高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.2 对数运算法则学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.2 对数运算法则学案及答案，共7页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，自我检测，达标反馈，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．掌握对数运算性质，理解其推导过程和成立条件。
2．掌握换底公式及其推论，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值。
【学习重难点】
1．对数运算法则。
2．换底公式。
【学习过程】
问题导学
预习教材P20－P23的内容，思考以下问题：
1．对数运算法则是什么？
2．换底公式是如何表述的？
新知初探
1．对数运算法则
lga（MN）=lgaM＋lgaN，
lgaMα=αlgaM，
lgaeq \f(M,N)=lgaM－lgaN。
（其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R）
2．换底公式
lgab=eq \f(lgcb,lgca)。（其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1）
■名师点拨
对数的这三条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）积、商的对数可以化为对数的和、差。（ ）
（2）lgaxy=lgax·lgay。（ ）
（3）lga（－2）3=3lga（－2）。（ ）
2．计算lg916·lg881的值为（ ）
A．18 B．eq \f(1,18) C．eq \f(8,3) D．eq \f(3,8)
3．若lg5=a，lg7=b，用a，b表示lg75等于（ ）
A．a＋b
B．a－b
C．eq \f(b,a)
D．eq \f(a,b)
4．lg20＋lg50的值为________。
【探究】
一、具体数的化简求值
1．计算：（1）lg345－lg35；
（2）lg2（23×45）；
（3）eq \f(lg \r(27)＋lg 8－lg \r(1 000),lg 1.2)；
（4）lg29·lg38．
[规律方法]
具体数的化简求值主要遵循两个原则：
（1）把数字化为质因数的幂、积、商的形式。
（2）不同底化为同底。
2．计算：（1）2lg63＋lg64；
（2）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg 25－lg \f(1,4)))÷100－eq \s\up6(\f(1,2))；
（3）lg43·lg98；
（4）lg2．56．25＋lneq \r(e)－0.064eq \s\up6(\f(1,3))。
二、代数式的化简
命题角度一：代数式恒等变换
化简lgaeq \f(x2\r(y),\r(3,z))。
【解】因为eq \f(x2\r(y),\r(3,z))>0且x2>0，eq \r(y)>0，
所以y>0，z>0.
lgaeq \f(x2\r(y),\r(3,z))=lga（x2eq \r(y)）－lgaeq \r(3,z)=lgax2＋lgaeq \r(y)－lgaeq \r(3,z)=2lga|x|＋eq \f(1,2)lgay－eq \f(1,3)lgaz。
eq \a\vs4\al()[规律方法]
使用公式要注意成立条件：
如lgx2不一定等于2lgx，反例：lg10（－10）2=2lg10（－10）是不成立的。要特别注意lga（MN）≠lgaM·lgaN，lga（M±N）≠lgaM±lgaN。
1．已知y>0，化简lgaeq \f(\r(x),yz)。
命题角度二：用代数式表示对数
2．已知lg189=a，18b=5，求lg3645．

[规律方法]eq \a\vs4\al()
用代数式表示对数问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元。
3．已知lg23=a，lg37=b，用a，b表示lg4256．
【达标反馈】
1．lg5eq \f(1,3)＋lg53等于（ ）
A．0B．1
C．－1D．lg5eq \f(10,3)
2．（2019·广西南京市期中）在对数式b=lga－2（5－a）中，实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a>5或a<2}
B．{a|2C．{a|2D．{a|33．lg29×lg34等于（ ）
A．eq \f(1,4)
B．eq \f(1,2)
C．2
D．4
4．lg3eq \r(27)＋lg25＋lg4＋7lg72＋（－9.8）0=________。
解析：原式=eq \f(1,2)lg333＋lg（25×4）＋2＋1=eq \f(3,2)＋2＋3=eq \f(13,2)。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）√（2）×（3）×
2．解析：选C．原式=lg3224·lg2334=eq \f(4,2)lg32·eq \f(4,3)lg23=eq \f(8,3)。
3．解析：选D．lg75=eq \f(lg 5,lg 7)=eq \f(a,b)。
4．解析：lg20＋lg50=lg1000=3．
答案：3
【探究】
一、具体数的化简求值
1．【解】（1）lg345－lg35=lg3eq \f(45,5)=lg39=lg332
=2lg33=2．
（2）lg2（23×45）=lg2（23×210）=lg2（213）
=13lg22=13．
（3）原式=eq \f(lg（\r(27)×8）－lg 10\s\up6(\f(3,2)),lg \f(12,10))
=eq \f(lg（3\s\up6(\f(3,2))×23÷10\s\up6(\f(3,2))）,lg\f(12,10))=eq \f(lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3×4,10)))\s\up6(\f(3,2)),lg\f(12,10))
=eq \f(\f(3,2)lg\f(12,10),lg\f(12,10))=eq \f(3,2)。
（4）lg29·lg38=lg2（32）·lg3（23）
=2lg23·3lg32
=6·lg23·eq \f(1,lg23)=6
2．解：（1）原式=lg632＋lg64=lg6（32×4）
=lg6（62）=2lg66=2．
（2）原式=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(25,\f(1,4))))÷102×（－eq \s\up6(\f(1,2))）=lg102÷10－1=2×10=20.
（3）原式=eq \f(lg 3,lg 4)·eq \f(lg 8,lg 9)=eq \f(lg 3,2lg 2)·eq \f(3lg 2,2lg 3)=eq \f(3,4)。
（4）原式=lg2.5（2.5）2＋eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(64,1 000)))eq \s\up6(\f(1,3))
=2＋eq \f(1,2)－eq \f(4,10)
=eq \f(21,10)。
二、代数式的化简
1．解：因为eq \f(\r(x),yz)>0，y>0，所以x>0，z>0.
所以lgaeq \f(\r(x),yz)=lgaeq \r(x)－lga（yz）=eq \f(1,2)lgax－lgay－lgaz。
2．【解】法一：因为lg189=a，18b=5，
所以lg185=b，
所以lg3645=eq \f(lg1845,lg1836)=eq \f(lg18（9×5）,lg18（18×2）)=eq \f(lg189＋lg185,1＋lg182)
=eq \f(a＋b,1＋lg18\f(18,9))=eq \f(a＋b,2－a)。
法二：因为lg189=a，18b=5，所以lg185=b，
所以lg3645=eq \f(lg1845,lg1836)=eq \f(lg18（9×5）,lg18（18×2）)
=eq \f(lg189＋lg185,2lg1818－lg189)=eq \f(a＋b,2－a)。
法三：因为lg189=a，18b=5，
所以lg9=alg18，lg5=blg18，
所以lg3645=eq \f(lg 45,lg 36)=eq \f(lg（9×5）,lg\f(182,9))=eq \f(lg 9＋lg 5,2lg 18－lg 9)
=eq \f(alg 18＋blg 18,2lg 18－alg 18)=eq \f(a＋b,2－a)。
3．解：因为lg23=a，则eq \f(1,a)=lg32，
又因为lg37=b，
所以lg4256=eq \f(lg356,lg342)=eq \f(lg37＋3lg32,lg37＋lg32＋1)=eq \f(ab＋3,ab＋a＋1)。
【达标反馈】
1．答案：A
2．解析：选C．由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2>0，,a－2≠1，,5－a>0，))解得23．答案：D
4．答案：eq \f(13,2)