初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试课堂检测

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试课堂检测，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第22章　二次函数
章末复习
知识网络
二次函数描述的关系实际问题二次函数的概念二次函数y＝ax2的平移:向上下向左右平移,可以得到抛物线y＝ax-h2＋k二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及性质开口方向:a>0,开口向上;a<0,开口向下对称轴:　 　顶点坐标: 　 　增减性a>0x>-b2a时,y随x的增大而增大x<-b2a时,y随x的增大而　 　a<0x>-b2a时,y随x的增大而减小x<-b2a时,y随x的增大而增大求二次函数的解析式:待定系数法二次函数与一元二次方程二者关系利用图象解方程二次函数与实际问题最大面积问题最大利润问题其他问题
中考演练
一、选择题
1.[河南中考]已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2,n)和(4,n)两点,则n的值为( )
A.－2 B.－4
C.2 D.4
2.[温州中考]已知(－3,y1),(－2,y2),(1,y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点,则 ( )
A.y3 C.y2 3.[泸州中考]已知二次函数y＝x2－2bx＋2b2－4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1－b,m),B(2b＋c,m),且该二次函数的图象与x轴有公共点,则b＋c的值为 ( )
A.－1 B.2
C.3 D.4
4.[达州中考]如图,直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2＋bx＋c交于A,B两点,则y＝ax2＋(b－k)x＋c的图象可能是 ( )

5.(葫芦岛中考)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=ax+b的图象大致是(　　)

6.(2021 深圳中考)二次函数y=ax2+bx+1和一次函数y=2ax+b的图象大致是(　　)

7.(西藏中考)把函数y=-12x2的图象,经过怎样的平移变换以后,可以得到函数y=-12(x-1)2+1的图象(　　)
A.向左平移1个单位,再向下平移1个单位
B.向左平移1个单位,再向上平移1个单位
C.向右平移1个单位,再向上平移1个单位
D.向右平移1个单位,再向下平移1个单位
8.(山西中考)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥、拉索与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数解析式为(　　)

A.y=26675x2 B.y=-26675x2 C.y=131350x2 D.y=-131350x2
9.[安徽中考]如图,△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形,它们的边BC,EF在同一条直线l上,点C,E重合.现将△ABC沿着直线l向右移动,直至点B与F重合时停止移动.在此过程中,设点C移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数图象大致为 ( )



10.(中考·舟山)二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为(　　)
A. B．2 C. D.
二、填空题
11.[牡丹江中考]将抛物线y＝ax2＋bx－1向上平移3个单位长度后,经过点(－2,5),则8a－4b－11的值是　 　. 
12.[西藏中考]当－1≤x≤3时,二次函数y＝x2－4x＋5有最大值m,则m＝　　. 
13.[武汉中考]抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是　 　. 
14.(徐州中考)已知二次函数的图象经过点P(2,2),顶点为O(0,0).将该图象向右平移,当它再次经过点P时,所得抛物线的函数解析式为　 　. 
15.(武汉中考)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t－32t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是　 　m. 
16.(雅安中考)已知函数y=-x2+2x　(x>0),-x　(x≤0)的图象如图所示,若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为　 　. 

17.(镇江中考)已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)经过A(m,3),B(n,3)两点.若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是　 . 
18.(贵港中考)我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2-4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象(如图所示),并写出下列五个结论:①图象与坐标轴的交点为(-1,0),(3,0)和(0,3);②图象具有对称性,对称轴是直线x=1;③当-1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大;④当x=-1或x=3时,函数的最小值是0;⑤当x=1时,函数的最大值是4.其中正确结论的个数是　 　. 

三、解答题
19.(南通中考)已知二次函数y=x2-4x+3a+2(a为常数).
(1)请写出该二次函数的三条性质;
(2)在同一平面直角坐标系中,若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点,求a的取值范围.







20.[攀枝花中考]如图,开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),P是第一象限内抛物线上的一点.
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)设四边形CABP的面积为S,求S的最大值.






