，
∵S△BEF=7，
∴2k1+﹣+k2=7，
又∵k2=﹣k1，
∴k1+×（﹣）=7，
∴k1=9
故答案为：9
【关键点拨】本题是反比例函数综合题，解题关键是设出点B坐标继而表示出相关各点，应用面积的割补法构造方程．
28．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，点在第三象限的双曲线上，过点作轴交双曲线于点，连接，则的面积为__________．

【答案】7
【解析】
如图，过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，

设D（x，），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠DCB=90°，
易得△AGD≌△DHC≌△CMB，
∴AG=DH=-x-1，
∴DG=BM，
∴1-=-1-x-，
x=-2，
∴D（-2，-3），CH=DG=BM=1-=4，
∵AG=DH=-1-x=1，
∴点E的纵坐标为-4，
当y=-4时，x=-，
∴E（-，-4），
∴EH=2-=，
∴CE=CH-HE=4-=，
∴S△CEB=CE•BM=××4=7.
故答案为：7．
【关键点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题的压轴题．
29．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ =________．

【答案】或
【解析】
①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，

∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴，
∴，
∴x=，
∴AQ=．
②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，如图2，设AQ=PQ=y．

∵△BQP∽△BCA，
∴，
∴，
∴y=．
综上所述，满足条件的AQ的值为或．
【关键点拨】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
30．如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是_____．

【答案】
【解析】
如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长， AD=DB，
∴BE=CE+AC，
∴ME=EB，
又AD=DB，
∴DE=AM，DE∥AM，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
∴AN=AC•sin∠ACN=，
∴AM=，
∴DE=，
故答案为：．

【关键点拨】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确添加辅助线是解题的关键．
31．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.

【答案】6
【解析】
∵BD=CD，AB=CD，
∴BD=BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN=AM=3，
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，
∴∠P=∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP=AM=6，
故答案为：6．
【关键点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定△APM是等腰直角三角形．
32．如图，点 C 为 Rt△ACB 与 Rt△DCE 的公共点，∠ACB=∠DCE=90°，连 接 AD、BE，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，延长 FC 交 BE 于点 G．若 AC=BC=25，CE=15， DC=20，则的值为___________．

【答案】
【解析】
如图，过 E作 EH⊥GF于 H，过 B 作 BP⊥GF于P，则∠EHG=∠BPG=90°，
又∵∠EGH=∠BGP，
∴△EHG∽△BPG，
∴=，
∵CF⊥AD，
∴∠DFC=∠AFC=90°，
∴∠DFC=∠CHF，∠AFC=∠CPB， 又∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠CDF=∠ECH，∠FAC=∠PCB，
∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，
∴，
∴EH=CF，BP=CF，
∴=，
∴=，
故答案为：．
【关键点拨】
本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行推导是解题的关键.
33．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）与正比例函数y=kx、 （k＞1）的图象分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是________.

【答案】2
【解析】
如图：作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB，

设A（x1，y1），B（x2 ， y2），
∵A、B在反比例函数上，
∴x1y1=x2y2=2，
∵，
解得：x1=，
又∵，
解得：x2=，
∴x1x2=×=2，
∴y1=x2， y2=x1，
即OC=OD，AC=BD，
∵BD⊥x轴，AC⊥y轴，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴△ACO≌△BDO（SAS），
∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，
又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，
∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，
∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2，
故答案为：2.
【关键点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键.
34．如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是______．

【答案】
【解析】
如图，

在正方形ABCD中，，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值，
故答案为：．
【关键点拨】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF最小时点F的位置是解题关键．
35．设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)，已知，，则___________.
【答案】4035
【解析】
∵，
∴，
∴，
∴an+1=an+1-1或an+1=-an+1+1，
∴an+1-an=2或an=-an+1，
又∵是一列正整数，
∴an=-an+1不符合题意，舍去，
∴an+1-an=2，
又∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，……，an=2n-1，
∴a2018=2×2018-1=4035，
故答案为：4035.
【关键点拨】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出an+1-an=2.
36．如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D（6,0)作DA⊥OM于点A，作线段 OD的垂直平分线BE交x轴于点E,交AD于点B,作射线OB.以AB为边在△AOB的外侧作正方形ABCA1,延长A1C交射线OB于点B1,以A1B1为边在△A1OB1的外侧作正方形A1B1C1A2,延长A2C1交射线OB于点B2,以A2B2为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3……按此规律进行下去，则正方形A2017B2017C2017A2018的周长为______________.

