数学八年级上册第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分图文ppt课件

这是一份数学八年级上册第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分图文ppt课件，共43页。PPT课件主要包含了问题思考，知识拓展，例题讲解，课堂小结，线段的垂直平分线，第二课时，如图所示证明思路，第三课时，作法如图所示，解如图所示等内容，欢迎下载使用。

如图所示,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现?
1.用平面图将上述问题进行转化，已知线段AB及AB的垂直平分线l，在l上取P1，P2，P3，…，连接AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3……
2.作好图后,用直尺量出AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3……讨论发现什么样的规律.
活动一:线段垂直平分线的性质
如图所示，已知线段AB和它的中垂线l，O为垂足.
在直线上任取一点P,连接PA,PB,线段PA和线段PB有怎样的数量关系?提出你的猜想说明理由.
事实上,因为线段AB是轴对称图形,垂直平分线l是它的对称轴,所以线段AB沿对称轴l对折后,点A和点B重合,线段PA和线段PB重合,从而PA=PB.
(3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.（说明:今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法.）
(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共同特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.
(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有这种性质,只需要在图形上任取一点代表即可.
已知:如图所示,点A,B是直线外的任意两点,在直线l上,试确定一点P,使AP+BP最短.
解:如图所示,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,交直线l于点P,则AP+BP最短.
【提出问题】(1)我们知道两点之间线段最短,那么怎样把PA和PB这两条线段转化到一条线段上?
(2)在直线l上任取一个异于点P的点P',怎样利用“两点之间线段最短”加以证明.
解:∵点A和点A'关于直线l对称,∴AP=A'P.∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代换),
如图所示,在直线l上任取一个异于点P的点P',连接AP',BP',A'P',则A'P'+BP'>A'B(两点之间线段最短). 即AP'+BP'=A'P'+BP'>A'B=AP+BP.∴AP+BP最短.
已知:如图所示，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E. 求证AC=AB.
证明:连接BC，因为点D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，BE⊥AC，所以CD，BE分别是AB，AC的垂直平分线，所以AC=BC，AB=CB,所以AC=AB.
(3)这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法.
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
注意:(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.
(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有某种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可,应注意理解和掌握这种由特殊到一般的思想方法.
1.(2015·随州中考)如图所示，ΔABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则ΔBDC的周长是(　　) A.8B.9 C.10 D.11
解析:∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，又ΔBDC的周长为DB+BC+CD，∴ΔBDC的周长为AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故选C.
2.(2015·达州中考)如图所示，ΔABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F，连接CF.若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为(提示:等腰三角形的两个底角相等)(　　) A.48° B.36°C.30 D.24°
解析:∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°- 60°- 24°×2=72°，∵BC的垂直平分线交BD于点F，∴BF=CF，∴ΔBFC为等腰三角形，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°-24°=48°.故选A.
3.(2015·遂宁中考)如图所示，在ΔABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，ΔBCN的周长是7cm，则BC的长为(　 ) A.1cm B.2cm C.3cmD.4cm
解析:∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN=BN，∵ΔBCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC=7cm,∴AN+NC+BC=7cm，∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7cm，又∵AC=4cm，∴BC=7-4=3(cm).故选C.
4.如图所示，ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，ΔABD的周长为14cm，则ΔABC的周长为(　　) A.18cm B.22cm C.24cm D.26cm
解析:∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴ΔABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8(cm)，∴ΔABC的周长为AB+BC+AC=14+8=22(cm).故选B.
5.如图所示，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(提示:等腰三角形的两个底角相等)(　　) A.AB=ADB.∠ABC=∠ADCC.AB=BDD.ΔBEC≌ΔDEC
解析:∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，∴∠ABD=∠ADB，∠DBC=∠BDC，∴∠ABD+∠DBC=∠ADB+∠BDC，即∠ABC=∠ADC,EB=DE,在RtΔBCE和RtΔDCE中， ∴RtΔBCE≌RtΔDCE(HL).故选C.