21.(盘锦中考)2018年非洲猪瘟疫情暴发后,专家预测,2019年我市猪肉售价将逐月上涨,每千克猪肉的售价y1(元)与月份x(1≤x≤12,且x为整数)之间满足一次函数关系,如下表所示.每千克猪肉的成本y2(元)与月份x(1≤x≤12,且x为整数)之间满足二次函数关系,且3月份每千克猪肉的成本全年最低,为9元,如图所示.
月份x
…
3
4
5
6
…
售价y1/元
…
12
14
16
18
…
(1)求y1与x之间的函数关系式.
(2)求y2与x之间的函数关系式.
(3)设销售每千克猪肉所获得的利润为w(元),求w与x之间的函数关系式,哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大?最大利润是多少元?





22.(遵义中考)如图,抛物线C1:y=x2-2x与抛物线C2:y=ax2+bx的开口大小相同、方向相反,它们相交于O,C两点,且分别与x轴的正半轴交于点B,点A,OA=2OB.
(1)求抛物线C2的解析式.
(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点,连接MO,MC,M运动到什么位置时,△MOC的面积最大?并求出最大面积.





23.[安徽中考]在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y＝x＋m经过点A,抛物线y＝ax2＋bx＋1恰好经过A,B,C三点中的两点.
(1)判断点B是否在直线y＝x＋m上,并说明理由;
(2)求a,b的值;
(3)平移抛物线y＝ax2＋bx＋1,使其顶点仍在直线y＝x＋m上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值.







24.[鄂州中考]一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件3元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系,下表记录的是某三周的有关数据:
x/(元·件－1)
4
5
6
y/件
10000
9500
9000
(1)求y与x的函数关系式.(不求自变量的取值范围)
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价,且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件,求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元?
(3)抗疫期间,该商场这种商品售价不大于15元/件时,每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6),捐赠后发现,该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范围.
达标练习
一、选择题
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示,那么一次函数y＝cx＋b的图象大致是 ( )


2.一个二次函数,当x＝0时,y＝－5;当x＝－1时,y＝－4;当x＝－2时,y＝5,则这个二次函数的解析式是 ( )
A.y＝4x2＋3x－5 B.y＝2x2＋x＋5
C.y＝2x2－x＋5 D.y＝2x2＋x－5
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0,a,b,c为常数)的图象如图所示,则方程ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是 ( )

A.m≥－4 B.m≥0
C.m≥5 D.m≥6
4.如图,抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴的正半轴交于点C,下列结论:①abc>0;②4a－2b＋c>0;③2a－b>0,其中正确的结论有 ( )

A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
5.某汽车刹车后行驶的距离s(米)关于行驶的时间t(秒)的函数解析式为s＝－6t2＋bt(b为常数).已知当t＝12时,s＝6,则该汽车刹车后行驶的最大距离为 ( )
A.152 米 B.8米 C.758 米 D.10米
6.对某城市最近十几个月商品房价格涨幅情况进行调查,分析发现,与去年同期相比,房价涨幅y(%)与第x个月近似于二次函数y＝－14x2＋3x＋7.如图所示,结合所学的知识,判断下列结论正确的有 ( )

①房价从第1个月到第5个月持续增长;
②第6个月涨幅达到最大值;
③房价涨幅最大值为34%;
④房价与去年同期持平时间在第14个月.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
7.(2020·凉山州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；②2a＋b＝0；
③3b－2c＜0；④am2＋bm≥a＋b(m为实数)．
其中正确结论的个数是(　　)

A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8.(2021·天津中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（－1，－1），（0,1），当x=－2时，与其对应的函数值y＞1，有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2＋bx＋c－3=0有两个不等的实数根；
③a＋b＋c＞7．
其中正确结论的个数是(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
9.(2019·岳阳)对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2＋2x＋c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是(　　)
A．c＜－3 B．c＜－2
C．c＜ D．c＜1
二、填空题
10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系:
x
－1
3
4
y
10
10
202
那么(4a－2b＋c)(a－b＋c)+1的值为　 　. 
11.如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,且点A,B32,m,C(3,n)均在抛物线y=(x-1)2+1上,点D在抛物线的对称轴上,CD∥x轴.若点P为抛物线上A,B两点间任意一点(包括点A,B),则△PCD的面积S的取值范围是　 　. 

