人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试教案及反思

这是一份人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试教案及反思，共10页。

课题
旋转全章复习
教科书
书名：义务教育教科书数学九年级上册
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2014年 3月
教学目标
教学目标：梳理本章知识结构，进一步理解旋转及中心对称的概念和性质，并应用这些知识解决相关问题；
体会从特殊到一般、转化等数学思想方法.
教学重点：构建本章知识体系，深入理解旋转的实质.
教学难点：从旋转的变换角度思考问题.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
结构梳理
本章我们学习了一种新的图形变换——旋转，下面我们来对这一章节进行简要的梳理.首先我们遵循几何变换的一般研究思路，从定义、性质、应用几个方面对旋转进行了细致、深入的学习.然后我们又对其中一种特殊的旋转——中心对称进行了研究.最后结合之前学过的图形变换平移和轴对称，利用这三种图形之间的变化关系，以及它们变化前后只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小的共性，进行了图案设计.
下面我们通过具体问题，来对本章一些具体的知识和方法进行复习和回顾.
复习回顾：图形的旋转
例
如图所示， 把一个直角三角尺ACB顺时针旋转到△EDB的位置， 使得点A落在CB的延长线上的点E处，则旋转中心是___， 旋转角等于___度，∠BDC的度数为___度．
设计意图：通过本题复习旋转的定义及性质.
图形：
定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.
三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.
性质：1.对应点到旋转中心的距离相等.
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
3.旋转前、后的图形全等.
例： 已知：点A与点B.
（1）画出点A绕点B逆时针旋转30°得到点C，并简述作图步骤；
（2）连接点A，B，C，能得到什么图形？为什么？
（3）如果想得到等边三角形和等腰直角三角形，应该旋转怎样的角度呢？
设计意图：复习旋转作图，通过作图过程挖掘旋转变换中可挖掘的结论
旋转作图的步骤：
①明确旋转中心、旋转方向、旋转角；
②找出关键点；
③将图形的关键点与旋转中心连结起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此点的对应点；
④按原图形顺序连结这些对应点，得到旋转后的图形.
例：如图，小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即线段AB绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段CD，请在图中确定旋转中心点E的位置及旋转角度．
设计意图：应用旋转的性质确定旋转中心.
分析：上一道题是已知旋转中心和初始图形，做出旋转后的图形，本题则需要根据旋转前后的图形，确定旋转中心及旋转角度.首先，我们考虑如何确定旋转中心.根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，以及到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，我们可以得到，旋转中心在每对对应点所连线段的垂直平分线上.因此，我们只需确定两对对应点，取它们垂直平分线的交点即可确定旋转中心.在本题的叙述中，我们无法确定两条线段的端点是如何对应的，因此需要分类讨论.
情况1：点A与点D对应，点B与点C对应.
做线段AD与BC的垂直平分线，交于点E1，则点E1即为所求.
进而∠A E1D、∠BE1C为旋转角.根据网格，可计算得出△AED的三边符合勾股定理逆定理，因此∠AE1D=90°，同理也可计算出∠BE1C=90°.因此线段DC可以看成是线段AB绕点E逆时针旋转90°得到的.
情况2：点A与点C对应，点B与D对应.
与情况1完全同理，可以确定此时点E2的位置如图所示，根据网格，可根据勾股定理逆定理得到旋转角∠AE2D=∠BE2D=90°.所以线段CD可以看成线段AB绕点E顺时针旋转90°得到的.
复习回顾：
中心对称
例：如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是( ).
（A）OC=OC′（B） OA=OA′
（C）BC=B′C′（D） ∠ABC=∠A′C′B′
设计意图：复习中心对称的定义及性质.
图形：
定义：把一个图形绕着某一点旋转180゜，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
性质：（1）对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
（2）中心对称的两个图形是全等图形.
例：如图，△DEF是△ABC经过某种变换后得到的图形．△ABC内任意一点M的坐标为(x,y)，点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是( ).
（A） (-y,-x)（B）( x,-y)
（C） (-x,y)（D）(-x,-y)
设计意图：中心对称、关于原点对称的点的坐标.
例：下列图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）


