高中数学6.2.1 向量基本定理学案

这是一份高中数学6.2.1 向量基本定理学案，共3页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．掌握共线向量基本定理．
2．理解平面向量基本定理．
【学习重难点】
1．向量基本定理．
2．平面向量基本定理．
【学习过程】
一、导学提问
预习教材内容，思考以下问题：
1．共线向量基本定理是怎样表述的？
2．用向量证明三点共线有哪些方法？
3．平面向量基本定理的内容是什么？
4．如何定义平面向量基底？
二、新知探究
1．共线向量基本定理
已知m，n是不共线向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判断a与b是否共线？
解：若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ（6m－8n）．
因为m，n不共线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6λ＝3，,－8λ＝4.))
因为不存在λ同时满足此方程组，所以a与b不共线．
2．用基底表示向量
如图，在平行四边形ABCD中，设对角线eq \(AC,\s\up6(→))＝a，eq \(BD,\s\up6(→))＝b，试用基底a，b表示eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))．
解：由题意知，eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a，eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b．
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b，
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b．
3．直线的向量参数方程式的应用
已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有eq \(OC,\s\up6(→))＝3λeq \(OA,\s\up6(→))＋（1－3λ）eq \(OB,\s\up6(→))（λ∈R，点O为直线AB外的一点），则点C的轨迹是什么图形？简单说明理由．
解：法一：3λ＋（1－3λ）＝1且λ∈R，结合直线的向量参数方程式可知点C的轨迹是直线AB．
法二：将已知向量等式两边同时减去eq \(OA,\s\up6(→))，得
eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝（3λ－1）eq \(OA,\s\up6(→)) ＋（1－3λ） eq \(OB,\s\up6(→))
＝（1－3λ）（eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))）
＝（1－3λ）eq \(AB,\s\up6(→))，
即eq \(AC,\s\up6(→))＝（1－3λ）eq \(AB,\s\up6(→))，λ∈R，
所以A，B，C三点共线，即点C的轨迹是直线AB．
三、学习小结
1．共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．
由共线向量基本定理及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))．
2．平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得c＝xa＋yb．
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．
四、精炼反馈
1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是（ ）
A．eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))B．eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))
C．eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))D．eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))
解析：选D．由于eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))不共线，所以可以作为一组基底．
2．设D为△ABC所在平面内一点，若eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))，则（ ）
A．eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))
B．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
D．eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
解析：选A．因为eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))，
所以eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3（eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))）＝3eq \(AD,\s\up6(→))－3eq \(AC,\s\up6(→))，
所以3eq \(AD,\s\up6(→))＝4eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up6(→))．
3．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，
因为（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝3，))
所以x－y＝3．
答案：3