12.如图,在平面直角坐标系中,正比例函数y＝kx的图象与二次函数y＝－12x2－x＋4的图象交于点P(点P在第二象限),经过点P且与x轴垂直的直线l与一次函数y＝x＋4的图象交于点Q,当PQ＝32时,则k的值为　 　. 

三、解答题
13.已知二次函数经过点(0,3),且当x＝1时,函数y有最大值4.
(1)求二次函数解析式;
(2)直接写出一个与该函数图象开口方向相反、大小相同、且经过点(0,3)的二次函数解析式.






14.已知一个二次函数,当x＝8时,函数有最大值9,且图象过点(0,1).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设A(6,y1),B(8,y2),C(10,y3)是抛物线上的三点,直接写出y1,y2,y3的大小关系.







15.已知二次函数y＝(x－m)2－1(m为常数).
(1)求证:无论m为何值,该函数图象与x轴总有两个公共点;
(2)当1≤x≤3时,y的最小值为3,求m的值.






16.中华民族的科学文化历史悠久、灿烂辉煌,我们的祖先几千年前就能在生产实践中运用数学.一千三百多年前,我国隋代建筑赵州桥是世界著名的古代石拱桥,也是造成后一直使用至今的最古老的石桥.如图,赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的解析式为y＝－125x2.当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,求水面宽度AB的值.









17.某商店购进一批成本为每件30元的商品,商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售.经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式.
(2)销售单价定为多少元时,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元,请直接写出每天的销售量y(件)的取值范围.




18.(2020·甘肃)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若PC∥AB，求点P的坐标；
(3)连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．











19.(2020·武汉)将抛物线C：y＝(x－2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2.
(1)直接写出抛物线C1，C2的解析式．
(2)如图①，点A在抛物线C1(对称轴l右侧)上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标．
(3)如图②，直线y＝kx(k≠0，k为常数)与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y＝－x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．







参考答案
知识网络
二次函数描述的关系实际问题二次函数的概念二次函数y＝ax2的平移:向上下向左右平移,可以得到抛物线y＝ax-h2＋k二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及性质开口方向:a>0,开口向上;a<0,开口向下对称轴:　x＝-b2a　顶点坐标:-b2a,4ac-b24a增减性a>0x>-b2a时,y随x的增大而增大x<-b2a时,y随x的增大而　减小　a<0x>-b2a时,y随x的增大而减小x<-b2a时,y随x的增大而增大求二次函数的解析式:待定系数法二次函数与一元二次方程二者关系利用图象解方程二次函数与实际问题最大面积问题最大利润问题其他问题
中考演练
一、选择题
1.[河南中考]已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2,n)和(4,n)两点,则n的值为(B)
A.－2 B.－4
C.2 D.4
2.[温州中考]已知(－3,y1),(－2,y2),(1,y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点,则 (B)
A.y3 C.y2 3.[泸州中考]已知二次函数y＝x2－2bx＋2b2－4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1－b,m),B(2b＋c,m),且该二次函数的图象与x轴有公共点,则b＋c的值为 (C)
A.－1 B.2
C.3 D.4
4.[达州中考]如图,直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2＋bx＋c交于A,B两点,则y＝ax2＋(b－k)x＋c的图象可能是 (B)

5.(葫芦岛中考)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=ax+b的图象大致是(　D　)

6.(2021 深圳中考)二次函数y=ax2+bx+1和一次函数y=2ax+b的图象大致是(　A　)