6.如图所示，在ΔABC中，AB=AC，∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下列结论错误的是(提示:等腰三角形的两个底角相等，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形)(　　) A.BD平分∠ABCB.ΔBCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BCD.点D是线段AC的中点
解析:∵在ΔABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C= =72°，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°=∠ABD，∴BD平分∠ABC,故A正确；∴ΔBCD的周长为BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，故C正确；由题意知BD>CD，∴AD>CD，∴点D不是线段AC的中点，故D错误.故选D.
7.如图所示，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求ΔABD的周长.
解析:先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可求出ΔABD的周长.
解:∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，
∴ΔABD的周长为AB+BC=10+11=21(cm).
在这里,我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等进行证明.那么反过来,到线段两个端点距离相等的点是否一定都在线段的垂直平分线上呢?
给你已知线段a,以a为底边的等腰三角形有几个?如果用三角板和刻度尺,你能画出至少三个吗?
利用三角板、刻度尺作出线段的垂直平分线,在垂直平分线上取点,连接可得满足条件的等腰三角形.
活动一:线段垂直平分线性质定理的逆定理
与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?
已知:如图所示,P是线段AB外一点,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
证明:设线段AB的中点为O,连接PO并延长.
在ΔPOA和ΔPOB中,
∴ΔPOA≌ΔPOB(SSS)，∴∠POA=∠POB，
∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°.∴直线PO是线段AB的垂直平分线，∴点P在线段AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定方法:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.
[知识拓展]　(1)要证明某条直线是某条线段的垂直平分线,有两种证明方法:一是根据定义去证明;二是根据“两点确定一条直线”,证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.(2)根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线.
已知:如图所示,在ΔABC中，AB，AC的垂直平分线DP与EP相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上.
证明:如图所示,连接PA,PB,PC.
∵DP，EP分别是AB，AC的垂直平分线，∴PA=PB=PC，∴点P在BC的垂直平分线上.
　(做一做)已知:如图所示,在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，垂足为O. 求证:AO=OC,BO=OD.
证明:因为AB=BC，CD=AD，所以点B，D均在线段AC的垂直平分线上，直线BD是线段AC的垂直平分线，所以AO=OC，同理，BO=DO.
【拓展延伸】　三角形三边的垂直平分线交于一点.
如果一个点到一条线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上.符号语言:∵DA=DB,∴点D在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理).
到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.
1.如图所示，点D在ΔABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在(　　)的垂直平分线上. A.AB D.不能确定
解析:∵BC=BD+AD=BD+CD，∴AD=CD，∴点D在AC的垂直平分线上.故选B.
2.直线l外有两点A,B,若要在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点能找到(　　)A.0个 B.1个 C.无数个 D.0个或1个或无数个
①当直线l垂直于直线AB且不平分线段AB时,在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点有0个,②当直线l垂直平分线段AB时,在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点有无数个,③当直线AB与直线l不垂直时,在l上找一点,使这点与点A,B的距离相等,这样的点有1个.故选D.
3.如图所示,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A,B,C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠,应该蹲守在(　　) A.ΔABC三边垂直平分线的交点上B.线段AB上C.ΔABC三条高所在直线的交点上D.ΔABC三条中线的交点
解析:∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等,∴猫应该蹲守在ΔABC三边垂直平分线的交点上.故选A.
解:是.理由如下:∵AB=AC，BM=CM，∴点A，M都在线段BC的垂直平分线上.根据“两点确定一条直线”知直线AM是线段BC的垂直平分线.
4.如图所示，AB=AC，BM=CM，直线AM是线段BC的垂直平分线吗?
解析:根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”解答.
5.如图所示，在ΔABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证:E点在线段AC的垂直平分线上.
又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE,∴DE+EC=AE+DE，∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上.