【答案】
【解析】
由题意：正方形ABCA1的边长为，
正方形A1B1C1A2的边长为（1+）＝+1，
正方形A2B2C2A3…的边长为（1+）2，
正方形A3B3C3A4的边长为（1+）3，
由此规律可知：正方形A2017B2017C2017A2018的边长为（1+）2017．
∴正方形A2017B2017C2017A2018的周长为：4（1+）2017．
故答案为：4（1+）2017．
【关键点拨】
本题考查规律型问题、解直角三角形、点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，根据获取的规律解决问题．
37．如图，平面直角坐标系中是原点， 的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连接，则下列结论：
①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④；其中正确的结论是 __________．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①③
【解析】如图，分别过点A、B作 于点N， 轴于点M，
在 中， ，
是线段AB的三等分点， ，
，
，
是OA的中点，故①正确；
，
不是菱形，
，
，
，
故 和 不相似，故②错误；
由①得，点G是AB的中点， 是 的中位线，
，
是OB的三等分点， ，
，
∴ ，
，∴四边形 是梯形，
，
故③正确；
,故④错误，
综上：①③正确，
故答案为：①③.

【关键点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定、三角形的中位线等，正确添加辅助线是解题的关键.
38．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②；③DP2=PH•PB；④．
其中正确的是____________．（写出所有正确结论的序号）

【答案】①③④．
【解析】
∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，∴∠ABE=∠DCF=30°，在△ABE与△CDF中，∵∠A=∠ADC，∠ABE=∠DCF，AB=CD，∴△ABE≌△DCF，故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBC=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，∴，故②错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∵∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴，∵PB=CD，∴，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PB•sin60°=4×=，PM=PC•sin30°=2，S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=，∴．故答案为：①③④．

39．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 ．

【答案】．
【解析】
如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P．
此时△PBC是等腰三角形，线段PD最短，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴BO=DO=×2=，∴BD=2BO=，∴PD最小值=BD﹣BP=．故答案为：．

40．如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（_______）．

【答案】2n﹣1，0
【解析】
∵直线l为y=x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，
∴当x=1时，y=，
即B1（1，），
∴tan∠A1OB1=，
∴∠A1OB1=60°，∠A1B1O=30°，
∴OB1=2OA1=2，
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
∴A2（2，0），
同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，
∴点An的坐标为（2n﹣1，0），
故答案为：2n﹣1，0．
【关键点拨】本题考查了规律题——点的坐标，一次函数图象上点的坐标特征等，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键．
三、解答题
41．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C

（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．
【答案】（1）；（2）△BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t的值为1或4．
【解析】
（1）将、代入，得：
，解得：，
此二次函数解析式为．
（2）为直角三角形，理由如下：
，
顶点的坐标为．
当时，，
点的坐标为．
点的坐标为，
，
，
．
，
，
为直角三角形．
（3）设直线的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
直线的解析式为，
将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为．
联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
点的坐标为，，点的坐标为，．
点的坐标为，
，，．
为直角三角形，
分三种情况考虑：
①当时，有，即，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
②当时，有，即，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
③当时，有，即，
整理，得：．
，
该方程无解（或解均为增解）．
综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4．
【关键点拨】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．
42．如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．
（1）证明：；
（2）若，证明：与相切；
（3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
（1）连接OC.

