人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.6 函数的应用(二)学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.6 函数的应用(二)学案，共9页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，新知初探，自我检测，达标反馈，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．会利用已知函数模型解决实际问题。
2．能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题。
【学习重难点】
1．指数、对数函数模型在实际问题中的应用。
2．根据实际问题建立函数模型。
【学习过程】
问题导学
预习教材P42－P44的内容，思考以下问题：
1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？
2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？
【新知初探】
几类常见的函数模型
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质。（ ）
（2）在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性。（ ）
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆。若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝0.2x（0≤x≤4000）
B．y＝0.5x（0≤x≤4000）
C．y＝－0.1x＋1200（0≤x≤4000）
D．y＝0.1x＋1200（0≤x≤4000）
3．某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（）
A．2022年
B．2023年
C．2024年
D．2025年
探究一、利用已知函数模型解决问题
1．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加成本100元，已知总收益满足函数：
R（x）＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400x－\f(1,2)x2（0≤x≤400）,80 000（x>400）))，其中x为月产量。
（1）将利润表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？
[规律方法]eq \a\vs4\al()
理解所给函数模型中各量的意义，利用已知量求解析式，进而求函数的问题来解释实际问题。
2．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一个单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R（Q）＝4Q－eq \f(1,200)Q2，则总利润L（Q）的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为________单位。
探究二、构造函数模型解决问题
3．目前某县有100万人，经过x年后为y万人。如果年平均增长率是1．2%，请回答下列问题：
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万。（精确到1年）
[规律方法]
建立函数模型应把握的三个关口
（1）事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口。
（2）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系。
（3）数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题。
4．某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租。该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用）。
（1）求函数y＝f（x）的解析式及其定义域；
（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？
探究三、拟合函数模型解决问题
5．某经营商经营了A、B两种商品，逐月投资金额与所获纯利润列表如下：
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算。请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）。
[规律方法]eq \a\vs4\al()
函数拟合与预测的一般步骤
（1）根据原始数据、表格，绘出散点图。
（2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线。
（3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式。
（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。
6．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，还可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场。某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝algbt。
（2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。
【达标反馈】
1．某市的房价（均价）经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是（）
A．600元
B．50%
C．eq \r(3,2)－1
D．eq \r(3,2)＋1
2．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概。当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒后的高度x米可由x＝at－5t2确定。已知射出2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为________米。
3．某游乐场每天的盈利额y元与销售的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题：
（1）求y与x的函数解析式；
（2）要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）√（2）√
2．答案：C
3．答案：D
探究一、利用已知函数模型解决问题
1．【解】（1）设月产量为x台，则总成本G（x）＝20000＋100x，利润
f（x）＝R（x）－G（x）＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2＋300x－20 000（0≤x≤400）,60 000－100x（x>400）))。
（2）由0≤x≤400时，f（x）＝－eq \f(1,2)（x－300）2＋25000.
所以当x＝300时，f（x）取得最大值25000元。
当x＞400时，f（x）＝60000－100x是减函数，
f（x）＜60000－100×400＝20000＜25000.
所以当x＝300时，f（x）的最大值为25000元。
即每月生产300台仪器时，能获得最大利润，最大利润为25000元。
2．解析：总利润＝总收入－成本，L（Q）＝4Q－eq \f(1,200)Q2－（200＋Q）＝－eq \f(1,200)（Q－300）2＋250.
所以产品的生产数量为300单位时，总利润L（Q）的最大值是250万元。
答案：250
300
3．【解】（1）当x＝1时，y＝100＋100×1．2%＝100（1＋1．2%）；
当x＝2时，y＝100（1＋1．2%）＋100（1＋1．2%）×1．2%＝100（1＋1．2%）2；
当x＝3时，y＝100（1＋1．2%）2＋100（1＋1．2%）2×1．2%
＝100（1＋1．2%）3；…
故y关于x的函数解析式为y＝100（1＋1．2%）x（x∈N*）。
（2）当x＝10时，y＝100×（1＋1．2%）10＝100×1．01210≈112．7．故10年后该县约有112．7万人。
（3）设x年后该县的人口总数为120万，即100×（1＋1．2%）x＝120，解得x＝lg1．012eq \f(120,100)≈16．
故大约16年后该县的人口总数将达到120万。
4．解：（1）当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2．3．
因为x∈N*，所以3≤x≤6，x∈N*，
当x＞6时，y＝[50－3（x－6）]x－115．
令[50－3（x－6）]x－115＞0，得3x2－68x＋115＜0.
