初中数学冀教版八年级上册17.1 等腰三角形说课课件ppt

这是一份初中数学冀教版八年级上册17.1 等腰三角形说课课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了观察思考，ABAC，同一条线，知识拓展，得∠B∠C，由ACBC，得∠A∠B，∠A∠ABD，课堂小结，∴∠BDA90°等内容，欢迎下载使用。

如图所示，哪些是轴对称图形？什么是轴对称图形？什么样的三角形才是轴对称图形？
　 如图所示,把一张长方形纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的△ABC有什么特点?
复习旧知什么是等腰三角形？
有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
如图所示,在△ABC中,若AB=AC,则△ABC是等腰三角形,AB,AC是腰,BC是底边,∠A是顶角,∠B和∠C是底角.
如图所示, △ABC是等腰三角形,其中AB=AC.(1)我们知道线段BC为轴对称图形,中垂线为它的对称轴,由AB=AC,可知点A在线段BC的中垂线上.据此,你认为△ABC是轴对称图形吗?如果是,对称轴是哪条直线?
(2)∠B和∠C有怎样的关系?
(3)底边BC上的高、中线及∠A的平分线有怎样的关系?
性质1　等腰三角形的两个底角相等 (简称“等边对等角”).
等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常用方法.
性质2　等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).
　如图所示,在△ABC中,AB=AC.求证∠B=∠C.
证明:作BC边上的中线AD,如图所示, 则BD=CD,
AD=AD，AB=AC，BD=CD，
所以△ABD≌△ACD(SSS),所以∠B=∠C.
这样,就证明了性质1.类比性质1的证明你能证明性质2吗?
在△ABC和△ACD中，
由△ABD≌ △ACD,还可得出
∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°.
从而AD⊥BC,这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线平分顶角∠A并垂直于底边BC.
说明:经过以上证明也可以得出等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.
等腰三角形还有以下性质:
(1)等腰三角形两腰上的中线、高线相等;
(2)等腰三角形两个底角平分线相等;
(3)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
已知:如图所示,在△ABC中,AB=BC=AC. 求证:∠A=∠B=∠C=60°.
证明:在△ABC中,由AB=AC,
所以∠A=∠B=∠C.由三角形内角和定理可得∠A=∠B=∠C=60°.
等边三角形是特殊的等腰三角形,除了具有等腰三角形的性质外,等边三角形还具有自己特有的性质:
(1)等边三角形有三条对称轴(等边三角形三条边都相等,都可以作为底边);
(2)作等边三角形各边的高线、中线、各角的平分线一共有三条.
例1：已知:如图所示,在△AB中,AB=AC,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线. 求证:BD=CE.
〔解析〕根据角平分线定义得到∠ABD= ∠ABC,∠ACE= ∠ACB,再根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB,从而得到∠ABD=∠ACE,然后通过ASA证得△ABD≌△ACE,就可以得到BD=CE.
例2：(补充)如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC中各角的度数.
〔解析〕根据等边对等角的性质,可得∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A .再由三角形内角和为180°,就可求出△ABC的三个角的度数.
解:因为AB=AC,BD=BC=AD,
所以∠ABC=∠C=∠BDC,
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
在△ ABC中,∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
解得x=36°.所以∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
1.等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).注意:等边对等角只限于在同一个三角形中使用.
2.等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).说明:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(底边上的高、顶角平分线)所在的直线是它的对称轴.
3.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.
1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为(　　) A.40° B.50° C.60° D.70°
解析:因为等腰三角形的两个底角相等,顶角是40°,所以其底角为 (180°-40°) =70°.故选D.
2.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为(　　)A.17 B.15 C.13 D.13或17
解析:①当等腰三角形的腰为3,底边为7时,3+3<7,不能构成三角形;②当等腰三角形的腰为7,底边为3时,周长为3+7+7=17.故这个等腰三角形的周长是17.故选A.
3.如图所示,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC等于(　 ) A.30°B.20°C.25°D.15°
解析:∵ △ABC是等边三形,∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°,∵AD是△ABC的中线,∴∠DAC= ∠BAC=30°,AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵AE=AD,∴∠ADE=∠AED= (180°-∠DAC)=75°,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
4.如图所示,l∥m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所成的锐角为20°,则∠α的度数为(　　) A.60°B.45°C.40°D.30°
解析:如图所示,过C作CE∥直线m,∵l∥m,∴l∥m∥CE,∴∠ACE=∠α,∠BCE=∠CBF=20°∵ △ ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°,∴∠α=40°.故选C.
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是　　　　. 
解析:∵在△ABC中,AB=AC,∴ △ABC是等腰三角形,又∵AD⊥BC于D,∴BD=CD.∵AB=6,CD=4,∴ △ABC的周长=6+4+4+6=20.故填20.
6.如图所示,在△ABC中,∠A=70°,AB=AC,CD平分∠ACB.求∠ADC的度数.
解析:由AB=AC及顶角∠A的度数,利用等边对等角得到两底角相等,再利用三角形内角和定理求出底角的度数,再由CD为底角的平分线,求出∠DCB的度数,由∠ADC为三角形BCD的外角,利用外角性质即可求出∠ADC的度数.
