人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系课时作业

这是一份人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系课时作业，共16页。试卷主要包含了5 cmB等内容，欢迎下载使用。

第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
一、选择题
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点.若PA＝3,则PB的长是( )
A.2B.3C.4D.5

第1题图 第2题图 第3题图 第6题图
2.将一块含60°角的直角三角板和一个光盘、一块直尺如图摆放,若AB＝3,则光盘的直径是( )
A.3B.33C.6D.63
3.如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA＝7.5 cm,则△PMN的周长是( )
A.7.5 cmB.10 cmC.12.5 cmD.15 cm
4.到三角形三条边的距离相等的点是三角形( )
A.三条内角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点D.三条高线的交点
5.如果☉O为△ABC的内切圆,那么O是△ABC的( )
A.三条中线的交点B.三条高的交点
C.三边垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
6.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,若∠A＝50°,∠C＝60°,则∠DOE＝( )
A.70°B.110°C.120°D.130°
7.(2020·金华)如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是( )
A．65° B．60° C．58° D．50°

第7题图 第8题图 第10题图 第12题图
8.(2019·荆门)如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是( )
A．DI＝DB B．DI>DBC．DI9.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为( )
A.4B.3C.2D.1
10.(中考·河北)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( )
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
12.[济宁中考]如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心,∠A＝60°,CD＝2,BD＝4,则△DBC的面积是( )
A.43B.23C.2D.4
13.一个钢管放在V型架内,其截面如图,点O为钢管界面圆的圆心.若PM=253 cm,∠MPN=60°,则☉O的半径( )
A.50 cmB.253 cmC.20 cmD.25 cm
14.如图,若AB,AC分别切☉O于点B,C,延长OB到点D,使BD=OB,连接AD.若∠DAC=78°,则∠ADO的度数为( )
A.39°B.56°C.64°D.78°
15.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D,E,F,则下列等式:①∠EDF＝∠B;②2∠EDF＝∠A＋∠C;③2∠A＝∠FED＋∠EDF;④∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°.其中等式成立的个数是 ( )
A.1B.2C.3D.4
16.如图,在△ABC中,∠BOC＝140°,I是内心,O是外心,则∠BIC等于( )
A.130°B.125°C.120°D.115°

第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
17.(2020·湘西州)如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( )
A．△BPA为等腰三角形
B．AB与PD相互垂直平分
C．点A，B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线

第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18.(2019·台州)如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为( )
A．2eq \r(3) B．3 C．4 D．4－eq \r(3)
19.(2020·湖州)如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是( )
A．DC＝DT B．AD＝eq \r(2)DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC
20.(2020·随州)如图，设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是( )
A．h＝R＋r B．R＝2r C．r＝eq \f(\r(3),4)a D．R＝eq \f(\r(3),3)a
21.[南京中考]如图,在矩形ABCD中,AB＝4,AD＝5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为( )
A.133B.92C.4133D.25
二、填空题
22.经过圆外一点的圆的切线上，________和________之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点可以引圆的________条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线________两条切线的夹角．
23.与三角形各边都________的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心是___________________的交点，叫做三角形的________．
24.如图,四边形ABCD外切于☉O,若AB＝16,CD＝10,则四边形ABCD的周长是 .

第24题图 第25题图 第26题图 第27题图
25.如图,☉O内切于四边形ABCD,连接OA,OB,OC,OD.若∠AOB＝110°,则∠COD的度数是 .
26.如图,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.若∠DEF＝50°,则∠A＝ .
27.如图,以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为 .
28.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=5,AC=3,则BD的长为 .