7.(西藏中考)把函数y=-12x2的图象,经过怎样的平移变换以后,可以得到函数y=-12(x-1)2+1的图象(　C　)
A.向左平移1个单位,再向下平移1个单位
B.向左平移1个单位,再向上平移1个单位
C.向右平移1个单位,再向上平移1个单位
D.向右平移1个单位,再向下平移1个单位
8.(山西中考)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥、拉索与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数解析式为(　B　)

A.y=26675x2 B.y=-26675x2
C.y=131350x2 D.y=-131350x2
9.[安徽中考]如图,△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形,它们的边BC,EF在同一条直线l上,点C,E重合.现将△ABC沿着直线l向右移动,直至点B与F重合时停止移动.在此过程中,设点C移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数图象大致为 (A)



10.(中考·舟山)二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为(　D　)
A. B．2 C. D.
【点拨】根据题意“m≤x≤n，且mn＜0”得m＜0，n＞0，画出二次函数y＝－(x－1)2＋5的图象，如图，应分以下几种情况讨论：

如图①，当0＜n＜1时，即在对称轴左侧，x＝n时，y有最大值2n，2n＝－(n－1)2＋5，解得n1＝－2，n2＝2，均不在取值范围内，不合题意．
当n＝1时，y的最大值2n＝5，n＝，
显然矛盾， 也不符合题意．
当n＞1时，显然最大值2n＝5，n＝，最小值有两种情况：
如图②，若x＝m时，y有最小值2m，即2m＝－(m－1)2＋5，解得m1＝－2，m2＝2(不合题意，舍去)，此时m＋n＝－2＋＝；
如图③，若x＝n时，y有最小值2m，即2m＝－(n－1)2＋5，把n＝代入，解得m＝，不符合题意，舍去．
综上可知，m＋n的值为.
二、填空题
11.[牡丹江中考]将抛物线y＝ax2＋bx－1向上平移3个单位长度后,经过点(－2,5),则8a－4b－11的值是　－5　. 
12.[西藏中考]当－1≤x≤3时,二次函数y＝x2－4x＋5有最大值m,则m＝　10　. 
13.[武汉中考]抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是　x1＝－2,x2＝5　. 
14.(徐州中考)已知二次函数的图象经过点P(2,2),顶点为O(0,0).将该图象向右平移,当它再次经过点P时,所得抛物线的函数解析式为　y=12(x-4)2　. 
15.(武汉中考)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t－32t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是　24　m. 
提示:∵y=60t-32t2=-32(t-20)2+600,∴飞机着陆后滑行20 s时停下来,滑行距离为600 m.当t=20-4=16时,y=576,600-576=24,即最后4 s滑行的距离是24 m.
16.(雅安中考)已知函数y=-x2+2x　(x>0),-x　(x≤0)的图象如图所示,若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为　0
17.(镇江中考)已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)经过A(m,3),B(n,3)两点.若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是 74　. 
18.(贵港中考)我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2-4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象(如图所示),并写出下列五个结论:①图象与坐标轴的交点为(-1,0),(3,0)和(0,3);②图象具有对称性,对称轴是直线x=1;③当-1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x值的增大而增大;④当x=-1或x=3时,函数的最小值是0;⑤当x=1时,函数的最大值是4.其中正确结论的个数是　4　. 

三、解答题
19.(南通中考)已知二次函数y=x2-4x+3a+2(a为常数).
(1)请写出该二次函数的三条性质;
(2)在同一平面直角坐标系中,若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点,求a的取值范围.
解:(1)∵二次函数y=x2-4x+3a+2=(x-2)2+3a-2,
∴该二次函数的性质有:①开口向上,②有最小值3a-2,③对称轴为直线x=2.(答案不唯一,合理即可)
(2)∵该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点,∴x2-4x+3a+2=2x-1,整理为x2-6x+3a+3=0,∴Δ=36-4(3a+3)>0,解得a<2.
把x=4代入y=2x-1,解得y=7,
把(4,7)代入y=x2-4x+3a+2,得7=16-16+3a+2,解得a=53,故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点,a的取值为53≤a<2.
20.[攀枝花中考]如图,开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),P是第一象限内抛物线上的一点.
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)设四边形CABP的面积为S,求S的最大值.