证明:∵AD是ΔABC的高,∴AD⊥BC，又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，
〔解析〕　因为向三个村庄分别送水,三条输水管长度相同,所以水泵站应在AB,BC的中垂线的交点处.说明:那么如何用尺规作图的方法作出线段的中垂线呢?
如图所示,点A,B,C表示三个村庄,现要建一座深井水泵站,向三个村庄分别送水,为使三条输水管长度相同,水泵站应建在何处?请画示意图,并说明理由.
活动一:作线段的垂直平分线
要作出线段的垂直平分线,根据垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上,那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点,这样才能确定已知线段的垂直平分线.
我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线,现在我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定,能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?
如图所示，已知线段AB. 求作:线段AB的垂直平分线.
〔解析〕　由线段垂直平分线性质定理的逆定理可知,只要作出到这条线段端点距离相等的两点,连接这两个点,即得所求作的直线.
(1)分别以点A和点B为圆心，a( ) 为半径,在线段AB的两侧画弧,分别相交于点C，D.
(2)连接CD.直线CD即为所求.
我们曾用刻度尺找线段的中点,当我们学习了线段的垂直平分线的作法时,一旦垂直平分线作出,线段与线段的垂直平分线的交点就是线段的中点,所以我们也用这种方法找线段的中点.
活动二:经过一点作已知直线的垂线
如图所示,已知直线AB及AB外一点P. 求作:经过点P，且垂直于AB的直线.
〔解析〕　在直线AB上作出一条线段CD，使得点P在线段CD的垂直平分线上.再作出到点C，D距离相等的点Q，连接PQ，直线PQ即为所求.
作法:如图所示,以点P为圆心,适当长为半径画弧,交直线AB于点C,D.
(3)连接PQ.直线PQ即为所求.
(2)分别以点C,D为圆心,适当长为半径,在直线AB的另一侧画弧,两弧相交于点Q.
2.过一点作已知直线的垂线,由于已知点与直线可以有两种不同的位置关系:①点在直线外;②点在直线上,因此同学们在作图时要掌握这两种方法的区别.
1.根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理,只要找到两个到线段两端距离相等的点,那么过这两点就可以作出线段的垂直平分线.
1.利用尺规作线段MN的垂直平分线时,设以M，N为圆心所画弧的半径分别为RM，RN，则下列说法正确的是(　　)
A.RM与RN不一定相等,但必须RM > MN,RN > MN B.RM=RN> MNC.RM>RN> MND.RM=RN= MN
解析:根据作已知线段的垂直平分线的画法即可知B正确.故选B.
2.如图(1)所示，在河岸l的同侧有A，B两村,要在河边修一水泵站P，使水送到A，B两村所用的水管最短(两村不共用水管).另在河边修一码头Q，使其到A，B两村的距离相等，试画出P，Q所在的位置.
解析:点P为点A关于直线l的对称点和点B的连线与l的交点,点Q为线段AB垂直平分线与l的交点.
解:如图(2)所示，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P.连接AB，作线段AB的垂直平分线,交直线l于点Q.P，Q两点对应的位置就是所求的位置.
3.如图所示,请你在下列各图中,过点P画出射线AB或线段AB的垂线.
4.如图所示，已知钝角∠AOB，点D在射线OB上. (1)画直线DE⊥OB；(2)画直线DF⊥OA，垂足为F.
解:(1)如图所示.　(2)如图所示.
5.如图所示，已知ΔABC中，AB=2,BC=4. (1)画出ΔABC的高AD和CE；(2)若AD= ，求CE的长.
解:(1)如图所示.
6.画图并回答问题. (1)过点P画OA的垂线交OC于点B；(2)画点P到OB的垂线段PM；(3)指出上述作图中哪条线段的长度表示P点到OB的距离；(4)比较PM与OP的大小，并说明理由.
解:(1)如图所示. (2)如图所示.(3)PM的长度表示P点到OB的距离.(4)PM

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