在△OAD和△OCD中，
∵，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO＝∠CDO，
又AD＝CD，
∴DE⊥AC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）∵tan∠ABC2，
∴设BC＝a、则AC＝2a，
∴AD＝AB．
∵OE∥BC，且AO＝BO，
∴OEBCa，AE＝CEAC＝a．
在△AED中，DE2a．
在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2a2，
∴AO2+AD2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
∴DA与⊙O相切；
（3）连接AF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFD＝∠BAD＝90°．
∵∠ADF＝∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴，
即DF•BD＝AD2①．
又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴，
即OD•DE＝AD2②，
由①②可得DF•BD＝OD•DE，
即．
又∵∠EDF＝∠BDO，
∴△EDF∽△BDO．
∵BC＝1，
∴AB＝AD、OD、ED＝2、BD、OB，
∴，
即，
解得：EF．
【关键点拨】
本题主要考查圆的综合知识. 解题的关键是在圆中综合运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识进行推理证明．
43．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC＝2α（0°＜α＜45°）．

（1）如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；
（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．
【答案】（1）证明见解析；（2）CD＝2•BE•tan2α；（3）sin（45°﹣α）．
【解析】
(1)如图1中，
∵B、B′关于EC对称，
∴BB′⊥EC，BE＝EB′，
∴∠DEB＝∠DAC＝90°，
∵∠EDB＝∠ADC，
∴∠DBE＝∠ACD，
∵AB＝AC，∠BAB′＝∠DAC＝90°，
∴△BAB′≌CAD，
∴CD＝BB′＝2BE；

(2)如图2中，结论：CD＝2•BE•tan2α，
理由：由(1)可知：∠ABB′＝∠ACD，∠BAB′＝∠CAD＝90°，
∴△BAB′∽△CAD，
∴，
∴，
∴CD＝2•BE•tan2α；

(3)如图 3中．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°﹣2α，
∵EC平分∠ACB，
∴∠ECB(90°﹣2α)＝45°﹣α，
∵∠BCF＝45°+α，
∴∠ECF＝45°﹣α+45°+α＝90°，
∴∠BEC+∠ECF＝180°，
∴BB′∥CF，
∴sin(45°﹣α)．
∵，
∴sin(45°﹣α)．

【关键点拨】
本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.
44．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．
在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
实践操作
如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C和AD相交于点E，连接B′D．
解决问题
(1)在图1中，
①B′D和AC的位置关系为　　；
②将△AEC剪下后展开，得到的图形是　　；
(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；
(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　　；
拓展应用
(4)在图2中，若∠B=30°，AB=4，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为　　．

【答案】(1)①BD′//AC，菱形；(2)见解析；(3)1：1或：1；(4)4或6或8或12.
【解析】
(1)①．②将剪下后展开，得到的图形是菱形；
故答案为，菱形；
(2)①选择②证明如下：
四边形是平行四边形，
，
，
将沿翻折至△，
，
，
，
是等腰三角形；
将剪下后展开，得到的图形四边相等，
将剪下后展开，得到的图形四边是菱形．
②选择①证明如下，
四边形是平行四边形，
，
将沿翻折至△，
，
，
，
，
，
，
．
(3)①当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为；，
，
②当矩形的长宽之比为时，满足条件，此时可以证明四边形是等腰梯形，是轴对称图形；
综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为或；
(4)，，
，
，
四边形是等腰梯形，
，，
△是直角三角形，
当，时，如图3中，

设，
，
解得，
，
，
，
，
当，时，如图4，

，，
，
，
四边形是等腰梯形，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
；
当，时，如图5，

，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
当时，如图6，

，，
，
，
四边形是等腰梯形，
，
四边形是矩形，
，
，，
；
已知当的长为4或6或8或12时，△是直角三角形．
故答案为：平行，菱形，或，4或6或8或12；

【关键点拨】
本题考查折叠图形的性质与运用，解题的关键时能够知道在折叠过程中的变量与形成的新的关系.
45．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐标为（，3）；（3）F坐标为（0，﹣）．
【解析】
（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得： ，
解得： ，即二次函数解析式为y=﹣x2+x+2，
联立一次函数解析式得：，
消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2，
解得：x=0或x=3，
则E（3，1）；
（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，

