初中24.3 一元二次方程根与系数的关系学案

一元二次方程根与系数的关系

【学习目标】

1．了解一元二次方程根与系数的关系。

2．经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的归纳探究能力和推理论证能力。

【学习重难点】

1．一元二次方程根与系数的关系及简单运用。

2．一元二次方程根与系数的关系的推导。

【学习过程】

一、预习导学

自主预习教材，完成下列各题。

1．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），在b2-4ac≥0的条件下，它的根为               ，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。

2．对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当            时，方程有两个             的实数根；当            时，方程有两个                  的实数根；当            时，方程             实数根。

二、探究展示

（一）合作探究

问题：我们已经知道，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的值由方程的系数a、b、c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？

做一做：

（1）先解方程，再填表：

由上表猜测：若x²+bx+c=0的两个根为x1、x2，则x1+ x2=       ，x1．x2=        。

（2）方程x²-5x +6=0的两个根为x1=      ， x2=     ，则x²-5x +6=                 ，当一元二次方程二次项的系数为1时，两根之和等于               ，两根之积等于           ，那么二次项的系数不为1时，两根之和，两根之积与系数的关系又是怎样的呢？

动脑筋：

对于方程ax²+bx+c=0（a≠0），该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？

当△≥0时，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，则

                      ax²+bx+c=a(x - x1)(x – x2)

                     =a [x²-(x1+ x2)x + x1x2]，

又                   ax²+bx+c=a(x²+)

于是               x²+=a [x 2-(x1+ x2)x + x1x2]，

因此               =-(x1+ x2)，= x1x2，

即                    x1+ x2=-，x1x2=

归纳：当△≥0时，一元二次方程两根之和等于                  ，两根的积等于              ，这个关系通常被称为韦达定理，是法国数学家韦达最早发现的。

（二）展示提升

1．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1、x2的和与积：

（1）2 x²-3x +1=0；         （2）x²-3x +2=10；           （3）7 x²-5= x+8；   

2．已知关于x的方程x²+3x +q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q的值。

三、当堂检测

1．（1）设方程x 2-4x -1=0的两个根为x1与 x2，则x1x2=                      ；

（2）设方程x 2+5x +6=0的两个根为x1与x2，则x1+ x2=                    ；

2．设x 1、x2是方程3x 2+2x -3=0的两个根，求下列各式的值：

（1）x1+x2；                                                     （2）x1x2

3．已知关于x的一元二次方程x 2+mx +3=0的一个根为-1，它的另一个根及m的值。

四、学后反思

1．你学到了什么？

2．你还有什么样的困惑？

3．你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？