初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数同步测试题

22.3　实际问题与二次函数

第1课时　几何图形的面积问题

一、选择题

1.如图,小明想用长为12米的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是              (  )

A.16米2  B.18米2  C.20米2  D.24米2

2.已知一个直角三角形的两直角边之和为20 cm2,则这个直角三角形的最大面积为 (  )

A.25 cm2  B.50 cm2

C.100 cm2 D.不确定

3.如图,在△ABC中,∠C＝90°,AB＝10 cm,BC＝8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止).在运动过程中,△PCQ面积的最小值为              (  )

A.24 cm2  B.15 cm2  C.9 cm2  D.8 cm2

4.如图,菱形ABCD的边长为8,∠BAD＝60°,E是AD上一动点(不与点A,D重合),F是CD上一动点,且AE＋CF＝8,则△DEF面积的最大值为(  )

A.2 B.4

C.8  D.8

5.一种包装盒的设计方法如图所示,ABCD是边长为80 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的4个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四点重合于图中的点O,形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设BE＝CF＝x cm,要使包装盒的侧面积最大,则x应取              (  )

A.30 B.25 C.20 D.15

二、填空题

6.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为　  　米2. 

7.在综合实践活动中,同学们借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用24 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD,则矩形花园ABCD的最大面积为　 　m2. 

8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒.若该纸盒侧面积的最大值是 cm2,则a的值为     cm.

9.如图,B船位于A船正东25 km处,现在A,B两船同时出发,A船以6 km/h的速度朝正北方向行驶,B船以8 km/h的速度朝正西方向行驶,则两船相距最近是　  　km. 

三、解答题

10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题:

(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8 cm2?

(2)设运动开始后第t s时,五边形PQCDA的面积为S cm2,写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.

(3)在(2)的条件下,当t为何值时S最小?求出S的最小值.

11.(2020·日照)如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100 m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计)．

(1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；

(2)在(1)的条件下，设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

12.手工课上,小明准备做一个菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm,菱形的面积S(单位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化.

(1)请直接写出S与x之间的函数关系式.

(2)当x为多少时,菱形风筝的面积S最大?最大面积是多少?

(3)请说明(2)中的函数S随x的变化情况.

13.某社区决定把一块长50 m、宽30 m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14 m,不大于26 m,设绿化区较长边为x m,活动区的面积为y m2.

(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;

(2)求活动区的最大面积.

14.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝10,F是AB的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且始终保持DF⊥EF,求△CDE面积的最大值.

15.工人师傅用一块长为10 dm、宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个小正方形.(厚度不计)

(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕,并求长方体底面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长为多少?

(2)要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理(内、外两面都要处理).若侧面每平方分米的费用为0.25元,底面每平方分米的费用为2元,则裁掉的正方形边长为多少时,防锈处理的总费用最低?最低总费用为多少?

16.如图,某住宅小区有一块矩形场地ABCD,AB＝16 m,BC＝12 m,开发商准备对这块地进行绿化,分别设计了①②③④⑤五块地,其中①③为两块形状大小相同的正方形地用来种花,②④为两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪,⑤为矩形地用来养殖观赏鱼.

(1)设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为y m2,AG长为x m,求y与x之间的函数关系式;

(2)求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值.

参考答案

一、选择题

1.如图,小明想用长为12米的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是              (B)

A.16米2  B.18米2  C.20米2  D.24米2

2.已知一个直角三角形的两直角边之和为20 cm2,则这个直角三角形的最大面积为 (B)

A.25 cm2  B.50 cm2

C.100 cm2 D.不确定

3.如图,在△ABC中,∠C＝90°,AB＝10 cm,BC＝8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止).在运动过程中,△PCQ面积的最小值为              (C)

A.24 cm2  B.15 cm2

C.9 cm2  D.8 cm2

4.如图,菱形ABCD的边长为8,∠BAD＝60°,E是AD上一动点(不与点A,D重合),F是CD上一动点,且AE＋CF＝8,则△DEF面积的最大值为(B)

A.2 B.4

C.8  D.8

5.一种包装盒的设计方法如图所示,ABCD是边长为80 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的4个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四点重合于图中的点O,形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设BE＝CF＝x cm,要使包装盒的侧面积最大,则x应取              (C)

A.30 B.25 C.20 D.15

二、填空题

6.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为　4　米2. 

7.在综合实践活动中,同学们借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用24 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD,则矩形花园ABCD的最大面积为　144　m2. 

8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒.若该纸盒侧面积的最大值是 cm2,则a的值为　3　cm. 

9.如图,B船位于A船正东25 km处,现在A,B两船同时出发,A船以6 km/h的速度朝正北方向行驶,B船以8 km/h的速度朝正西方向行驶,则两船相距最近是　15　km. 

三、解答题

10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题:

(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8 cm2?

(2)设运动开始后第t s时,五边形PQCDA的面积为S cm2,写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.

(3)在(2)的条件下,当t为何值时S最小?求出S的最小值.

解:(1)设运动开始后第x s时,△PBQ的面积等于8 cm2,

∴AP=x,QB=2x,∴PB=6-x,

∴×(6-x)×2x=8,解得x1=2,x2=4,

∴运动开始后第2 s或第4 s时,△PBQ的面积等于8 cm2.

