初中数学冀教版八年级上册17.5 反证法教案及反思

反证法

【教学目标】

1．使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法。

2．培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力。

【教学重点】

反证法证题的步骤。

【教学难点】

理解反证法的推理依据及方法。

【教学方法】

讲练结合教学。

【教学过程】

一、提问：

师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？

生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？

生：共分三步：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？

解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2

二、探究

问题：

若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C≠90°”，请问结论a2+b2≠c2成立吗？请说明理由。

探究：

假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立。

这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。像这样的证明方法叫做反证法。

三、应用新知

例1：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C

证明：假设，∠B＝∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾。假设不成立。∴∠B≠∠C．

小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确。

例2：已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c，b//C。求证：a//b

证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A．那么过点A就有两条直线a．b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立。∴a//B

小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾。

例3：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。

证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°。

则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°。

即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾。假设不成立。

∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。

三、课堂练习：

课本“练习”。

四、课时小结

本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。

【作业布置】

课本“习题”1、2题。