（A） （B） （C） （D）
设计意图：1.辨析轴对称图形与中心对称图形.
轴对称图形判断的关键是寻找对称轴，对称轴两旁部分折叠后可重合;
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
综合应用
例： 在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC.
求证：BD2=AB2+BC2.
设计意图：
从变换的角度出发，应用旋转相关的知识解决问题
一题多解
分析：
定方向：从图形变换的角度解决问题.
求证的这个等式的结构符合勾股定理形式，故需要将三条线段构造到一个直角三角形中，即改变它们的位置，但不改变大小.因此，我们从图形变换的角度来思考解决这个问题.结合已知给出的图形，下面我们就从旋转的角度出发，考虑如何添加辅助线，才能实现把三条目标线段构造到同一直角三角形中.
【方法一】旋转三角形
由例2我们可以看到，共端点的等线段是旋转变换的一个重要基本元素，存在共端点的等线段，我们就可以以此为基础，旋转以其中一条线段为边的三角形，使它旋转到与另一条等线段重合的位置，这样通过旋转三角形，达到旋转目标线段的目的.
由已知图形我们可以看到，既包含共端点的等线段中的一条，又包含部分求证需要用到的线段这样的三角形共有两个，它们分别是△ABD和△DCB.
△ABD包含的共端点等线段是DA，包含求证中的目标线段是BA和BD，△DCB中包含的共端点等线段是DC，求证中的目标线段是BC、BD，因此可以理解为它们所包含的已知信息是一样的，那我们就任选其中一个三角形来进行分析.不妨选取第一个三角形△ADB.
由已知，线段AD需绕点D顺时针旋转60°才能与DC重合，因此将△ADB也进行相应的旋转变换，达到△DCE的位置.此时，AB旋转到了CE，又由于旋转了60°，连接BE，易得等边△BDE，故BE=DB，只需证∠1=90°，问题就得解了.
证明：将△ADB绕点D顺时针旋转60°到△DCE的位置，连接BE.这时AB=CE，∠A=∠3，DB=DE，∠BDE=60°.
∴ △BDE为等边三角形.
∴ BD=BE.
∵ ∠ABC=30°，∠ADC=60°，
∴ ∠A+∠2=360°—∠ABC—∠ADC=270°.
又 ∠A=∠3
∴ ∠3+∠2=270°.
∴ ∠1=360°—∠2—∠3=90°.
在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2= BC2+CE2.
∴ BD2=AB2+BC2.
归纳反思：
1.从哪个信息考虑到旋转？怎样确定旋转图形？怎样确定旋转中心、旋转方向、旋转角度？.
2. 已知条件连接AC可得等边三角形△ADC，由于等边三角形三边相等，所以题目中含有三对共端点的等线段：AD与AC、DA与DC、CA与CD. 用我们刚才总结的结论可以发现既包含共端点的等线段中的一条，又包含部分求证需要用到的线段这样的三角形共有三个，它们分别是△ACB，△DCB和△ABD.那么将它们进行适当的旋转，能证明求证的等式吗？有兴趣的同学可以课下进行进一步深入思考.
【方法二】旋转线段
AB与BC作为两条直角边，它们所夹的角度应该是90°，而题目中给出的是30°，因此考虑将其中一条线段继续旋转60°，以达到目标图形.不妨固定线段AB，旋转线段BC，则需要将线段BC以点B为旋转中心，逆时针旋转60°，点C的对应点记为点E.此时易得，只需连接AE，证明线段AE=BD即可.根据例2的结论，在旋转线段BC 60°后，连接CE，即可得到等边△BCE.再由已知条件易推出△ADC也是等边三角形，此时易证△BDC≌△EAC了，从而可得BD=AE了.
证明：将线段BC绕点B逆时针旋转60°到BE的位置，连接AE、CE.
∴ △BCE为等边三角形.
∴ ∠1=60°，CB=CE.
∵ ∠ADC=60°，AD=DC，
∴ △ADC为等边三角形.
∴ ∠2=60°，CD=CA.
∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3.
即 ∠DCB=∠ACE.
∴ △DCB≌△ACE.
∴ BD=AE.
∵ ∠ABC=30°，∠CBE=60°，
∴ ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2=AB2+BE2.
∴ BD2=AB2+BC2.
课堂小结
1.梳理了本章知识脉络，能运用旋转和中心对称的性质，解决简单的推理、计算问题.
2.从变换的角度出发解决问题.
3.怎样应用旋转变换解题.
布置作业
1.下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）.
（A）等边三角形 （B）矩形
（C）平行四边形 （D）菱形
2.如图，在△ABC中，∠CAB=70°. 在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′//AB，则∠BAB′等于 .
3.如图，四边形ABCD中， ∠CAB = ∠C = 90°， AB=AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE=5，则S四边形ABCD= .