初中数学人教版九年级上册21.2.1 配方法练习

这是一份初中数学人教版九年级上册21.2.1 配方法练习，共12页。试卷主要包含了把方程x2＋3＝6x配方得等内容，欢迎下载使用。

第2课时 配方法
一、选择题
1.若x2－4x＋p＝(x＋q)2,那么p,q的值分别是( )
A.p＝4,q＝2B.p＝4,q＝－2
C.p＝－4,q＝2D.p＝－4,q＝－2
2.把方程x2＋3＝6x配方得( )
A.(x－3)2＝12B.(x＋3)2＝6
C.(x－3)2＝6D.(x＋3)2＝12
3.用配方法解一元二次方程x2－8x－5＝0,则方程变形为( )
A.(x－8)2＝69B.(x＋8)2＝69
C.(x－4)2＝21D.(x＋4)2＝21
4.方程x2＋16x＋64＝0的根是( )
A.x1＝x2＝8B.x1＝x2＝－8
C.x1＝－8,x2＝8D.无实根
5.用配方法解方程2x2－8x－1＝0,则方程可变形为( )
A.(x－2)2＝12B.2(x－1)2＝12
C.(2x－1)2＝1D.(x－2)2＝92
6.把方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式,正确的结果为( )
A.x-322=16B.2x-342=116
C.x-342=116D.以上都不对
7.设a,b是两个整数,若定义一种运算“△”,a△b＝a2＋b2＋ab,则方程(x＋2)△x＝1的实数根是 ( )
A.x1＝x2＝1B.x1＝0,x2＝1
C.x1＝x2＝－1D.x1＝1,x2＝－2
8.小刚用配方法解方程2x2－bx＋a＝0得x－32＝±152,则b的值为( )
A.－6B.－3
C.3D.6
9.设a,b是两个整数,若定义一种运算“△”,a△b=a2+b2+ab,则方程(x+2)△x=1的实数根是( )
A.x1=x2=1B.x1=0,x2=1
C.x1=x2=-1D.x1=1,x2=-2
10.已知P=m2-2m,Q=2m-4,则P,Q的大小关系为( )
A.P≥QB.P>Q
C.P≤QD.P11.不论a,b为何实数,a2+b2-2a-4b+7的值( )
A.总是正数
B.总是负数
C.可以是零
D.可以是正数也可以是负数
12.若一元二次方程x2-2x-3599=0的两根为a,b,且a>b,则2a-b的值为( )
A.-57B.63
C.179D.181
13.(中考·舟山)欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝eq \f(a,2)，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝eq \f(a,2).则该方程的一个正根是( )
A．AC的长 B．AD的长
C．BC的长 D．CD的长
二、填空题
14.填空:
(1)x2－12x＋ ＝(x－ )2;
(2)x2－px＋ ＝(x－ )2;
(3)x2－bax＋ ＝(x－ )2.
15.已知y1＝4x2－4x＋1,y2＝4x－2,则当x＝ 时,y1＝y2.
16.若将方程x2－8x＋1＝0配方成(x－p)2＋q＝0的形式,则直线y＝px＋q不经过第 象限.
17.用配方法解一元二次方程ax2＋bx－c＝0(a≠0,c>0)得到(x－c)2＝4c2,从而解得方程的一个根为1,则a－3b＝ .
18.将一元二次方程-x2+6x-5=0化成(x-m)2=n的形式,则-(m-n)2021= .
19.用配方法解一元二次方程ax2+bx-c=0(a≠0,c>0)得到(x-c)2=4c2,从而解得方程的一个根为1,则a-3b= .
三、解答题
20.用配方法解方程:x2＋4x－12＝0.
21.用配方法解方程:2x2+8x-5=0.
22.用配方法解方程:2x2－6x＋1＝0.
解:方程两边同时加上-622, ①
配方,得2(x－3)2＝8, ②
解得x1＝5,x2＝1. ③
请问上述步骤有错误吗?如果有,请指出,并改正.
23.用配方法解一元二次方程:
(1)4x2－8x＋1＝0;
(2)2x2－5x＋1＝0.