解:∵在△ ABC中,∠A=70°, AB=AC,
∴∠B=∠ACB= (180°-70°) =55°,
又∵CD平分∠ACB,
∴∠DCB=∠ACD=27.5°,
∵∠ADC为△BCD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠DCB=82.5°.
7.如图所示,等边三角形ABC中,D为AC边的中点,过C作CE∥AB,且AE⊥CE,那么∠CAE=∠ABD吗?请说明理由.
解析:根据△ABC为等边三角形,D为AC边上的中点得到AC=BA,∠BAC=∠BCA=60°,BD⊥AC,求出∠BDA=90°,由CE∥AB得∠ACE=∠BAD,利用三角形内角和定理得出∠CAE=∠ABD.
解:∠CAE=∠ABD,理由如下:
∵ △ ABC为等边三角形,D为AC边上的中点,
∴AC=BA,∠BAC=∠BCA=60°,BD⊥AC,
∵AE⊥CE,∴∠AEC=∠BDA=90°,
∴∠ACE=∠BAD,
∴180°-90°-∠ACE=180°-90°-∠BAD,∴∠CAE=∠ABD.
对于一个三角形,怎样判定它是不是等腰三角形呢?
想一想： 已知在△ABC中,∠B=∠C.(1)请你作出∠BAC的平分线AD.(2)将△ABC沿AD所在直线折叠,△ABC被直线AD分成的两部分能够重合吗?(3)由上面的操作,你是否发现了 边AB和边AC之间的数量关系?
(1)在这一问题中,条件和结论是什么?
已知:在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.
证明:如图所示,作△ABC的角平分线AD.
∠1=∠2,∠B=∠C, AD=AD,
在△BAD和△CAD中,
∴△BAD≌△CAD(AAS),
(2)用数学符号怎样表示?
归纳等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形,其中,两个相等的角所对的边也相等.简称“等角对等边”.
说明:三角形的“两边相等”和“两角相等”都是指在同一个三角形中才能得到“等边对等角”及“等角对等边”.“等边对等角”是性质,“等角对等边”是判定方法.
如果一个三角形一边上的高、中线和这条边所对的角的平分线中有任意两条线段互相重合,那么这个三角形就是等腰三角形,这种方法是补充的一种方法,可以帮助我们解题时找思路,而在实际的解题过程中往往要转化为判定方法来解决.线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质也可以判断相等,从而进一步说明三角形是等腰三角形.
证明:∵AD∥BC,∴∠1=∠B(　 　),∠2=∠C( 　　　　　 　),∵∠1=∠2,∴∠B=∠C.∴AB=AC(　　　　　 ).
　 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC(如图所示). 求证:AB=AC.
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
解析:要证明AB=AC,可以证明∠B=∠C.因为∠1=∠2,所以可以设法找出∠B,∠C与∠1,∠2的关系.
　 例：已知底边及底边上的高,用尺规作等腰三角形.如图所示,已知线段a和h.求作等腰三角形ABC,使BC=a,高AD=h.
解:作法:(1)作线段BC=a.
(2)作线段BC的垂直平分线MD,垂足为点D.
(3)在DM上截取DA=h.
(4)连接AC,BC.
则△ABC就是所求作的等腰三角形.如图(2)所示.
1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的角所对的边相等.(简称“等角对等边”)
说明:(1)等腰三角形的判定定理与性质定理互逆;(2)在判定定理的应用中,可以作底边上的高,也可以作顶角平分线,但不能作底边上的中线;(3)判定定理在同一个三角形中才能适用.
2.等边三角形的判定定理 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形. (2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC边 上, ∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中等腰 三角形的个数是(　　) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
解析:∵AB=AC,∠ABC=36°,∴∠ACB=36°,∠BAC=108°,∵∠DAE=∠EAC=36°,∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°∴∠ADE=∠AED=72°,∴△ABC, △ABD, △ADE, △ACE, △ACD, △ABE均是等腰三角形,共有6个.故选C.
2.如图所示,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N与灯塔P的距离为(　　) A.40海里 B.60海里C.70海里 D.80海里
解析:MN=2×40=80(海里),由题意知∠M=70°,∠N=40°,∴∠NPM=180°-∠M-∠N=180°- 70°- 40°=70°,∴∠NPM=∠M,∴NP=MN=80海里.故选D.
3.如图所示,E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形C.不等腰三角形 D.不能确定形状
解析:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC.∵∠1=∠2,BE=CD,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°,∴△ADE是等边三角形.故选B.
4.已知△ABC中，AB=AC,下列结论：
（1）若AB=BC,则△ABC是等边三角形；（2）若∠A=60°,则△ABC是等边三角形；（3）若∠B=60°,则△ABC是等边三角形.其中正确的有 （ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:因为AB=AC,AB=BC,所以AB=AC=BC,所以△ABC是等边三角形，所以（1）正确；因为AB=AC, ∠A=60°,所以△ABC是等边三角形，所以（2）正确；因为AB=AC∠B=60°，所以△ABC是等边三角形，所以（3）正确.正确的有3个.