第28题图 第29题图 第30题图
29.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是 .
30.[龙岩中考]如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1＋S2＋S3＋…＋S10＝ .
三、解答题
31.如图,在△ABC中,∠C＝90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
(1)求证:四边形ODCE是正方形;
(2)如果AC＝6,BC＝8,求内切圆☉O的半径.
32.如图,PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上,点E在PB上.
(1)若PA＝10,求△PDE的周长;
(2)若∠P＝50°,求∠O的度数.
33.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,交BC于点F.
(1)若∠ABC＝40°,∠C＝80°,求∠CBD的度数;
(2)求证:DB＝DE.
34.(中考·黄石)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得DF＝BD，连接CF，BE.求证：
(1)DB＝DE；
(2)直线CF为⊙O的切线．
35.(中考·南京)下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC，BC相切于点E，F，CE的长为x.
根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x.
根据勾股定理，得(x＋3)2＋(x＋4)2＝(3＋4)2.
整理，得x2＋7x＝12.
所以S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)(x＋3)(x＋4)＝eq \f(1,2)(x2＋7x＋12)＝eq \f(1,2)×(12＋12)＝12.
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n.
可以一般化吗？
(1)若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn.
倒过来思考呢？
(2)若AC·BC＝2mn，求证：∠C＝90°.
改变一下条件……
(3)若∠C＝60°，用m，n表示△ABC的面积．
参考答案
一、选择题
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点.若PA＝3,则PB的长是(B)
A.2B.3C.4D.5

第1题图 第2题图 第3题图 第6题图
2.将一块含60°角的直角三角板和一个光盘、一块直尺如图摆放,若AB＝3,则光盘的直径是(D)
A.3B.33C.6D.63
3.如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA＝7.5 cm,则△PMN的周长是(D)
A.7.5 cmB.10 cmC.12.5 cmD.15 cm
4.到三角形三条边的距离相等的点是三角形( A )
A.三条内角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高线的交点
5.如果☉O为△ABC的内切圆,那么O是△ABC的(D)
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
6.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,若∠A＝50°,∠C＝60°,则∠DOE＝(B)
A.70°B.110°C.120°D.130°
7.(2020·金华)如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是( )
A．65° B．60° C．58° D．50°
【点拨】连接OE，OF.
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC.
∴∠OEB＝∠OFB＝90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°.
∴∠EOF＝120°.
∴∠EPF＝eq \f(1,2)∠EOF＝60°.
【答案】B

第7题图 第8题图 第10题图 第12题图
8.(2019·荆门)如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是( )
A．DI＝DB B．DI>DBC．DI【点拨】如图，连接BI.
∵△ABC的内心为I，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2.
∵∠4＝∠2＋∠6＝∠3＋∠5，
∴∠4＝∠DBI.
∴DI＝DB.
【答案】A
9.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为(D)
A.4B.3C.2D.1
10.(中考·河北)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( B )
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( )
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
【点拨】根据勾股定理得，斜边长为eq \r(82＋152)＝17(步)，则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r＝eq \f(8＋15－17,2)＝3(步)，即直径为6步．
【答案】C
12.[济宁中考]如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心,∠A＝60°,CD＝2,BD＝4,则△DBC的面积是(B)
A.43B.23C.2D.4
13.一个钢管放在V型架内,其截面如图,点O为钢管界面圆的圆心.若PM=253 cm,∠MPN=60°,则☉O的半径( D )
A.50 cmB.253 cmC.20 cmD.25 cm
14.如图,若AB,AC分别切☉O于点B,C,延长OB到点D,使BD=OB,连接AD.若∠DAC=78°,则∠ADO的度数为( C )
A.39°B.56°C.64°D.78°
15.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D,E,F,则下列等式:①∠EDF＝∠B;②2∠EDF＝∠A＋∠C;③2∠A＝∠FED＋∠EDF;④∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°.其中等式成立的个数是(B)
A.1B.2C.3D.4
16.如图,在△ABC中,∠BOC＝140°,I是内心,O是外心,则∠BIC等于(B)
A.130°B.125°C.120°D.115°

第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
17.(2020·湘西州)如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( B )
A．△BPA为等腰三角形
B．AB与PD相互垂直平分
C．点A，B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线