24.若x满足不等式组2x-1<3x＋3,x-5>2(x-2),求方程x2＋2x－3＝0的根.
25.用两根长度均为a的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形,设长方形的长为x.
(1)若长方形的长、宽之比为3∶2,求长方形的面积;
(2)求证:长方形的面积不大于正方形的面积.
26.阅读下面解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两种方法:
方法1:∵ax2＋bx＋c＝0(a≠0),
∴x2＋bax＋ca＝0,
配方,得x＋b2a2＝b2-4ac4a2,
当b2－4ac≥0时,x＋b2a＝±b2-4ac4a2,
∴x1＝-b＋b2-4ac2a,x2＝-b-b2-4ac2a.
方法2:∵ax2＋bx＋c＝0(a≠0),
∴4a2x2＋4abx＋4ac＝0,
配方,得(2ax＋b)2＝b2－4ac,
当b2－4ac≥0时,2ax＋b＝±b2-4ac,
2ax＝－b±b2-4ac,
∴x1＝-b＋b2-4ac2a,x2＝-b-b2-4ac2a.
请回答下面问题:
(1)你觉得两种方法有什么异同?
(2)请用题中的方法2解一元二次方程2x2－6x＋3＝0.
27．先阅读，后解题．
若m2＋2m＋n2－6n＋10＝0，求m和n的值．
解：由已知得m2＋2m＋1＋n2－6n＋9＝0，
即(m＋1)2＋(n－3)2＝0.
∵(m＋1)2≥0，(n－3)2≥0，
∴(m＋1)2＝0，(n－3)2＝0.
∴m＋1＝0，n－3＝0.
∴m＝－1，n＝3.
利用以上解法，解答下面的问题：
已知x2＋5y2－4xy＋2y＋1＝0，求x和y的值．
28.观察下列方程及其解的特征:
①x+1x=2的解为x1=x2=1;
②x+1x=52的解为x1=2,x2=12;
③x+1x=103的解为x1=3,x2=13;
……
解答下列问题:
(1)请猜想:方程x+1x=265的解为 ;
(2)请猜想:关于x的方程x+1x= 的解为x1=a,x2=1a(a≠0);
(3)下面以解方程x+1x=265为例,验证(1)中猜想结果的正确性.
解:原方程可化为5x2-26x=-5.
(下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程)
29.若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b＋|eq \r(c－1)－2|＝10a＋2eq \r(b－4)－22，试判断△ABC的形状．
参考答案
一、选择题
1.若x2－4x＋p＝(x＋q)2,那么p,q的值分别是(B)
A.p＝4,q＝2B.p＝4,q＝－2
C.p＝－4,q＝2D.p＝－4,q＝－2
2.把方程x2＋3＝6x配方得(C)
A.(x－3)2＝12B.(x＋3)2＝6
C.(x－3)2＝6D.(x＋3)2＝12
3.用配方法解一元二次方程x2－8x－5＝0,则方程变形为(C)
A.(x－8)2＝69B.(x＋8)2＝69
C.(x－4)2＝21D.(x＋4)2＝21
4.方程x2＋16x＋64＝0的根是(B)
A.x1＝x2＝8B.x1＝x2＝－8
C.x1＝－8,x2＝8D.无实根
5.用配方法解方程2x2－8x－1＝0,则方程可变形为(D)
A.(x－2)2＝12B.2(x－1)2＝12
C.(2x－1)2＝1D.(x－2)2＝92
6.把方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式,正确的结果为( C )
A.x-322=16B.2x-342=116
C.x-342=116D.以上都不对
7.设a,b是两个整数,若定义一种运算“△”,a△b＝a2＋b2＋ab,则方程(x＋2)△x＝1的实数根是(C)
A.x1＝x2＝1B.x1＝0,x2＝1
C.x1＝x2＝－1D.x1＝1,x2＝－2
8.小刚用配方法解方程2x2－bx＋a＝0得x－32＝±152,则b的值为(D)
A.－6B.－3
C.3D.6
9.设a,b是两个整数,若定义一种运算“△”,a△b=a2+b2+ab,则方程(x+2)△x=1的实数根是( C )
A.x1=x2=1B.x1=0,x2=1
C.x1=x2=-1D.x1=1,x2=-2
10.已知P=m2-2m,Q=2m-4,则P,Q的大小关系为( A )
A.P≥QB.P>Q
C.P≤QD.P11.不论a,b为何实数,a2+b2-2a-4b+7的值( A )
A.总是正数
B.总是负数
C.可以是零
D.可以是正数也可以是负数
12.若一元二次方程x2-2x-3599=0的两根为a,b,且a>b,则2a-b的值为( D )
A.-57B.63
C.179D.181
13.(中考·舟山)欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝eq \f(a,2)，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝eq \f(a,2).则该方程的一个正根是( )
A．AC的长 B．AD的长
C．BC的长 D．CD的长
【点拨】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
BC＝eq \f(a,2)，AC＝b，BD＝eq \f(a,2)，∴AB＝AD＋BD＝AD＋eq \f(a,2).
