高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.3 概率5.3.2 事件之间的关系与运算学案及答案

事件之间的关系与运算

【学习目标】

1．了解事件间的相互关系.

2．理解互斥事件、对立事件的概念.

【学习重难点】

1．事件间的相互关系.

2．互斥事件、对立事件.

【学习过程】

一、问题预习

预习教材，思考以下问题：

1．如何理解事件A包含事件B？事件A与事件B相等？

2．什么叫做并事件？什么叫做交事件？

3．什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？互斥事件与对立事件的联系与区别是什么？

二、新知探究

1．互斥事件与对立事件的判断

某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．

（1）恰有1名男生与恰有2名男生；

（2）至少有1名男生与全是男生；

（3）至少有1名男生与全是女生；

（4）至少有1名男生与至少有1名女生．

【解】判断两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．

（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．

（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

2．事件的运算

盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．

求：（1）事件D与A．B是什么样的运算关系？

（2）事件C与A的交事件是什么事件？

【解】（1）对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A＋B．

（2）对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故CA＝A．

3．利用互斥、对立事件求概率

一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13．计算这名射击运动员在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）至少射中7环的概率．

【解】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P（A）＝0.24，P（B）＝0.28，P（C）＝0.19，P（D）＝0.16，P(E)＝0.13．

（1）P(射中10环或9环)＝P(A＋B)＝P（A）＋P（B）＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52．

（2）事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87．

所以至少射中7环的概率为0.87．

三、学习小结

1．事件的关系及运算

2．概率加法公式

（1）如果事件A与事件B互斥，则有P(A＋B)＝P（A）＋P（B）．一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

（2）如果事件A与事件B互为对立事件，那么A＋B为必然事件，则有P(A＋B)＝P（A）＋P（B）＝1．

四、精炼反馈

1．掷一枚质地均匀的骰子，记事件M＝{出现的点数是1或2}，事件N＝{出现的点数是2或3或4}，则下列关系成立的是(    )

A．M＋N＝{出现的点数是2}

B．MN＝{出现的点数是2}

C．M⊆N

D．M＝N

解析：选B．M＋N＝{出现的点数是1或2或3或4}，MN＝{出现的点数是2}，A不正确，B正确；当出现的点数是1时，M发生，N不发生，故C，D都不正确．

2．若A与B为互斥事件，则(    )

A．P（A）＋P（B）<1           B．P（A）＋P（B）>1

C．P（A）＋P（B）＝1   D．P（A）＋P（B）≤1

解析：选D．若A与B为互斥事件，则P（A）＋P（B）≤1．故选D．

3．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是(    )

A．取出2个红球和1个白球

B．取出的3个球全是红球

C．取出的3个球中既有红球也有白球

D．取出的3个球中不止一个红球

解析：选D．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球可能的情况有：“3个红球”“1红2白”“2红1白”，所以事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“3红或是2红1白”即“3个球不止一个红球”．故选D．

4．从一箱苹果中任取一个，如果其质量小于200克的概率为0.2，质量在[200，300]内的概率为0.5，那么质量超过300克的概率为________．

解析：设质量超过300克的概率为P，因为质量小于200克的概率为0.2, 质量在[200，300]内的概率为0.5，所以0.2＋0.5＋P＝1，所以P＝1－0.2－0.5＝0.3．

答案：0.3