人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程教案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程教案，共14页。教案主要包含了直线方程，截距，两直线位置关系，中线所在的直线，定点问题，对称问题等内容，欢迎下载使用。
2.2 直线的方程 1、直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点＝与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距＋＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线  2、直线与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，与y轴的交点的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距。截距不是距离 3、两直线平行的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0). 4、两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.      题型一 直线方程例 1　求适合下列条件的直线方程：经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【答案】（1）（2）或【分析】（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线．（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.【详解】（1）已知，直线方程为化简得（2）由题意可知，所求直线的斜率为.又过点，由点斜式得，所求直线的方程为或 求下列直线方程：(1)求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程.(2)求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线方程.(3)求过，两点的直线的方程.【答案】（1）；（2）或；（3）.【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式方程即可得解；（2）按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解；（3）按照、分类，结合两点式方程即可得解.【详解】（1）设所求直线的斜率为，依题意，又直线经过点，∴所求直线方程为，即；（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为，将代入可得，解得，∴直线方程为；当直线过原点时，设直线方程为，则，解得，∴直线方程为，即；故所求直线方程为或；（3）①当时，直线的方程为；②当时，直线的方程为，即，∵时，代入方程，即为，∴直线的方程为.  题型二 截距例 2　已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数　　A．1 B． C．或1 D．2或1【答案】D【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案．【详解】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．故选D．  直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为        【答案】【分析】分别计算出直线的横截距和纵截距后可求三角形的面积.【详解】令可得；令可得，故所求三角形的面积为 题型三 两直线位置关系 例 3　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求下列直线l′的方程，l′满足：（1）过点(－1,3)，且与l平行；（2）过点(－1,3)，且与l垂直；【答案】(1)3x＋4y－9＝0;  （2）4x-3y+13＝0.【分析】（1）由直线平行可得直线斜率，进而由点斜式即可得解；（2）由两直线垂直可得斜率之积为-1，从而得斜率，进而利用点斜式即可得解.【详解】(1)∵l∥l′，∴l′的斜率为－ ∴直线l′的方程为：y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.     （2）l′的斜率为，∴直线l′的方程为：y－3＝(x＋1)，即4x-3y+13＝0.  已知点和直线．求：(1)过点与直线平行的直线方程；(2)过点与直线垂直的直线方程．【答案】（1）； （2）.【分析】(1) 由所求直线与直线平行，先设所求直线的方程是，再将点坐标代入即可求出结果；(2)由所求直线与直线垂直，先设出所求直线方程为，再将点坐标代入即可求出结果.【详解】(1)设所求直线的方程是，点在直线上，，，即所求直线方程是．(2)设所求直线的方程是，点在直线上，∴，，即所求直线方程是．  题型四 中线所在的直线例 4　已知的三个顶点分别为，，，则过点B将的面积平分的直线方程为（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】由中点坐标公式先求的中点坐标为，再利用直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：由，，则的中点坐标为，则过点B将的面积平分的直线过点，则所求直线方程为，即 ，故选D. 已知的三个顶点，，.（1）求边所在直线的方程；（2）求边上中线所在直线的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）由直线的两点式方程求解即可；（2）先由中点坐标公式求出中点的坐标，再结合直线的两点式方程求解即可.【详解】（1）因为，，由直线的两点式方程可得：边所在直线的方程，化简可得；  （2）由，，则中点，即，则边上中线所在直线的方程为，化简可得. 题型五 定点问题 例 5　直线方程kx－y+2－3k=0恒过定点（    ）A．（3，2） B．（2，3） C．（－3，2） D．（－2，3）【答案】A 【分析】将直线方程kx－y+2－3 k=0，转化为 求解.  【详解】因为直线方程kx－y+2－3 k=0， 即为 所以 ，  解得， 所以直线恒过定点（3，2）. 故选：A  直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点          【答案】【解析】【分析】先分离参数得到（x-3）k+1-y=0，再解方程组即得直线所经过的定点.【详解】由题得（x-3）k+1-y=0，所以，解之得x=3,y=1,所以直线过定点（3,1）.   题型六 对称问题 例 6　已知直线l：x＋y－2＝0，一束光线从点P(0,1＋)以120°的倾斜角投射到直线l上，经l反射，求反射光线所在的直线方程．