设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2），
∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，
S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3，
当m=﹣=时，S最大=，此时M坐标为（，3）；
（3）连接BF，如图②所示，

当﹣x2+x+20=0时，x1=，x2=，
∴OA=，OB=，
∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，
∴△AOC∽△FOB，
∴ ，即 ，
解得：OF=，
则F坐标为（0，﹣）．
【关键点拨】
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
46．如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）
（1）当PQ⊥AB时，x等于多少；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．

【答案】（1）s；（2）y=；（3）当x=s或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．
【解析】
(1)当PQ⊥AB时，BQ=2PB，
∴2x=2（2﹣2x），
∴x=s．
(2)①如图1中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形PQMN．

y=2x×x=2x2．
②如图②中，当＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．

y=(2﹣x+2x)×x=x2+x.
③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．

y=(2﹣x+2)×[x﹣2(x﹣1)]=x2﹣3x+4；
综上所述，y=
（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．

则有：tan∠EAB=tan∠QPB，
∴=，
解得x=．
②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．

此时tan∠DEA=tan∠QPB，
∴=，
解得x=，
综上所述，当x=或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．
故答案为：(1)s；(2)y=；(3)x=或．
【关键点拨】
本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
47．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，则k=　 　；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（﹣，3）（2） （3）（，）或（﹣，5）或（，﹣）
【解析】
（1）x2﹣9x+18=0，
（x﹣3）（x﹣6）=0，
x=3或6，
∵CD＞DE，
∴CD=6，DE=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=EC==3，
∴∠DCA=30°，∠EDC=60°，
Rt△DEM中，∠DEM=30°，
∴DM=DE=，
∵OM⊥AB，
∴S菱形ABCD=AC•BD=CD•OM，
∴=6OM，OM=3，
∴D（﹣，3）；
（2）∵OB=DM=，CM=6﹣=，
∴B（，0），C（，3），
∵H是BC的中点，
∴H（3，），
∴k=3×=；
故答案为：；
（3）
①∵DC=BC，∠DCB=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∵H是BC的中点，
∴DH⊥BC，
∴当Q与B重合时，如图1，四边形CFQP是平行四边形，
∵FC=FB，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=120°﹣30°=90°，
∴AB⊥BF，CP⊥AB，
Rt△ABF中，∠FAB=30°，AB=6，
∴FB=2=CP，
∴P（，）；
②

如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，
∴CQ∥PH，
由①知：PH⊥BC，
∴CQ⊥BC，
Rt△QBC中，BC=6，∠QBC=60°，
∴∠BQC=30°，
∴CQ=6，
连接QA，
∵AE=EC，QE⊥AC，
∴QA=QC=6，
∴∠QAC=∠QCA=60°，∠CAB=30°，
∴∠QAB=90°，
∴Q（﹣，6），
由①知：F（，2），
由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P（﹣﹣3，6﹣），即P（﹣，5）；
③
如图3，四边形CQFP是平行四边形，
同理知：Q（﹣，6），F（，2），C（，3），
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的坐标为：（，）或（﹣，5）或（，﹣）．
【关键点拨】
本题主要考查平行四边形、菱形的图像和性质，反比例函数的图像与性质等，综合性较大，需综合运用所学知识充分利用已知条件求解.
48．抛物线y=ax2+bx的顶点M（，3）关于x轴的对称点为B，点A为抛物线与x轴的一个交点，点A关于原点O的对称点为A′；已知C为A′B的中点，P为抛物线上一动点，作CD⊥x轴，PE⊥x轴，垂足分别为D，E．
（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜2时，是否存在点P使以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+2x（2）存在点P（+，）或（﹣，）使得四边形CDPE是平行四边形
【解析】
（1）依题意得：抛物线y=ax2+bx经过顶点M（，3）和（0，0），∴点A与原点关于对称轴x=对称，∴A（2，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x；
（2）假设存在点P使得以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形，则PE∥CD且PE=CD．
由顶点M（，3）关于x轴的对称点B（，﹣3），可得：BF=3．
连接MB交x轴于F．
∵CD⊥x轴，BM⊥x轴，∴CD∥BF．
∵C为A′B的中点，∴CD是△A′BF的中位线，得PE=CD=BF=．
∵点A的坐标是（2，0），∴当0＜x＜2时，点P应该在x轴的上方．
可设点P的坐标为（x，），∴y=﹣x2+2x=，解得：x=±，满足0＜x＜2．
综上所述：存在点P（+）或（﹣）使得四边形CDPE是平行四边形．

