湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的应用教学设计

这是一份湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的应用教学设计，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学课时，第一课时，教学过程，作业布置，教学反思，第二课时等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
一、知识与技能
使学生会用列一元二次方程的方法解应用题。
二、过程与方法
让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。
三、情感态度
在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力。
【教学重难点】
1．重点：建立一元二次方程模型解决一些代数问题。
2．难点：把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题。
【教学课时】
2课时
【第一课时】
【教学过程】
一、情景导入，初步认知
列方程解应用问题的步骤是什么？
（一）审题，（二）设未知数，（三）列方程，（四）解方程，（五）答
教学说明：
初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决。但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用。
二、思考探究，获取新知
（一）某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率，若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假设该省每年产生的秸秆总量不变）。
分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：
今年的使用率×（1+年平均增长率）2=后年的使用率
解：设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程：
40%(1+x)2=90%
解得：x1=50%，x2=-2.5
根据题意可知：x=50%
答：这两年秸秆使用率的年增长率为50%。
（二）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元。求平均每次降价的百分率。
分析：问题中涉及的等量关系是：
原价×（1-平均每次降价的百分率）2=现在的售价
解：设平均每次降价的百分率x，则根据等量关系，可列出方程：
100(1-x)2=81
解得：x1=10%，x2=1.9
根据题意可知：x=10%
答：平均每次降价的百分率为10%。
议一议：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
归纳结论：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：分析实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解。
教学说明：使学生感受、明白利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法。
三、运用新知，深化理解
（一）见教材例2。
（二）一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元。如果每次降价的百分率都是x，根据题意列方程得。
【答案】121(1-x)2=100
（三）某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米。如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？
分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案。
解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×(1+x)2=2880
解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）
故答案为：20%。
（四）某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到2160万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，问2013年预计经营总收入为多少万元？
解：设每年经营总收入的年增长率为A。
列方程，600÷40%×(1+a)2=2160
解方程，a1=0.2，a2=-2.2(不符合题意，舍去)
∴每年经营总收入的年增长率为0.2
则2013年预计经营总收入为：
600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800
答：2013年预计经营总收入为1800万元。
（五）将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润。
1．写出x与y之间的关系式；
2．为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？
解∶
1．商品的单价为50+x元，每个的利润是(50+x)-40元，销售量是500-10x个，则依题意得y=[(50+x)-40](500-10x)，即y=-10x2+400x+5000
2．依题意得-10x2+400x+5000=8000
整理，得x2-40x+300=0
解得x1=10，x2=30
所以商品的单价应定为50+10=60（元）或50+30=80（元）。
当商品的单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200（个）。
（六）“国运兴衰，系于教育”图中给出了我国从1998─2002年每年教育经费投入的情况。
1．由图可见，1998─2002年的五年内，我国教育经费投入呈现出趋势；
2．如果我国的教育经费从2002年的5500亿元，增加到2004年7920亿元，那么这两年的教育经费平均年增长率为多少？
解：
1．上升或增长。
2．设平均每年增长率为x。
依题意得：
5500(1+x)2=7920
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）
答：这两年的教育经费平均年增长率为20%。
四、师生互动、课堂小结
首先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充
【作业布置】
教材“习题2.5”中第1、2题。
【教学反思】
《一元二次方程的应用——增长率及利润问题》与我们的生活密切相关，在解决增长率问题时，要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系，掌握其规律，还应注意各种数据变化的基础，针对本节课的内容，制作了多媒体教学课件，让学生在探讨、练习中完成所学内容。
本节课中，同学们能积极投入到课堂教学中，认真思考、讨论，踊跃发言，课堂气氛活跃，在个别问题的回答上，学生大胆发言，配合默契，达到了积极的教学效果。
【第二课时】
【教学目标】
一、知识与技能
会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性做出解释。
二、过程与方法
进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养学生用数学的意识。
三、情感态度
让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识。
【教学重难点】
（1）重点：应用一元二次方程解决实际问题。
（2）难点：从实际问题中建立一元二次方程的模型。
【教学过程】
一、情景导入，初步认知
复习列方程解应用题的一般步骤：
（一）审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
（二）设未知数：用字母（如x）表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；
（三）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；
（四）解方程：求出所给方程的解；
（五）检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；
（六）作答：根据题意，选择合理的答案。
二、思考探究，获取新知
（一）思考：如图，在一长为40cm，宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为364平方厘米，求截去的四个小正方形的边长。
1．引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
2．确定本题的等量关系是：盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽；
3．引导学生根据题意设未知数；
4．引导学生根据等量关系列方程；
5．引导学生求出所列方程的解；
6．检验所求方程的解合理性；
7．根据题意作答。
（二）如图，一长为32m，宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540m2，求道路的宽。
分析：本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案。还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍。本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了(32-x)(20-x)米2，进而即可列出方程，求出答案。
解：设道路宽为x米
(32-x)(20-x)=540
解得：x1=2，x2=50（不合题意，舍去）
∴x=2
答：设道路宽为2米。
（三）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动，同时点Q沿CB边从C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点达到终点时，另一点也随之停止移动，问点P、Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm2？
解：设xs后，可使△PCQ的面积为9cm2
由题意得，AP=xcm，PC=(6-x)cm，CQ=2xcm则1/2·(6-x)·2x=9
整理，得x2-6x+9=0，解得x1=x2=3
所以P、Q同时出发，3s后可使△PCQ的面积为9cm2
三、运用新知，深化理解
（一）如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3:2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，若横路宽为3xcm，则可列方程是什么？
分析：若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(30-4x)(20-6x)m2，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，可列方程。
则可列方程：(30-4x)(20-6x)=3/4×30×20
答案：(30-4x)(20-6x)=3/4×30×20
（二）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
答案：B
（三）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地。
1．怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？
2．能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？
解：1．设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为12(80-x)米。
依题意得：x·1/2(80-x)=750
即，x2-80x+1500=0
解此方程，得x1=30，x2=50
∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去。
当x=30时，1/2(80-x)=1/2×(80-30)=25
所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2
2．不能。
因为由x·1/2(80-x)=810得x2-80x+1620=0
又∵b2-4ac=(-80)2-4×1×1620=-80