【答案】x＋y－(1＋)＝0【分析】根据题意求出入射光线所在直线的方程，解方程组可得入射光线与直线的交点坐标Q(1,1)，然后根据反射原理得到点P关于直线y＝x（过Q与直线垂直的直线）的对称点P′(＋1,0)在反射光线所在直线上，最后根据两点式方程可得所求．【详解】如图，设入射光线与交于点Q，反射光线与x轴交于点P′，由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为－ ，又入射光线过点P(0,1＋)，∴入射光线所在的直线方程为，即x＋y－(1＋)＝0．解方程组 得,所以点Q的坐标为(1,1)．过点Q作垂直于的直线l′，显然l′的方程为y＝x．由反射原理知，点P(0,1＋)关于l′的对称点P′(＋1,0)必在反射光线所在的直线上．所以反射光线所在直线的方程为，即x＋y－(1＋)＝0． 一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．【详解】由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B. 1、若直线与直线平行，则（）A． B． C．或2 D．或【答案】B【分析】因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a的取值，再根据取值情况，检验是否重合.【详解】解：因为直线与直线平行，所以，解得：或，检验：当时，两直线重合，不成立，所以.故答案为B.2、经过点（，2），倾斜角为60°的直线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可【详解】由直线的倾斜角为，得到直线的斜率又直线过点则直线的方程为故选3、设直线在轴上截距为，在轴上的截距为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由截距的定义，分别求出直线在x轴和y轴的截距即可.【详解】由直线令 令 即故选B4、下面说法正确的是（    ）.A．经过定点的直线都可以用方程表示B．不经过原点的直线都可以用方程表示C．经过定点的直线都可以用方程表示D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示【答案】D【分析】根据点斜式、截距式、斜截式法、两点式方程特征逐一分析判断.【详解】经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以A错；不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B错；经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以C错；当时，经过点的直线可以用方程即表示，当时，经过点的直线可以用方程，即表示，因此经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，所以D对；故选：D5、若直线和直线互相垂直，则(    )A．或 B．3或1 C．或1 D．或3【答案】C【分析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为直线和直线互相垂直，所以，解方程可得或，故选C.6、（多选）下列说法正确的是（    ）A．直线必过定点B．直线在轴上的截距为C．直线的倾斜角为60°D．过点且垂直于直线的直线方程为【答案】ABD【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.【详解】可化为，则直线必过定点，故A正确；令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；设过点且垂直于直线的直线的斜率为因为直线的斜率为，所以，解得则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；故选：ABD7、若直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则实数m的取值范围为________．【答案】，或【分析】先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】解：令,得，令,得，由直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则，解得或，故实数的取值范围为或.8、倾斜角为直线的倾斜角的一半且经过点的直线方程为_____．【答案】【分析】由直线的斜率可知倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，由点斜式可求得直线方程．【详解】直线y＝－x＋1的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率为．又直线过定点（-4，1），由点斜式可得直线方程为9、已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点__________【答案】.【分析】利用（ax+by+c）+λ（mx+ny+p）=0 过定点即ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交点，解方程组求得定点的坐标．【详解】直线（3k﹣1）x+（k+2）y﹣k=0即﹣x+2y+k（3x+y﹣1）=0，由，得 x=，y=，故定点的坐标为（，），故答案为：（，）． 10、直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数______.【答案】12【分析】求出横截距和纵截距，根据题设条件得到关于的方程，解方程后可得实数的值.【详解】令，则；令，则，故，解得.故答案为：. 11、设光线l从点出发，经过x轴反射后经过点，则光线l与x轴交点的横坐标为______，若该入射光线l经x轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为______．【答案】        【分析】首先，根据光线从点射向x轴，得到其关于x轴的对称点，然后根据反射光线的反向延长线经过和，得到直线，即得光线与x轴的交点.由入射角是60°可得折射角是30°，且光线经过，由直线的点斜式可得直线方程，以此得出纵截距.【详解】点关于x轴的对称点为，则直线 : 与x轴交于点 ，所以光线与x轴的交点为;由入射角是,得折射角是，且光线经过,得出折射光线所在直线方程为，所以纵截距为. 12、根据下列条件，求直线的一般方程：（1）过点且与直线平行；（2）与直线垂直，且在两坐标轴上的截距之和为.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据平行关系可设直线为：，代入点可求得结果；（2）假设直线的截距式方程，根据垂直关系和截距之和可求得截距，整理可得直线一般式方程.【详解】（1）设所求直线方程为：则    所求直线方程为：（2）设直线方程为：由题意可得：，解得：所求直线方程为：，即：