第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18.(2019·台州)如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为( A )
A．2eq \r(3) B．3 C．4 D．4－eq \r(3)
19.(2020·湖州)如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO.以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D.则下列结论中错误的是( )
A．DC＝DT B．AD＝eq \r(2)DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC
【点拨】连接OD.
∵OT是半径，OT⊥AB，∴DT是⊙O的切线．
∵DC是⊙O的切线，
∴DC＝DT，故选项A不符合题意．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°.
∵DC是切线，∴CD⊥OC.
∴∠ACD＝90°. ∴∠A＝∠ADC＝45°.
∴AC＝CD＝DT.
∴AD＝eq \r(2)CD＝eq \r(2)DT，故选项B不符合题意．
∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，
∴△DOC≌△DOT(SSS)．
∴∠DOC＝∠DOT.
∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，
∴∠AOT＝∠BOT＝45°.
∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°.
∴∠BOD＝67.5°.
∴∠ODB＝180°－∠B－∠BOD＝67.5°.
∴∠BOD＝∠ODB.
∴BD＝BO，故选项C不符合题意．
【答案】D
20.(2020·随州)如图，设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是( )
A．h＝R＋r B．R＝2r C．r＝eq \f(\r(3),4)a D．R＝eq \f(\r(3),3)a
【点拨】如图所示．
∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆．
设圆心为O，D，E为切点，连接OE，OD，OA，易得点A，O，D共线，则OE＝OD＝r，AO＝R，AD＝h，
∴h＝R＋r，故A不符合题意．
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝eq \f(1,2)∠BAC＝eq \f(1,2)×60°＝30°.
在Rt△AOE中，OA＝2OE，
即R＝2r，故B不符合题意．
∵AB＝AC＝BC＝a，∴AE＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)a.
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a))eq \s\up12(2)＋r2＝(2r)2， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)R))eq \s\up12(2)＝R2.
∴r＝eq \f(\r(3)a,6)，R＝eq \f(\r(3),3)a，故C符合题意，D不符合题意．
【答案】C
21.[南京中考]如图,在矩形ABCD中,AB＝4,AD＝5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为(A)
A.133B.92C.4133D.25
二、填空题
22.经过圆外一点的圆的切线上，________和________之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点可以引圆的________条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线________两条切线的夹角．
【答案】这点；切点；两；相等；平分
23.与三角形各边都________的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心是___________________的交点，叫做三角形的________．
【答案】相切；三角形三条角平分线；内心
24.如图,四边形ABCD外切于☉O,若AB＝16,CD＝10,则四边形ABCD的周长是 52 .

第24题图 第25题图 第26题图 第27题图
25.如图,☉O内切于四边形ABCD,连接OA,OB,OC,OD.若∠AOB＝110°,则∠COD的度数是 70° .
26.如图,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.若∠DEF＝50°,则∠A＝ 80° .
27.如图,以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为 6∶7 .
28.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=5,AC=3,则BD的长为 2 .