【关键点拨】
本题是二次函数的综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
49．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；
（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB= ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．

【答案】（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．
【解析】
（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴∠DEA=∠ABC，
∴BC∥DF，
∴∠F=∠PBC，
∵四边形BCDF是圆内接四边形，
∴∠F+∠DCB=180°，
∵∠PCB+∠DCB=180°，
∴∠F=∠PCB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PC=PB；
（2）如图2，连接OD，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥DC，
∵BC∥DE，
∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC=DH=1，
在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=，
∴∠ACB=60°，
∴BC=AC=OD，
∴DH=OD，
在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°，
设DE交AC于N，
∵BC∥DE，
∴∠ONH=∠ACB=60°，
∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，
∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠DOC=20°，
∴∠CBD=∠OAD=20°，
∵BC∥DE，
∴∠BDE=∠CBD=20°．
【关键点拨】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，解决第（2）问，作出辅助线，求得∠ODH=20°是解决本题的关键.
50．空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．

【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析.
【解析】
（1）设AD=x米，则AB=米
依题意得，＝450
解得x1=10，x2=90
∵a=20，且x≤a
∴x=90舍去
∴利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：
S=，0＜x＜a
∵0＜a＜50
∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大
当x=a时，S最大=50a-a2

②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得
S=，a≤x＜50+
当a＜25+＜50时，即0＜a＜时，
则x=25+时，S最大=（25+）2=，
当25+≤a，即≤a＜50时，S随x的增大而减小
∴x=a时，S最大==，
综合①②，当0＜a＜时，-（）=＞0
＞，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米
当≤a＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当0＜a＜时，围成长和宽均为（25+）米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；
当≤a＜50时，围成长为a米，宽为（50-）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（）平方米．
【关键点拨】
本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．
51．如图1，有一组平行线，正方形的四个顶点分别在上，过点D且垂直于于点Ｅ，分别交于点F，G，．
（1）AE=____，正方形ABCD的边长＝____；
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，点在直线上，以为边在的左侧作菱形，使点分别在直线上．
①写出与的函数关系并给出证明；
②若=30°，求菱形的边长．

【答案】（1）1，；（2）①∠B′AD′=90°﹣α，证明见解析；②菱形的边长为．
【解析】
（1）由题意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
在△AED和△DGC中，
，
∴△AED≌△DGC（AAS），
∴AE=GD=1，
又∵DE=1+2=3，
∴正方形ABCD的边长=，
故答案为：1，；
（2）①∠B′AD′=90°﹣α；
理由：过点B′作B′M垂直于l1于点M，
在Rt△AED′和Rt△B′MA中，
，
∴Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），
∴∠D′AE+∠B′AM=90°，
∠B′AD′+α=90°，
∴∠B′AD′=90°﹣α；
②过点E作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，
若α=30°，则∠ED′N=60°，AE=1，故EO=，EN=，ED′=，
由勾股定理可知菱形的边长为：．

【关键点拨】
本题考查了几何变换综合题涉及了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等，认真识图、熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．
52．已知，如图1，在▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．
①求证：HC=2AK；
②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）n=4．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE；
（2）如图2，作BN∥HC交EF于N，

