2021学年5.1 二次根式学案及答案

这是一份2021学年5.1 二次根式学案及答案，共19页。学案主要包含了归纳总结，课堂展示，当堂检测等内容，欢迎下载使用。

5.1 二次根式
学习目标：
1. 了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2. 掌握二次根式有意义的条件。
3. 掌握二次根式的基本性质：≥0（≥0）和()=(≥0).和
重点：理解并掌握二次根式有意义的条件。
预习导学——不看不讲
学一学：自主预习教材P155~P1157的内容，完成下面各题。
1. 每一个正实数有且只有_______个平方根，其中一个平方根是_______,记作_______,称它为的算术平方根,另一个平方根是_________。
2. 0的平方根是_________，记作，=_________。
3. 我们把形如________(≥0)的式子叫做二次根式。
4. 二次根式有意义的条件是__________，是一个_________数。
知识点一：二次根式的概念及二次根式有意义的条件


选一选：已知各式：①, ②, ③, ④(≥0), ⑤
⑥(≥2),⑦ , ⑧(>0);是二次根式的有______________________.
议一议：当是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？

【归纳总结】
1.形如_________的式子叫做二次根式。“”称为___________，“”下的数叫做______________。
2.二次根式的两个要求：⑴必须含有___________，即根指数为_______；⑵在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是____________。
3.二次根式有意义的条件：由算术平方根的意义可知，当≥0时，有意义，是二次根式。所以要使二次根式有意义，只要使____________为非负数。
知识点二：二次根式的性质









填一填：1.=_______,利用这个性质可以求二次根式的平方，如=________; =_______=____________.
利用这个性质可以把每一个非负数都写成平方的形式。
2.教材P157做一做内容。(直接填在教材上）
3.=______(≥0), 想一想：当，=_______. 即=_________
【课堂展示】
1.计算：⑴ ⑵ ⑶ ⑷



合作探究——不议不讲
互动探究：已知=0，求和的值。
【解】



展示提升：当是怎样的实数时，代数式有意义？
【解】



【当堂检测】：
1.(20分)下列代数式中是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.(20分)当是怎样的实数时，二次根式有意义？


3.计算：（415分）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷





课后反思

5.1 二次根式的化简（一）
学习目标：
1. 理解并掌握积的算术平方根的性质：=·（≥0，≥0）.
2. 利用积的算术平方根的性质化简二次根式。
重点：积的算术平方根的性质在二次根式化简中的应用。
难点：将二次根号下的平方因子正确地移出根号。
预习导学——不看不讲
学一学：自主预习教材P157~P159的内容，完成下列各题。
1. 用式子表示积的算术平方根的性质：=__________(≥0，≥0).
2.化简 =___________, (≥0，≥0)=_________.
知识点一：积的算术平方根的性质



学一学：利用积的算术平方根的性质化简下列二次根式。
⑴ ； ⑵ ； ⑶ （≥0,≥0）； ⑷ (≥0).





议一议：化简二次根式的一般步骤是什么？

【归纳总结】
⑴ 将被开方数分解，化成______的形式。
⑵ 选出被开方数中的_________________.
⑶ 利用积的算术平方根性质和二次根式的性质直接把根号下的每一个__________去掉平方号以后移到根号外(注意：移到根号外的数必须是___________).
知识点二： 二次根式的化简



【课堂展示】
1. 化简下列二次根式：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷




2. 设≥0，≥0,化简下列二次根式：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷






合作探究——不议不讲
互动探究：当<0时，化简二次根式.
【解】





展示提升：某小区有一块长方形绿地，经测量绿地的长为40米，宽为20米，现准备沿对角线引两条通道，求每条通道的长？
【解】





【当堂检测】：
1. 化简下列二次根式,其中 （420分）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷



2. 设，化简二次根式. (20分）


课后反思

5.1 二次根式的化简（二）
学习目标：
1. 知道最简二次根式的特点。
2. 能应用“积的算术平方根的性质”化简根号内含有分母的二次根式。
3. 能应用二次根式和积的算术平方根的性质解决简单的实际问题。
重点：根号内含有分母的二次根式的化简。
预习导学——不看不讲
学一学：自主预习教材P158~P159的内容，完成下列各题。
1.化简=_____________; =_____________; =_____________;
=_____________; =_____________.
知识点一 ：被开方数含分母的二次根式的化简