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(AD＋\f(a,2)))eq \s\up12(2)＝b2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))eq \s\up12(2).
∴AD2＋2AD·eq \f(a,2)＋eq \f(a2,4)＝b2＋eq \f(a2,4). ∴AD2＋a·AD＝b2.
∴方程x2＋ax＝b2的一个正根是AD的长．
【答案】B
二、填空题
14.填空:
(1)x2－12x＋ 36 ＝(x－ 6 )2;
(2)x2－px＋ p24 ＝(x－ p2 )2;
(3)x2－bax＋ b24a2 ＝(x－ b2a )2.
15.已知y1＝4x2－4x＋1,y2＝4x－2,则当x＝ 12或32 时,y1＝y2.
16.若将方程x2－8x＋1＝0配方成(x－p)2＋q＝0的形式,则直线y＝px＋q不经过第 二 象限.
17.用配方法解一元二次方程ax2＋bx－c＝0(a≠0,c>0)得到(x－c)2＝4c2,从而解得方程的一个根为1,则a－3b＝ 3 .
18.将一元二次方程-x2+6x-5=0化成(x-m)2=n的形式,则-(m-n)2021= 1 .
19.用配方法解一元二次方程ax2+bx-c=0(a≠0,c>0)得到(x-c)2=4c2,从而解得方程的一个根为1,则a-3b= 3 .
三、解答题
20.用配方法解方程:x2＋4x－12＝0.
解:配方,得(x＋2)2＝16,
解得x1＝2,x2＝－6.
21.用配方法解方程:2x2+8x-5=0.
解:移项,得2x2+8x=5,
二次项系数化为1,得x2+4x=52,
配方,得(x+2)2=132,
∴x+2=±262,
解得x1=-4+262,x2=-4-262.
22.用配方法解方程:2x2－6x＋1＝0.
解:方程两边同时加上-622, ①
配方,得2(x－3)2＝8, ②
解得x1＝5,x2＝1. ③
请问上述步骤有错误吗?如果有,请指出,并改正.
解:第①步开始出错,正确步骤如下:
方程两边同时除以2,得x2－3x＋12＝0,
配方,得x-322＝74,
解得x1＝3＋72,x2＝3-72.
23.用配方法解一元二次方程:
(1)4x2－8x＋1＝0;
解:x1＝2＋32,x2＝2-32.
(2)2x2－5x＋1＝0.
解:x1＝5＋174,x2＝5-174.
24.若x满足不等式组2x-1<3x＋3,x-5>2(x-2),求方程x2＋2x－3＝0的根.
解:解不等式2x－1<3x＋3,得x>－4,
解不等式x－5>2(x－2),得x<－1,
∴不等式组的解集为－4∵x2＋2x＝3,
∴x2＋2x＋1＝3＋1,即(x＋1)2＝4,
∴x1＝1,x2＝－3.又∵－425.用两根长度均为a的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形,设长方形的长为x.
(1)若长方形的长、宽之比为3∶2,求长方形的面积;
(2)求证:长方形的面积不大于正方形的面积.