∵△ADE≌△BFE，
∴BF=AD=BC，
∴BN=HC，
由（1）的方法可知，△AEK≌△BEN，
∴AK=BN，
∴HC=2AK；
（3）如图3，作GM∥DF交HC于M，

∵点G是边BC中点，
∴CG=CF，
∵GM∥DF，
∴△CMG∽△CHF，
∴==，
∵AD∥FC，
∴△AHD∽△GHF，
∴===，
∴=，
∵AK∥HC，GM∥DF，
∴△AHK∽△HGM，
∴==，
∴=，即HD=4HK，
∴n=4．
【关键点拨】
此题重点考察学生对于三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质的综合应用能力，熟练掌握判定条件和性质是解题的关键.
53．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC.
（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？
（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y.
①求y与x的函数关系式；
②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.

【答案】（1）AE=EF；（2）①y=-x2+2x（0＜x＜4)，②当x=2,y最大值=2.
【解析】
（1）如图，在AB上取AG=EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
有∵AG=EC ，∴BG=BE ，
又∵∠B=90°，
∴∠AGE=135°，
又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN，
∴∠ECF=135°，
∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AGE和△ECF中，
,
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF；

(2)①∵由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF，
∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°，
∴△ABE≌△ENF，
∴FN=BE=x，
∴S△ECF= (BC-BE)·FN，
即y= x(4-x），
∴y=- x2+2x（0＜x＜4)，
②，
当x=2，y最大值=2.
【关键点拨】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．
54．如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）P点坐标为（4 ,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）
【解析】
（1）把，和点，代入抛物线得：，
解得：，，
则抛物线解析式为；
（2）当在直线上方时，
设坐标为，则有，，
当时，，即，
整理得：，即，
解得：，即或（舍去），
此时，；
当时，，即，
整理得：，即，
解得：，即或（舍去），
此时，；
当点时，也满足；
当在直线下方时，同理可得：的坐标为，，
综上，的坐标为，或，或，或；
（3）在中，，，
根据勾股定理得：，
，
，
，
边上的高为，
过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：

在中，，即，
过作轴，
在中，，，即，，
设直线解析式为，
把坐标代入得：，即，即，
联立得：，
解得：或，即，或，，
则抛物线上存在点，使得，此时点的坐标为，或，．
【关键点拨】
二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
55．如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O为坐标原点，OC为轴，OA为轴建立平面直角坐标系.设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为秒.
（1）求直线AC的解析式；
（2）用含的代数式表示点D的坐标；
（3）当为何值时，△ODE为直角三角形？
（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式.

【答案】（1）；（2）D（，）；（3），，，；（4）
【解析】
（1）根据题意，得CO=AB=BC•tan∠ACB=4，则A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）；
设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标，得：
4k+3=0，k=-，
∴直线AC：；
（2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H，

则有△ADF∽△DCH∽△ACO，
∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，
而AD=（其中0≤≤），OC=AB=4，AC=5，∴FD=AD=，AF=AD=，
DH=，HC=，
∴D（，）；
（3）CE=，E（，0），OE=OC-CE=4-，HE=|CH-CE|=，
则OD2=DH2+OH2==，
DE2=DH2+HE2==，
当△ODE为Rt△时，有OD2+DE2=OE2，或OD2+OE2=DE2，或DE2+OE2=OD2，
即①，
或②，
或③，
上述三个方程在0≤≤内的所有实数解为
，，，；
（4）当DO⊥OE，及DE⊥OE时，即和时，以Rt△ODE的三个顶点不确定对称轴平行于轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于轴的抛物线D（，），E（4-，0），
当时，D（，），E（3，0），因为抛物线过O（0，0），
所以设所求抛物线为，将点D，E坐标代入，求得，，
∴所求抛物线为.
（当时，所求抛物线为）.
【关键点拨】
本题考查的是代数几何综合应用，涉及了待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理、二次函数等知识，综合性较强，，有一定的难度，熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想进行解题的关键.
56．如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；
（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：
①为何值时为等腰三角形；
②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

