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    人教B版 (2019)必修 第二册6.1.5 向量的线性运算导学案

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    这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.1.5 向量的线性运算导学案,共5页。学案主要包含了学习目标,学习重难点,学习过程等内容,欢迎下载使用。
    【学习目标】
    理解并掌握向量的混合运算,会进行向量的线性运算.
    【学习重难点】
    向量的运算律.
    【学习过程】
    一、问题导学
    预习教材内容,思考以下问题:
    向量与实数可以求积,那么向量和实数可以进行加减运算吗?
    数乘向量的定义及其几何意义是什么?
    向量线性运算满足哪些运算律?
    二、新知初探
    1.向量的线性运算
    (1)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=________.
    (2)化简下列各式:
    ①3(6a+b)-9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a+\f(1,3)b));②eq \f(1,2)[(3a+2b)-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a+\f(1,2)b))]-2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a+\f(3,8)b));③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
    【解】(1)由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,所以x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.故填4b-3a.
    (2)①原式=18a+3b-9a-3b=9a.
    ②原式=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a+\f(3,2)b))-a-eq \f(3,4)b=a+eq \f(3,4)b-a-eq \f(3,4)b=0.
    ③原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
    2.利用已知向量表示相关向量
    (1)如图,▱ABCD中,E是BC的中点,若eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,则eq \(DE,\s\up6(→))=( )
    A.eq \f(1,2)a-b B.eq \f(1,2)a+b
    C.a+eq \f(1,2)b D.a-eq \f(1,2)b
    (2)如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,M,N分别是DE,BC的中点,已知eq \(BC,\s\up6(→))=a,eq \(BD,\s\up6(→))=b,试用a,b分别表示eq \(DE,\s\up6(→)),eq \(CE,\s\up6(→)),eq \(MN,\s\up6(→)).
    【解】(1)选D.eq \(DE,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))
    =eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))=a-eq \f(1,2)b.
    (2)由三角形中位线定理,知DE=eq \f(1,2)BC,故eq \(DE,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→)),即eq \(DE,\s\up6(→))=eq \f(1,2)a.
    eq \(CE,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))+eq \(DE,\s\up6(→))=-a+b+eq \f(1,2)a=-eq \f(1,2)a+b.
    eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(MD,\s\up6(→))+eq \(DB,\s\up6(→))+eq \(BN,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(ED,\s\up6(→))+eq \(DB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))=-eq \f(1,4)a-b+eq \f(1,2)a=eq \f(1,4)a-b.
    3.利用向量判断三点共线
    已知非零向量e1.e2不共线.如果eq \(AB,\s\up6(→))=e1+e2,eq \(BC,\s\up6(→))=2e1+8e2,eq \(CD,\s\up6(→))=3(e1-e2),求证:A、B、D三点共线.
    【证明】因为eq \(AB,\s\up6(→))=e1+e2,eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5eq \(AB,\s\up6(→)).所以eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(BD,\s\up6(→))共线,且有公共点B,所以A、B、D三点共线.
    三、学习小结
    向量的线性运算:
    (1)向量的加法与数乘向量的混合运算
    一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有λa+μa=(λ+μ)a.
    一般地,对于任意实数λ,以及向量a与b,有λ(a+b)=λa+λb.
    (2)向量的线性运算
    向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算,统称为向量的线性运算.
    四、精炼反馈
    1.下列命题中正确的个数是( )
    ①eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BA,\s\up6(→))=0;②eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→));③0·eq \(AB,\s\up6(→))=0.
    A.1 B.2
    C.3 D.0
    解析:选A.由两相反向量的和为零向量知①正确;
    由向量的减法运算法则知,eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→)),②错;
    由数乘向量的意义知0·eq \(AB,\s\up6(→))=0,③错;
    即正确的个数是1,故选A.
    2.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则eq \(EB,\s\up6(→))=( )
    A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
    C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
    解析:选A.法一:如图所示,eq \(EB,\s\up6(→))=eq \(ED,\s\up6(→))+eq \(DB,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))=eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→)))+eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→)))=eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)),故选A.
    法二:eq \(EB,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(AE,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→)))=eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)),故选A.
    3.对于向量a,b有下列表示:
    ①a=2e,b=-2e;
    ②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
    ③a=4e1-eq \f(2,5)e2,b=e1-eq \f(1,10)e2;
    ④a=e1+e2,b=2e1-2e2.
    其中,向量a,b一定共线的是( )
    A.①②③ B.②③④
    C.①③④ D.①②③④
    解析:选A.对于①,b=-a,有a∥b;
    对于②,b=-2a,有a∥b;
    对于③,a=4b,有a∥b;
    对于④,a与b不共线.
    4.若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a=________b.
    解析:由题意知a=-eq \f(5,7)b.
    答案:-eq \f(5,7)

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