解:(1)设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－2),
将点C(0,4)代入,得4＝－2a,解得a＝－2,
∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝－2(x＋1)(x－2)＝－2x2＋2x＋4.
(2)连接OP,设点P的坐标为(m,－2m2＋2m＋4),m>0,
由题意得OA＝1,OC＝4,OB＝2,
∴S＝S△OAC＋S△OCP＋S△OPB＝12×1×4＋12×4m＋12×2×(－2m2＋2m＋4)＝－2m2＋4m＋6＝－2(m－1)2＋8,
∴当m＝1时,S取得最大值,最大值为8.
21.(盘锦中考)2018年非洲猪瘟疫情暴发后,专家预测,2019年我市猪肉售价将逐月上涨,每千克猪肉的售价y1(元)与月份x(1≤x≤12,且x为整数)之间满足一次函数关系,如下表所示.每千克猪肉的成本y2(元)与月份x(1≤x≤12,且x为整数)之间满足二次函数关系,且3月份每千克猪肉的成本全年最低,为9元,如图所示.
月份x
…
3
4
5
6
…
售价y1/元
…
12
14
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(1)求y1与x之间的函数关系式.
(2)求y2与x之间的函数关系式.
(3)设销售每千克猪肉所获得的利润为w(元),求w与x之间的函数关系式,哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大?最大利润是多少元?

解:(1)设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b,
将(3,12),(4,14)代入,得3k+b=12,4k+b=14,解得k=2,b=6,
∴y1与x之间的函数关系式为y1=2x+6.
(2)由题意,得抛物线的顶点坐标为(3,9),
∴设y2与x之间的函数关系式为y2=a(x-3)2+9,
将(5,10)代入,得a(5-3)2+9=10,解得a=14,
∴y2与x之间的函数关系式为y2=14(x-3)2+9.
(3)由题意,得w=y1-y2=-14x2+72x-214.
∵-14<0,∴w有最大值,∴当x=-b2a=-722×(-14)=7时,w最大=-14×72+72×7-214=7,
∴7月份销售每千克猪肉所获得的利润最大,最大利润是每千克7元.
22.(遵义中考)如图,抛物线C1:y=x2-2x与抛物线C2:y=ax2+bx的开口大小相同、方向相反,它们相交于O,C两点,且分别与x轴的正半轴交于点B,点A,OA=2OB.
(1)求抛物线C2的解析式.
(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点,连接MO,MC,M运动到什么位置时,△MOC的面积最大?并求出最大面积.