(2)第t s时,AP=t cm,PB=(6-t) cm,BQ=2t cm,

∴S△PBQ=·(6-t)·2t=-t2+6t.

∵S矩形ABCD=6×12=72,

∴S=72-S△PBQ=t2-6t+72(0≤t≤6).

(3)∵S=t2-6t+72=(t-3)2+63,

∴当t=3 s时,S有最小值63 cm2.

11.(2020·日照)如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100 m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计)．

(1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；

证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF的面积相等，∴ME＝BE.

∵四块矩形花圃的面积相等，

∴S矩形AMND＝2S矩形MEFN，

∴AM＝2ME. ∴AE＝3BE.

(2)在(1)的条件下，设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

解：∵篱笆总长为100 m，∴2AB＋GH＋3BC＝100，

即2AB＋AB＋3BC＝100. ∴AB＝40－BC.

∵BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，

∴y＝BC·AB＝x＝－x2＋40x，

∵AB＝40－BC，∴BE＝10－x>0，解得x<.

∴y＝－x2＋40x.

12.手工课上,小明准备做一个菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm,菱形的面积S(单位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化.

(1)请直接写出S与x之间的函数关系式.

(2)当x为多少时,菱形风筝的面积S最大?最大面积是多少?

(3)请说明(2)中的函数S随x的变化情况.

解:(1)S＝x2＋30x.

(2)由(1)得S＝－(x－30)2＋450,故当x为30 cm时,菱形风筝的面积S最大,最大面积是450 cm2.

(3)当0<x<30时,S随x的增大而增大;当30<x<60时,S随x的增大而减小.

13.某社区决定把一块长50 m、宽30 m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14 m,不大于26 m,设绿化区较长边为x m,活动区的面积为y m2.

(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;

(2)求活动区的最大面积.

解:(1)根据题意,绿化区的宽为[30－(50－2x)]＝x－10,

∴y＝50×30－4x(x－10)＝－4x2＋40x＋1500.

由题知14≤50－2x≤26,解得12≤x≤18,

∴y＝－4x2＋40x＋1500(12≤x≤18).

(2)由(1)知y＝－4x2＋40x＋1500＝－4(x－5)2＋1600.

∵a＝－4<0,抛物线的开口向下,当12≤x≤18时,y随x的增大而减小,

∴当x＝12时,y最大＝1404.

答:活动区的最大面积为1404 m2.

14.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝10,F是AB的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且始终保持DF⊥EF,求△CDE面积的最大值.

解:连接CF.

在等腰Rt△ABC中,∵∠C＝90°,AB＝10,F是AB的中点,

∴CF＝AF,∠A＝∠FCE,AC＝BC＝5.

易得∠AFD＝∠CFE,∴△ADF≌△CEF(ASA).

设AD＝x(0<x<5),△CDE的面积为y,

∴CE＝x,CD＝5－x,

∴y＝,

∴△CDE面积的最大值为.

15.工人师傅用一块长为10 dm、宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个小正方形.(厚度不计)

(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕,并求长方体底面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长为多少?

(2)要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理(内、外两面都要处理).若侧面每平方分米的费用为0.25元,底面每平方分米的费用为2元,则裁掉的正方形边长为多少时,防锈处理的总费用最低?最低总费用为多少?

解:(1)如图所示,设裁掉的正方形的边长为x dm,

由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,

即x2-8x+12=0,

解得x=2或x=6(舍去),

答:裁掉的正方形的边长为2 dm.

(2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x≤5(6-2x),解得0<x≤2.5.

设总费用为w元,由题意可知w=0.25×4x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24,

因为对称轴为x=6,开口向上,所以当0<x≤2.5时,w随x的增大而减小,所以当x=2.5时,w有最小值,最小值为25元,

答:当裁掉边长为2.5 dm的正方形时,防锈处理的总费用最低,最低总费用为25元.

16.如图,某住宅小区有一块矩形场地ABCD,AB＝16 m,BC＝12 m,开发商准备对这块地进行绿化,分别设计了①②③④⑤五块地,其中①③为两块形状大小相同的正方形地用来种花,②④为两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪,⑤为矩形地用来养殖观赏鱼.

(1)设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为y m2,AG长为x m,求y与x之间的函数关系式;

(2)求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值.

解:(1)在矩形ABCD中,CD＝AB＝16,AD＝BC＝12,

∵正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同,矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同,AG＝x,

∴LE＝DG＝12－x,FL＝EF－LE＝x－(12－x)＝2x－12,

LK＝BE＝16－x,LJ＝LK－JK＝(16－x)－x＝16－2x.

∵S矩形LJHF＝FL·LJ,

∴y＝(2x－12)(16－2x)＝－4x2＋56x－192.

(2)由(1)得y＝－4x2＋56x－192＝－4(x－7)2＋4.

∵FL＝2x－12>0,LJ＝16－2x>0,∴6<x<8.

∵a＝－4<0,∴当x＝7时,y有最大值,最大值为4.

答:矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4 m2.