学一学：阅读教材P158例5。回答下列问题。
⑴ ； ；为什么不是最简二次根式？如何化简呢？
⑵ 当>0时， 对吗？X|k |B| 1 . c|O |m
议一议：如何将被开方数的分母全部转化平方因子？

【归纳总结】化简二次根式时，如果根号下是分数，我们可以把分子中的每一个__________去掉__________后移到根号外，放在____________的位置；把分母中的每一个___________去掉__________后移到根号外，放在_________的位置。
练一练：化简下列二次根式：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ （x≥0,y>0）






知识点二：最简二次根式







说一说：最简二次根式应有如下两个特点：（1）被开方数中不含________________的因数或因式; ⑵ 被开方数不含__________.
一般地，在二次根式的运算中，最后结果通常要求化成_________二次根式。
【课堂展示】1.下列二次根式中最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 把下列各个二次根式化为最简二次根式（其中>0,≥0）
① ② ； ③ ④



合作探究——不议不讲
互动探究：是不是最简二次根式。 x的取值范围 什么？




展示提升：化简下列二次根式，其中>0,>0.
⑴ ⑵
【解】



【当堂检测】：把下列各式化简，其中（425分）
⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷









5.2 二次根式的乘法
学习目标：
1. 掌握二次根式的乘法法则:
2. 熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
重点：理解并掌握二次根式的乘法法则。
预习导学——不看不讲
学一学：预习教材P161~P162的内容。
说一说：积的算术平方根的性质是什么？ 把这个公式从右到左写写看：_____________=,能当公式用吗？
知识点一： 二次根式的乘法


学一学：阅读教材例1、例2，你还有问题吗？计算：相信你行。
⑴ ⑵ ⑶




议一议：1.乘法运算律和乘法公式在二次根式运算中仍然适用吗？
2.二次根式的运算结果要注意什么？
【归纳总结】1.二次根式的乘法法则是：，语言叙述为两个二 次根式相乘，把_____________相乘，根指数不变。
2.二次根式的运算结果一定要化简，化简时，通常是先把根号下的每个数分解因数, 然后把每一个_______________去掉平方号后移到____________外。
3.乘法运算律和乘法公式在二次根式运算中仍然_______________.
【课堂展示】1.下列计算错误的是（ ）

A. B.
C. D.
2. 计算下列各题,其中。
⑴ ； ⑵ ； ⑶·2 ； ⑷



合作探究——不议不讲
互动探究一：设计算：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【解】






互动探究二：已知矩形的一边长=㎝，邻边长=㎝，求矩形的面积和对角线的长。
【解】



展示提升：计算：⑴ ⑵ ⑶
【解】







【当堂检测】：计算：（425分）
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷






课后反思



5.2 二次根式的除法
学习目标：
1. 掌握二次根式根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2. 能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
重点：运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的除法运算及化简。
预习导学——不看不讲
学一学：预习教材P162~P164的内容.
说一说：实数互为倒数是什么意思？有何条件？一个非零实数有几个倒数？
知识点一：商的算术平方根的性质:
填一填：由于______ ，______，所以_______和_______都是的倒数，因此_______=_________. 一般地，如果>0，则.


学一学：:设>0，0，则
__________=______=，即（>0,0）.
议一议：上式中为什么规定?如何用文字语言描述商的算术平方根的性质？
选一选：当时，=_________(① ②)
填一填：____________;_____________;________________;
知识点二：二次根式的除法运算：


学一学：阅读教材P163例4、例5、 例6，提出疑问。想想还有其它方法吗？

计算：看你水平如何！
⑴ =__________; ⑵ 3=__________________________________;

【归纳总结】
二次根式的除法法则：二次根式相除，把______________相除，根指数不变，用式子表示为____________________.注意：二次根式的运算结果一定要进行化简，化成最简二次根式。

【课堂展示】1.计算：⑴ ⑵ ⑶ ⑷

X k B 1 . c o m




合作探究——不议不讲

互动探究：求下列各式当时的值：⑴ ⑵
【解】



【当堂检测】：1.设计算：⑴ ⑵






2.化简：⑴ ⑵ ⑶






课后反思


5.3 二次根式的加、减法
学习目标：
1. 知道二次根式加减运算首要步骤是把各个二次根式化简，然后才加减。
2. 掌握二次根式加减的法则：把被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变。
重点：二次根式加减运算法则的形成与应用。
预习导学——不看不讲
学一学：自主阅读教材P167---168的内容。
说一说：1、计算
（ =.
2、 上式中第一个等号成立的理由是：实数的运算满足乘法对加法的__________.
3、思考p167动脑筋提出的问题。
知识点一： 被开方数相同的二次根式的加、减法