解:(1)令y=x2-2x=0,得x=0或2,即点B(2,0).
∵C1:y=x2-2x与C2:y=ax2+bx的开口大小相同、方向相反,∴a=-1.∵OA=2OB,∴点A(4,0).
将点A的坐标代入C2的解析式,得0=-16+4b,解得b=4,
∴抛物线C2的解析式为y=-x2+4x.
(2)联立C1,C2的解析式,解得x=0或3,
∴点C(3,3).
作点C关于C2对称轴的对称点C'(1,3),连接AC'交函数C2的对称轴于点P,
此时PA+PC的值最小,AC'=32,此时点P(2,2).
综上,存在点P,点P的坐标为(2,2).
(3)直线OC的解析式为y=x,过点M作y轴的平行线交OC于点H,设点M(x,-x2+4x),∴点H(x,x),
∴S△MOC=12MH·xC=32(-x2+4x-x)=-32x2+92x=-32x-322+278.
∵-32<0,∴当x=32,即当点M32,154时,S△MOC最大,最大值为278.
23.[安徽中考]在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y＝x＋m经过点A,抛物线y＝ax2＋bx＋1恰好经过A,B,C三点中的两点.
(1)判断点B是否在直线y＝x＋m上,并说明理由;
(2)求a,b的值;
(3)平移抛物线y＝ax2＋bx＋1,使其顶点仍在直线y＝x＋m上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值.
解:(1)点B在直线y＝x＋m上.
理由:∵直线y＝x＋m经过点A(1,2),
∴2＝1＋m,解得m＝1,∴直线为y＝x＋1.
把x＝2代入y＝x＋1得y＝3,
∴点B(2,3)在直线y＝x＋m上.
(2)∵直线y＝x＋1与抛物线y＝ax2＋bx＋1都经过点(0,1),点(0,1),A(1,2),B(2,3)都在直线y＝x＋1上,且B,C两点的横坐标相同,
∴抛物线只能经过A,C两点,
把点A(1,2),C(2,1)代入y＝ax2＋bx＋1,
得a＋b＋1＝2,4a＋2b＋1＝1,解得a＝－1,b＝2.
(3)由(2)知抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋1,
设平移后的抛物线的解析式为y＝－(x－h)2＋k,其顶点坐标为(h,k).
∵顶点仍在直线y＝x＋1上,∴k＝h＋1,
令x＝0,得平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为－h2＋h＋1.
∵－h2＋h＋1＝－h-122＋54,
∴当h＝12时,平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标取得最大值,最大值为54.
24.[鄂州中考]一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件3元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系,下表记录的是某三周的有关数据:
x/(元·件－1)
4
5
6
y/件
10000
9500
9000
(1)求y与x的函数关系式.(不求自变量的取值范围)
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价,且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件,求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元?
(3)抗疫期间,该商场这种商品售价不大于15元/件时,每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6),捐赠后发现,该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范围.
解:(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).
把x＝4,y＝10000和x＝5,y＝9500代入,
得4k＋b＝10000,5k＋b＝9500,解得k＝-500,b＝12000,
∴y＝－500x＋12000.
(2)根据题意,得x≥3,x≤15,-500x＋12000≥6000,
解得3≤x≤12.
设利润为w元,则w＝(x－3)y＝(x－3)(－500x＋12000)＝－500x2＋13500x－36000＝－500(x－13.5)2＋55125,
∵－500<0,∴当x<13.5时,w随x的增大而增大.
∵3≤x≤12,且x为正整数,
∴当x＝12时,w取得最大值,最大值为54000,
∴这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元,售价为12元.
(3)3≤m≤6.提示:根据题意,得w＝(x－3－m)(－500x＋12000)＝－500x2＋(13500＋500m)x－36000－12000m,
∴对称轴为x＝－13500＋500m-1000＝13.5＋0.5m.
∵－500<0,∴当x≤13.5＋0.5m时,w随x的增大而增大.
∵该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大,
∴13.5＋0.5m≥15,解得m≥3.
∵1≤m≤6,∴3≤m≤6.
达标练习
一、选择题
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示,那么一次函数y＝cx＋b的图象大致是 (B)


2.一个二次函数,当x＝0时,y＝－5;当x＝－1时,y＝－4;当x＝－2时,y＝5,则这个二次函数的解析式是 (A)
A.y＝4x2＋3x－5 B.y＝2x2＋x＋5
C.y＝2x2－x＋5 D.y＝2x2＋x－5
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0,a,b,c为常数)的图象如图所示,则方程ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是 (A)

A.m≥－4 B.m≥0
C.m≥5 D.m≥6
4.如图,抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴的正半轴交于点C,下列结论:①abc>0;②4a－2b＋c>0;③2a－b>0,其中正确的结论有 (C)

A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
5.某汽车刹车后行驶的距离s(米)关于行驶的时间t(秒)的函数解析式为s＝－6t2＋bt(b为常数).已知当t＝12时,s＝6,则该汽车刹车后行驶的最大距离为 (C)
A.152 米 B.8米
C.758 米 D.10米
6.对某城市最近十几个月商品房价格涨幅情况进行调查,分析发现,与去年同期相比,房价涨幅y(%)与第x个月近似于二次函数y＝－14x2＋3x＋7.如图所示,结合所学的知识,判断下列结论正确的有 (C)

