初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教学设计及反思

24.1.2垂直于弦的直径

【教学目标】

    知识技能：通过观察实验，学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理及其推

              论，理解其证明，并会用它解决有关的证明和计算问题。

过程与方法：经历探索圆是轴对称图形的过程，体会“实验-观察-猜想-验证-归 

          纳”的探索过程；在探索垂径定理及其推论的过程中，体验数学结论

          的严谨性和科学性。

情感态度价值观：在实验操作探索数学规律的过程中，激发探究发明的好奇心和

          求知欲，培养不怕艰难勇于探索的精神。

【学习重点】

垂径定理、推论及其应用．

【学习难点】

发现并证明垂径定理．

   【教学过程】

                          情景导入　生成问题

    1、给出章前赵州桥问题，激发求知欲。

2．请同学们把手中圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形？

答：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴．

3．请同学们再把手中圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？

答：折痕是圆的一条弦，直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

自学互研　生成能力

1、阅读教材P81～P82上面的文字，完成下面的内容：

如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．

你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆

重合，点A与点B重合，AE与BE重合。

(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

用几何语言表示：

如图，∵在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于点E.

∴EA＝EB，＝，＝．

(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（画图强调为什么弦不是直径）

用几何语言表示：

如图，∵在⊙O中，CD是直径，若AE＝EB.

∴CD⊥AB，＝，＝．

(3)强化练习：下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？

2、例1.　1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).见课本例题。

解：连接OA

∵CD⊥AB，且CD过圆心O，

∴AD＝AB＝1米，∠CDA＝90°

在Rt△OAD中，设⊙O的半径为R，则

OA＝OC＝R，OD＝5－R.

由勾股定理，得：OA2＝AD2＋OD2，即

R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.

故圆拱形门所在圆的半径为2.6米．

指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；

              ②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线：作垂径，连半径。

当堂检测　达成目标

1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

．

2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．

3.如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆
于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？

4、已知P为⊙ O内一点，且OP＝2cm，如果⊙ O的半径是3cm，求过P点的最长的弦和最短的弦的长度。

本题结束强调：过圆内不是圆心的点的最长和最短弦是哪条?

5、将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 与半圆交于点D、E, 量出半径 OC = 5cm,弦 DE=8cm。求直尺的宽度。

【归纳小结】

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法

②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线．

重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—（结合）勾股定理—建立方程．

【布置作业】

1. 教科书习题 24.1　第 1，2 题．

2、补充：已知圆心到圆内两条平行弦的距离分别为6和8，圆的半径为10，求两条弦之间的距离

【教学反思】

作为圆的重要性质，垂径定理研究的是垂直于弦的直径和这条弦的关系，该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面的圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处在很重要的位置。

整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。但在解决赵州桥问题中只是注意了解决几何计算问题的指导，对于知识的实际应用，对于如何寻找应用题中的相关数据指导不够到位。