【答案】（1）平移后抛物线的解析式，= 12；（2）①，②当＝3时，PN取最小值为．
【解析】
（1）设平移后抛物线的解析式，
将点A（8，,0）代入，得=，
所以顶点B（4,3），
所以S阴影=OC•CB=12；
（2）设直线AB解析式为y=mx+n，将A（8，0）、B（4，3）分别代入得
，解得：，
所以直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，
①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.
当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，，MQ＝，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，
解得：
t＝12（舍去）；
当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立,
故；
②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，
得点N的横坐标为XN=，即t2﹣xNt+36﹣xN=0，
由判别式△=x2N﹣4（36﹣）≥0，得xN≥6或xN≤﹣14，
又因为0＜xN＜8，
所以xN的最小值为6，此时t=3，
当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为．
【关键点拨】
本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，平移的性质，割补法，三角形面积，分类思想，相似三角形的性质，勾股定理，根的判别式，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识是解题的关键.
57．将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，．
（1）求GC的长；
（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．

【答案】（1）2；（2）DM=DN；（3）
【解析】
（1）如图1．

在Rt△ABC中，∵BC=2，∠B=60°，∴AC=BC•tan60°=6，AB=2BC=4．
∵DF是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD=2．
在Rt△ADG中，AG4，∴CG=AC=AG=6﹣4=2．
（2）如图2中，结论：DM=DN．
理由：∵△ABC为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴CD=BD=AD．
又∠B=60°，∴△BDC为等边三角形，∴∠CDB=60°．
又∠EDF=90°，∴∠HDA=30°．
∵∠A=90°﹣∠B=30°，∴AH=HD，又HM⊥AD，∴MD=AM．
在等边三角形 BCD中，CN⊥BD，∴ND=NB．
又AD=BD，∴MD=ND．

（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．

在△AGK中，AG=GK=4，∠A=∠GKD=30°，作GH⊥AB于H．
则AH=AG•cos30°=2，可得AK=2AH=4，此时K与B重合，∴DD′=DB=2．
【关键点拨】
本题考查了几何变换综合题、旋转变换平移变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
58．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．
（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；
（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．
①求 的值；
②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．

【答案】（1）AE=；（2）BG=；（3）①；②相似，理由见解析.
【解析】
（1）如图1，连接OA，

在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD=，
∵O是BD中点，
∴OD=OB=OA=，
∴∠OAD=∠ODA，
∵OE=DE，
∴∠EOD=∠ODE，
∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，
∴△ODE∽△ADO，
∴，
∴DO2=DE•DA，
∴设AE=x，
∴DE=5﹣x，
∴（）2=5（5﹣x），
∴x=，
即：AE=；
（2）如图2，

在矩形ABCD中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴AE=CD=3，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∵∠A=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠CED=∠AFE，
∵∠D=∠A=90°，
∴△AEF≌△DCE，
∴AF=DE=2，
∴BF=AB﹣AF=1，
过点G作GK⊥BC于K，
∴∠EBC=∠BGK=45°，
∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°，
∵∠KCG=∠BCF，
∴△CHG∽△CBF，
∴，
设BK=GK=y，
∴CK=5﹣y，
∴y=，
∴BK=GK=，
在Rt△GKB中，BG=；
（3）①在矩形ABCD中，∠D=90°，
∵AE=1，AD=5，
∴DE=4，
∵DC=3，
∴EC=5，
由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH，∠ED'H=∠D=90°，
∴D'C=1，
设D'H=DH=z，
∴HC=3﹣z，
根据勾股定理得，（3﹣z）2=1+z2，
∴z=，
∴DH=，CH=，
∵D'N⊥AD，
∴∠AND'=∠D=90°，
∴D'N∥DC，
∴△EMN∽△EHD，
∴，
∵D'N∥DC，
∴∠ED'M=∠ECH，
∵∠MED'=∠HEC，
∴△ED'M∽△ECH，
∴，
∴，
∴，
∴；
②相似，理由：由折叠知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，
∴∠MD'H+∠ED'N=90°，
∵∠END'=90°，
∴∠ED'N+∠NED'=90°，
∴∠MD'H=∠NED'，
∵D'N∥DC，
∴∠EHD=∠D'MH，
∴∠EHD'=∠D'MH，
∴D'M=D'H，
∵AD∥BC，
∴∠NED'=∠ECB，
∴∠MD'H=∠ECB，
∵CE=CB=5，
∴
∴△D'MH∽△CBE．
【关键点拨】
此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键．
59．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于A（1，），B（4，0）两点．