第28题图 第29题图 第30题图
29.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是 14 .
30.[龙岩中考]如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1＋S2＋S3＋…＋S10＝ π .
三、解答题
31.如图,在△ABC中,∠C＝90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
(1)求证:四边形ODCE是正方形;
(2)如果AC＝6,BC＝8,求内切圆☉O的半径.
解:(1)略.
(2)☉O的半径为2.
32.如图,PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上,点E在PB上.
(1)若PA＝10,求△PDE的周长;
(2)若∠P＝50°,求∠O的度数.
解:(1)∵PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,
∴PA＝PB,DA＝DC,EC＝EB,∴△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝10＋10＝20.
(2)连接OA,OC,OB.
∵OA⊥PA,OB⊥PB,OC⊥DE,
∴∠DAO＝∠EBO＝90°,
∴∠P＋∠AOB＝180°,
∴∠AOB＝180°－50°＝130°.
∵∠AOD＝∠DOC,∠COE＝∠BOE,
∴∠DOE＝12∠AOB＝12×130°＝65°.
33.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,交BC于点F.
(1)若∠ABC＝40°,∠C＝80°,求∠CBD的度数;
(2)求证:DB＝DE.
解:(1)∵∠ABC＝40°,∠C＝80°,
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝60°.
∵点E是△ABC的内心,
∴∠CAD＝∠BAD＝12BAC＝30°,
∴∠CBD＝∠CAD＝30°.
(2)连接BE.
∵点E是△ABC的内心,
∴∠BAD＝∠CAD,∠ABE＝∠CBE.
∵∠CAD＝∠CBD,∴∠BAD＝∠CBD,
∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.
∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD,
∴∠BED＝∠DBE,∴DB＝DE.
34.(中考·黄石)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得DF＝BD，连接CF，BE.求证：
(1)DB＝DE；
证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC.
∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，
∠DBE＝∠EBC＋∠DBC，
∠DBC＝∠CAE，
∴∠DBE＝∠DEB.
∴DB＝DE.
(2)直线CF为⊙O的切线．
解：连接CD.
∵∠DAB＝∠DAC，
∴BD＝CD.
∴BD＝CD.
∵BD＝DF， ∴CD＝DB＝DF.
∴∠DBC＝∠DCB，∠DCF＝∠DFC.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°.
∴∠DBC＝∠DCB＝∠DCF＝∠DFC＝45°.
∴∠BCF＝90°，即BC⊥CF.
∴直线CF为⊙O的切线．
35.(中考·南京)下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC，BC相切于点E，F，CE的长为x.
根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x.
根据勾股定理，得(x＋3)2＋(x＋4)2＝(3＋4)2.
整理，得x2＋7x＝12.
所以S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)(x＋3)(x＋4)＝eq \f(1,2)(x2＋7x＋12)＝eq \f(1,2)×(12＋12)＝12.
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n.
可以一般化吗？
解：设△ABC的内切圆分别与AC，BC相切于点E，F，CE的长为x.
根据切线长定理，得AE＝AD＝m，BF＝BD＝n，CF＝CE＝x.
(1)若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn.
倒过来思考呢？
【思路点拨】根据切线长定理和勾股定理可得线段之间的数量关系，根据三角形的面积公式证明即可.
证明：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得(x＋m)2＋(x＋n)2＝(m＋n)2.
整理，得x2＋(m＋n)x＝mn.
所以S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)(x＋m)(x＋n)＝eq \f(1,2)[x2＋(m＋n)x＋mn]＝eq \f(1,2)(mn＋mn)＝mn.
(2)若AC·BC＝2mn，求证：∠C＝90°.
改变一下条件……
【思路点拨】根据线段的数量关系，计算出三角形的边的平方值，再用勾股定理的逆定理证明直角，结论得证；
证明：由AC·BC＝2mn，得(x＋m)(x＋n)＝2mn.
整理，得x2＋(m＋n)x＝mn.
∴AC2＋BC2＝(x＋m)2＋(x＋n)2＝2[x2＋(m＋n)x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝(m＋n)2＝AB2.
根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°.
(3)若∠C＝60°，用m，n表示△ABC的面积．
【思路点拨】作垂线构造直角三角形，根据含30°角的直角三角形的性质得线段之间的关系，再利用勾股定理列出关系式，从而表示出三角形的面积．
解：如图，过点A作AG⊥BC于点G.
在Rt△ACG中，∠C＝60°，
则∠CAG＝30°，
∴CG＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)(x＋m)．
∴AG＝eq \r(AC2－CG2)＝eq \f(\r(3),2)(x＋m)．
∴BG＝BC－CG＝(x＋n)－eq \f(1,2)(x＋m)．
在Rt△ABG中，根据勾股定理可得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)（x＋m）))eq \s\up12(2)＋[(x＋n)－eq \f(1,2)(x＋m)]2＝(m＋n)2.
整理，得x2＋(m＋n)x＝3mn.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AG＝eq \f(1,2)(x＋n)·eq \f(\r(3),2)(x＋m)＝eq \f(\r(3),4)[x2＋(m＋n)x＋mn]＝eq \f(\r(3),4)(3mn＋mn)＝eq \r(3)mn.