①房价从第1个月到第5个月持续增长;
②第6个月涨幅达到最大值;
③房价涨幅最大值为34%;
④房价与去年同期持平时间在第14个月.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
7.(2020·凉山州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；②2a＋b＝0；
③3b－2c＜0；④am2＋bm≥a＋b(m为实数)．
其中正确结论的个数是(　D　)

A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8.(2021·天津中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（－1，－1），（0,1），当x=－2时，与其对应的函数值y＞1，有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2＋bx＋c－3=0有两个不等的实数根；
③a＋b＋c＞7．
其中正确结论的个数是(　D　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
9.(2019·岳阳)对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2＋2x＋c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是(　B　)
A．c＜－3 B．c＜－2
C．c＜ D．c＜1
【点拨】由题意知，二次函数y＝x2＋2x＋c的两个相异不动点x1，x2是方程x2＋2x＋c＝x的两个实数根，且x1＜1＜x2.
整理，得x2＋x＋c＝0，则
解得c＜－2.
二、填空题
10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系:
x
－1
3
4
y
10
10
202
那么(4a－2b＋c)(a－b＋c)+1的值为　2021　. 
11.如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,且点A,B32,m,C(3,n)均在抛物线y=(x-1)2+1上,点D在抛物线的对称轴上,CD∥x轴.若点P为抛物线上A,B两点间任意一点(包括点A,B),则△PCD的面积S的取值范围是　3≤S≤4　. 

12.如图,在平面直角坐标系中,正比例函数y＝kx的图象与二次函数y＝－12x2－x＋4的图象交于点P(点P在第二象限),经过点P且与x轴垂直的直线l与一次函数y＝x＋4的图象交于点Q,当PQ＝32时,则k的值为　－92或－56　. 

三、解答题
13.已知二次函数经过点(0,3),且当x＝1时,函数y有最大值4.
(1)求二次函数解析式;
(2)直接写出一个与该函数图象开口方向相反、大小相同、且经过点(0,3)的二次函数解析式.
解:(1)设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋4.
把点(0,3)代入得a(0－1)2＋4＝3,解得a＝－1,
所以抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋4.
(2)y＝x2＋2x＋3.(答案不唯一,合理即可)
14.已知一个二次函数,当x＝8时,函数有最大值9,且图象过点(0,1).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设A(6,y1),B(8,y2),C(10,y3)是抛物线上的三点,直接写出y1,y2,y3的大小关系.
解:(1)∵当x＝8时,函数有最大值9,
∴二次函数图象的顶点坐标为(8,9).
设抛物线解析式为y＝a(x－8)2＋9.
把点(0,1)代入,得a(0－8)2＋9＝1,解得a＝－18,
∴抛物线解析式为y＝－18(x－8)2＋9.
(2)y1＝y3 15.已知二次函数y＝(x－m)2－1(m为常数).
(1)求证:无论m为何值,该函数图象与x轴总有两个公共点;
(2)当1≤x≤3时,y的最小值为3,求m的值.
解:(1)当y＝0时,(x－m)2－1＝0,
即x2－2mx＋m2－1＝0,
∵Δ＝4m2－4(m2－1)＝4>0,
∴无论m为何值,该函数图象与x轴总有两个公共点.
(2)抛物线的对称轴为直线x＝m,
当m<1时,y随x增大而增大,
即当x＝1时,y取得最小值3,
∴(1－m)2－1＝3,解得m1＝3(舍去),m2＝－1;
当1 即当x＝m时,y取得最小值－1,不合题意;
当m>3时,y随x增大而减小,即当x＝3时,y取得最小值3,
∴(3－m)2－1＝3,解得m1＝1(舍去),m2＝5.
综上所述,m的值为－1或5.
16.中华民族的科学文化历史悠久、灿烂辉煌,我们的祖先几千年前就能在生产实践中运用数学.一千三百多年前,我国隋代建筑赵州桥是世界著名的古代石拱桥,也是造成后一直使用至今的最古老的石桥.如图,赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的解析式为y＝－125x2.当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,求水面宽度AB的值.

