高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示教案及反思，共10页。教案主要包含了空间向量的坐标运算，向量坐标求解直线关系等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
1、在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使。在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标
2、空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
3、设，是空间中任意两点，则，
，这是空间两点间的距离公式
知识典例
题型一 空间向量的坐标运算
例1 设，向量，，，则（ ）
A． B． C．3D．4
【答案】C
【分析】
根据，结合向量的坐标运算可求得参数的值，再结合向量的加法与模长运算即可求解
【详解】
，，，
故选：C.
巩固练习
1、已知点，向量，则点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设点，由点和点表示出向量，构造等式求解即可.
【详解】
设点，则向量，
所以，
所以点.
故选：D
2、（多选）对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则为单位向量
【详解】
对于A选项，因为，则，A选项正确；
对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；
对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.
故选：BD.
题型二 向量坐标求解直线关系
例 2 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
（1）求证：EF⊥CF；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求CE的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
建立空间直角坐标系，得出的坐标，由坐标运算得出的坐标，根据数量积公式证明EF⊥CF；由数量积公式求出与所成角的余弦值；再由模长公式得出CE的长.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz
则
所以
（1）证明：因为，所以，即EF⊥CF.
（2）因为
.
（3）
巩固练习
1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则____，EF=____.
【答案】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法得出，从而得出，最后由模长公式得出.
【详解】
以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系
设正方体棱长为1，则
.
故答案为：；
2、如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】
建立空间直角坐标系，表示，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】
如图
所以
所以异面直线与所成角的余弦值
故选：A
巩固提升
1、已知向量，，若，则__________
【答案】
【分析】
根据空间向量的加法和减法的坐标运算,可求得和,结合空间向量垂直的坐标关系,即可求得的值.
【详解】
向量,
则,
因为
所以,代入可得
即,解得
故答案为:
2、已知a、b是异面直线，且a⊥b，分别为取自直线a、b上的单位向量，且＝，，，则实数k的值为___.
【答案】6
【分析】
根据向量垂直其数量积为0，转化为基底的运算，即可得答案；
【详解】
由，得＝0，又分别为取自直线a、b上的单位向量，
∴()·()＝0，∴，∴.
故答案为：6.
3、在空间直角坐标系中，，为的中点，为空间一点且满足，若，，则（ ）
A．9B．7C．5D．3
【解析】设，，
，，，
由，
整理可得：，
由，得，
化简得，
以上方程组联立得，
则.
故选：D.
4、设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(C1A,\s\up6(→))＝a2B．eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(A1C1,\s\up6(→))＝eq \r(2)a2
C.eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(A1D,\s\up6(→))＝a2D．eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(C1A1,\s\up6(→))＝a2
【答案】 C
【解析】 建系如图．
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(C1A,\s\up6(→))＝(a,0,0)·(－a，－a，－a)＝－a2，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(A1C1,\s\up6(→))＝(a,0,0)·(a，a,0)＝a2，
eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(A1D,\s\up6(→))＝(0，a,0)·(0，a，－a)＝a2，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(C1A1,\s\up6(→))＝(a,0,0)·(－a，－a,0)＝－a2，故只有C正确．
5、正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心．若向量Aeq \(E,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，则实数x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝eq \f(1,2)
C．x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2) D．x＝eq \f(1,2)，y＝1
【答案】 C
【解析】Aeq \(E,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))=,所以x=y=eq \f(1,2)
6、平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))两两的夹角均为60°，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AA1,\s\up6(→))|＝3，则|eq \(AC1,\s\up6(→))|等于( )
A．5B．6
C．4D．8
【答案】 A
【解析】 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则eq \(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，|eq \(AC1,\s\up6(→))|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此|eq \(AC1,\s\up6(→))|＝5.故选A.
7、如图，，原点是的中点，点的坐标为，，，点在平面上，且，．
（1）求向量的坐标．
（2）求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）过作于，求得的值，得到点的坐标，进而求得的坐标；
（2）分别求得向量的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）过作于，
则，，
所以的坐标为，
又因为，所以．
（2）依题设有点坐标为，所以，，
则与的夹角的余弦值为．
向量表示
坐标表示
加法
减法
数乘
，
数量积
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
（）
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
（）
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
eq \r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))
夹角
cs＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))·\r(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋beq \\al(2,3)))