又x∈N*，解得2≤x≤20，所以6＜x≤20，x∈N*，
故y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(50x－115，3≤x≤6，x∈N*，,－3x2＋68x－115，6＜x≤20，x∈N*，))
定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}。
（2）对于y＝50x－115（3≤x≤6，x∈N*），
显然当x＝6时，ymax＝185，对于y＝－3x2＋68x－115
＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(34,3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(811,3)（6＜x≤20，x∈N*）。
当x＝11时，ymax＝270，因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多。
5．【解】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出A，B两种商品的散点图分别如图①②所示。
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟。
取点（4，2）为最高点，则y＝a（x－4）2＋2，
再把点（1，0.65）代入，得0.65＝a（1－4）2＋2，
解得a＝－0.15，所以y＝－0.15（x－4）2＋2．
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用一次函数模型进行模拟。
设y＝kx＋b，取点（1，0.25）和点（4，1），代入得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.25＝k＋b，,1＝4k＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝0.25，,b＝0，))所以y＝0.25x。
故前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15（x－4）2＋2，前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x。
设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB（万元），总利润为W（万元），那么
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xA＋xB＝12，,W＝yA＋yB＝－0.15（xA－4）2＋2＋0.25xB.))
所以W＝－0.15eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xA－\f(19,6)))eq \s\up12(2)＋0.15×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,6)))eq \s\up12(2)＋2．6．
所以当xA≈3．2时W最大约为4．1，
此时xB≈8．8．
即该经营者第七个月把12万元中的3．2万元投资A种商品，8．8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4．1万元。
6．解：（1）由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝algbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(150＝2 500a＋50b＋c，,108＝12 100a＋110b＋c，,150＝62 500a＋250b＋c.))
解得a＝eq \f(1,200)，b＝－eq \f(3,2)，c＝eq \f(425,2)。
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝eq \f(1,200)t2－eq \f(3,2)t＋eq \f(425,2)。
（2）当t＝－eq \f(－\f(3,2),2×\f(1,200))＝150（天）时，芦荟种植成本最低为Q＝eq \f(1,200)×1502－eq \f(3,2)×150＋eq \f(425,2)＝100（元/10kg）。
【达标反馈】
1．解析：选C．设6年间平均增长率为x，则有1200（1＋x）6＝4800，解得x＝eq \r(3,2)－1．
2．解析：由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60.
所以x＝60t－5t2．
由x＝－5t2＋60t＝－5（t－6）2＋180，
知当t＝6时，x取得最大值为180，
即弓箭能达到的最大高度为180米。
答案：180
3．解：（1）由图像知，可设y＝kx＋b，x∈[0，200]时，过点（0，－1000）和（200，1000），解得k＝10，b＝－1000，从而y＝10x－1000；x∈（200，300]时，过点（200，500）和（300，2000），解得k＝15，b＝－2500，从而y＝15x－2500，
所以y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10x－1 000，x∈[0，200]，,15x－2 500，x∈（200，300].))
（2）每天的盈利额超过1000元，则x∈（200，300]，由15x－2500＞1000得，x＞eq \f(700,3)，故每天至少需要卖出234张门票。名称
解析式
条件
一次函数模型
y＝kx＋b
k≠0
反比例函数模型
y＝eq \f(k,x)＋b
k≠0
二次函数模型
一般式：y＝ax2＋bx＋c
顶点式：y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))eq \s\up12(2)＋eq \f(4ac－b2,4a)
a≠0
指数函数模型
y＝b·ax＋c
a＞0且a≠1，b≠0
对数函数模型
y＝mlgax＋n
a＞0且a≠1，m≠0
幂函数模型
y＝axn＋m
a≠0，n≠1
投资A种商品金额（万元）
1
2
3
4
5
6
获纯利润（万元）
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额（万元）
1
2
3
4
5
6
获纯利润（万元）
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
t
50
110
250
Q
150
108
150