解:根据题意,得点B的纵坐标为－4,
把y＝－4代入y＝－125x2,得x＝±10,
∴点A的坐标为(－10,－4),点B的坐标为(10,－4),
∴AB＝20 m,即水面宽度AB为20 m.
17.某商店购进一批成本为每件30元的商品,商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售.经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式.
(2)销售单价定为多少元时,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元,请直接写出每天的销售量y(件)的取值范围.

解:(1)y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋160.
(2)由题意得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1250,
∵－2<0,∴当x<55时,w随x的增大而增大.
又∵30≤x≤50,∴当x＝50时,w有最大值,此时w＝1200,
∴销售单价定为50元时,销售该商品每天获得的利润最大,最大利润是1200元.
(3)60≤y<80.
提示:由题意得(x－30)(－2x＋160)>800,解得40 又∵30≤x≤50,∴40 ∴每天的销售量y的取值范围是60≤y<80.
18.(2020·甘肃)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点．
(1)求此抛物线的解析式；

解：由y＝ax2＋bx－2可得点C(0，－2)，即OC＝2.
∵OA＝2OC＝8OB，∴OA＝4，OB＝.
∴A(－4，0)，B.
把A，B两点的坐标分别代入y＝ax2＋bx－2，解得a＝1，b＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－2.
(2)若PC∥AB，求点P的坐标；
解：∵PC∥AB，C(0，－2)，
∴点P的纵坐标为－2.
∴－2＝x2＋x－2，
解得x1＝－，x2＝0(舍去)．
∴P.
(3)连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
解：设直线AC的解析式为y＝kx－2(k≠0)，把点A(－4，0)的坐标代入可得k＝－，
∴直线AC的解析式为y＝－x－2.
如图，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交线段
AC于点E；过点C作CM⊥PE，M为垂足．

设点P(－4 ∴PE＝PD－ED＝－(m2＋m－2)－＝－m2－4m.
∴S△PAC＝S△APE＋S△PEC＝PE·AD＋PE·MC＝PE·AO＝× (－m2－4m)×4＝－2m2－8m＝－2(m＋2)2＋8.
∴当m＝－2时，△PAC的面积最大，为8.
m2＋m－2＝(－2)2＋×(－2)－2＝－5，故点P(－2，－5)．
19.(2020·武汉)将抛物线C：y＝(x－2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2.
(1)直接写出抛物线C1，C2的解析式．
解：C1：y＝(x－2)2－6；
C2：y＝(x－2＋2)2－6，即y＝x2－6.
(2)如图①，点A在抛物线C1(对称轴l右侧)上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标．

解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥AC交CA的延长线于点D，如图所示．
设A(a，(a－2)2－6)，则BD＝a－2，AC＝|(a－2)2－6|.
∵∠BAO＝∠ACO＝90°，
∴∠BAD＋∠OAC＝∠OAC＋∠AOC＝90°.

∴∠BAD＝∠AOC.
又∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA＝90°，
∴△ABD≌△OAC(AAS)．
∴BD＝AC.
∴a－2＝|(a－2)2－6|，
解得a＝4或a＝－1(舍去)或a＝0(舍去)或a＝5.
∴点A的坐标为(4，－2)或(5，3)．
(3)如图②，直线y＝kx(k≠0，k为常数)与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y＝－x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．
证明：把y＝kx代入y＝x2－6，得x2－kx－6＝0，
∴xE＋xF＝k.∴M.
把y＝－x代入y＝x2－6，得x2＋x－6＝0，
∴xG＋xH＝－.∴N.
设直线MN的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
则解得
∴直线MN的解析式为y＝x＋2.
当x＝0时，y＝2，∴直线MN：y＝x＋2经过定点(0，2)，
即直线MN经过一个定点．