（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．
【答案】（1）；（2）D（1，0）或（0，）或（0，）；（3），M（，）．
【解析】
（1）∵A（1，），B（4，0）在抛物线的图象上，∴，解得，∴抛物线解析式为；
（2）存在三个点满足题意，理由如下：
①当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，∵A（1，），
∴D坐标为（1，0）；
②当点D在y轴上时，设D（0，d），
则，，
且，
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，∴
，即，
解得d=，∴D点坐标为（0，）或（0，）；
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；
（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，
∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴=，∴MF=PF，
在Rt△ABD中，BD=3，AD=，
∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，
设BC=a，则CN=a，
在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，
∴tan∠PNF=，
∴FN=PF，∴MN=MF+FN=PF，
∵S△BCN=2S△PMN，
∴，
∴a=PF，
∴NC=a=PF，
∴==，
∴MN=NC==a，
∴MC=MN+NC=（）a，
∴M点坐标为（4﹣a，（）a），
又M点在抛物线上，代入可得=（）a，解得a=或a=0（舍去），OC=4﹣a=，MC=，
∴点M的坐标为（，）．

【关键点拨】
在这类综合练习题中，求点坐标通常过点作x轴，y轴的垂线，并根据题意找到相似关系，或者根据题求出点所在图像对应的函数的解析式，代入求解.计算量较大，需要有较强的计算功底.
60．在平面直角坐标系中，已知M1（3，2），N1（5，－1），线段M1N1平移至线段MN处（注：M1与M，N1与N分别为对应点）.
（1）若M（－2，5），请直接写出N点坐标.
（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式.
（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC︰OF=2︰，求m的值.
（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时BP的长度.

【答案】（1）N（0,2）；（2）y=x2+ x+2；（3）m=－1；（4）BP=2或
【解析】
（1）N（0,2）
（2）∵N（0,2）在抛物线y=x2+ x+k上
∴k=2
∴抛物线的解析式为y=x2+ x+2
（3）∵y=x2+ x+2=（x+2）2
∴B（－2，0）、A（0,2）、E（－，1）

∵CO：OF=2:
∴CO=－m, FO=－m, BF=2+m
∵S△BEC= S△EBF+ S△BFC=
∴(2+m)(－m+1) =
整理得：m2+m = 0
∴m=－1或0
∵m < 0 ∴m =－1
（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO===
∴∠ABO=30°，AB=2AO=4
①∠BPE>∠APE时，连接A1B
则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分.

∵E为AB中点，∴S△AEP= S△BEP= S△ABP
∵S△EHP= S△ABP
∴= S△EHP= S△BHP= S△ABP
∴A1H=HP，EH=HB=1
∴四边形A1BPE为平行四边形
∴BP=A1E=AE=2
即BP=2
②当∠BPE=∠APE时，重叠部分面积为△ABP面积的一半，不符合题意
③当∠BPE<∠APE时.
则对折后如图3，A1为对折后A的所落点.△EHP是重叠部分

∵E为AB中点，∴S△AEP= S△BEP= S△ABP
∵S△EHP= S△ABP∴S△EBH= S△EHP== S△ABP
∴BH=HP，EH=HA1=1
又∵BE=EA=2
∴EHAP
∴AP=2
在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2.
∴∠APB=90° ∴BP=
综合①②③知：BP=2或
【关键点拨】
此题主要考查了点的平移、二次函数解析式的确定，图形折叠问题及图形面积等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．