解:(1)∵长方形的长为x,∴宽为12(a－2x),
由题意得x∶12(a－2x)＝3∶2,解得x＝310a,
∴12(a－2x)＝15a,
∴长方形的面积为310a×15a＝350a2.
(2)∵S长方形＝x·12(a－2x)＝－x2＋12ax,S正方形＝a216,
∴S正方形－S长方形＝a216－12ax-x2＝x-a42≥0,
∴长方形的面积不大于正方形的面积.
26.阅读下面解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两种方法:
方法1:∵ax2＋bx＋c＝0(a≠0),
∴x2＋bax＋ca＝0,
配方,得x＋b2a2＝b2-4ac4a2,
当b2－4ac≥0时,x＋b2a＝±b2-4ac4a2,
∴x1＝-b＋b2-4ac2a,x2＝-b-b2-4ac2a.
方法2:∵ax2＋bx＋c＝0(a≠0),
∴4a2x2＋4abx＋4ac＝0,
配方,得(2ax＋b)2＝b2－4ac,
当b2－4ac≥0时,2ax＋b＝±b2-4ac,
2ax＝－b±b2-4ac,
∴x1＝-b＋b2-4ac2a,x2＝-b-b2-4ac2a.
请回答下面问题:
(1)你觉得两种方法有什么异同?
(2)请用题中的方法2解一元二次方程2x2－6x＋3＝0.
解:(1)两种方法都是用配方法求解,第一种方法是方程两边同除以二次项系数a,再配方;第二种方法方程两边同乘以4a,将二次项变成完全平方数,再配方.(言之有理即可)
(2)方程两边同乘以2,得4x2－12x＋6＝0,
配方,得(2x－3)2＝－6＋9,
∴2x－3＝±3,∴x1＝3＋32,x2＝3-32.
27．先阅读，后解题．
若m2＋2m＋n2－6n＋10＝0，求m和n的值．
解：由已知得m2＋2m＋1＋n2－6n＋9＝0，
即(m＋1)2＋(n－3)2＝0.
∵(m＋1)2≥0，(n－3)2≥0，
∴(m＋1)2＝0，(n－3)2＝0.
∴m＋1＝0，n－3＝0.
∴m＝－1，n＝3.
利用以上解法，解答下面的问题：
已知x2＋5y2－4xy＋2y＋1＝0，求x和y的值．
解：∵x2＋5y2－4xy＋2y＋1＝0，
∴x2－4xy＋4y2＋y2＋2y＋1＝0.
∴(x－2y)2＋(y＋1)2＝0.
∴x－2y＝0，y＋1＝0.
解得x＝－2，y＝－1.
28.观察下列方程及其解的特征:
①x+1x=2的解为x1=x2=1;
②x+1x=52的解为x1=2,x2=12;
③x+1x=103的解为x1=3,x2=13;
……
解答下列问题:
(1)请猜想:方程x+1x=265的解为 x1=5,x2=15 ;
(2)请猜想:关于x的方程x+1x= a2+1a或a+1a 的解为x1=a,x2=1a(a≠0);
(3)下面以解方程x+1x=265为例,验证(1)中猜想结果的正确性.
解:原方程可化为5x2-26x=-5.
(下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程)
解:(3)方程二次项系数化为1,得x2-265x=-1.
配方,得x2-265x+1352=-1+1352,即x-1352=14425,
开方,得x-135=±125,
解得x1=5,x2=15.
经检验,x1=5,x2=15都是原方程的解.
29.若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b＋|eq \r(c－1)－2|＝10a＋2eq \r(b－4)－22，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】先把等号右边的各项都移到等号左边，利用配方法写成几个非负数的和为零的形式，然后建立方程求字母的值来判断三角形的形状．
解：原等式可变形为(a2－10a＋25)＋(b－4－2eq \r(b－4)＋1)＋|eq \r(c－1)－2|＝0.
∴(a－5)2＋(eq \r(b－4)－1)2＋|eq \r(c－1)－2|＝0.
∴a－5＝0，eq \r(b－4)－1＝0，eq \r(c－1)－2＝0.
∴a＝5，b＝5，c＝5.
∴a＝b＝c.
∴△ABC是等边三角形．