学一学：阅读教材P168的例题，回答下列问题。
1. 二次根式的加、减运算需要运用实数的加法_________、_________，以及乘法对于加法的__________.
2. 的系数是__________,的系数是__________,的系数是___________,
的系数是______________.
议一议：被开方数相同的二次根式的加减法容易吗？与整式加减法的合并同类项相类似吗？
【归纳总结】被开方数相同的二次根式的相加减，只要将系数相______,被开方数_______.
议一议：被开方数不相同的二次根式能加、减（合并）吗？
知识点二：二次根式的加、减法


二次根式的加减运算记住：先________,再加、减。
填一填：⑴ 化简__________;=__________;=___________;
⑵ _______=_______=_____=(______)=_____
⑶ =_______________________=__________.
【归纳总结】二次根式的加、减的运算，首先要把每个根式_______,然后再把__________相同的二次根式的______相加、减，___________不变。
补充概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫作同类二次根式。

强调：二次根式的加、减要先化简，再加、减。
议一议：____,______,______,______,________.

【课堂展示】计算；⑴ ⑵ ⑶




合作探究——不议不讲
互动探究一：计算：⑴ ⑵ 【解】



互动探究二：计算下列各题：
⑴； ⑵； ⑶ 【解】



展示提升：当=4时，求代数式的值。
【解】



【当堂检测】：1.(20分)下列二次根式中与可以合并的是( )
A. B. C. D.
1. 计算(20分4):
⑴ ⑵

⑶ ⑷

5.3 二次根式的混合运算
学习目标：
1. 理解运算律和运算顺序在二次根式的混合运算中仍然适用。
2. 会进行二次根式的混合运算。
3. 会利用平方差公式化简形如的代数式。
重点：二次根式混合运算的顺序以及运算律的应用。
预习导学——不看不讲
学一学：阅读教材P169~P171的内容，解决下列问题：
说一说：1.在梯形面积的计算中，包含二次根式的哪几种运算？按什么顺序运算的？
2.计算过程中，每步的依据是什么？
填一填：1.去括号：⑴（)=____________; (m+n)()=____________________;
=____________; ____________________;
⑵ 平方差公式：（）（）=__________; =____________;
⑶ 完全平方公式：=_________________; =________________;
=_______________=_________; =_______________=__________;
2.实数的运算顺序：先算_______,再算________,最后算_______;有括号的先算________.
3.运算律：实数的加法有________律、________律，乘法有________律、_________律以及乘法对加法的___________律。以上都适用于二次根式的运算。
知识点一： 二次根式的混合运算


学一学：教材P170例3例4的内容，你还有问题吗？
计算：① =_____________________________;
② =_______________________________________________;
议一议：二次根式的化简在运算中的作用？新|课 |标| 第 |一| 网
【归纳总结】① 二次根式的混合运算是根据实数的运算顺序和____________灵活进行的。
② 二次根式的和相乘，与多项式的乘法相类似。我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二次根式的和相乘的运算。二次根式的运算结果，一定要进行化简.

【课堂展示】计算：⑴ ⑵


⑶ ⑷



合作探究——不议不讲
互动探究一：阅读教材P171例5，解答下列问题：
分析：① 式子和都是_______形式，分母分别是_________和__________.
② 如何去掉这些分母中根式符号又使原分数值不变？
③ 在解决②的过程中运用了_________的性质，还运用了_________公式。
互动探究二：计算： ⑴ ； ⑵
【解】



展示提升：解下列二元一次方程组：新-课 -标-第- 一-网
⑴ ⑵
【解】



【当堂检测】：计算(20分5):⑴ ； ⑵ ；


⑶ ； ⑷ ； ⑸



对于二次根式的混合运算，你有了那些经验？

二次根式的复习课
学习目标：
1. 通过对本章知识的回顾与小结，形成系统的知识结构。
2. 熟练掌握二次根式的化简及二次根式的概念和性质的应用。
重点：二次根式性质的应用及其混合运算。
预习导学———不看不讲
学一学：阅读教材P173小结与复习，补全知识结构图：

补充：1.最简二次根式必须满足的两个条件是：
⑴________________________________________________;
⑵______________________________________________.
2. 在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：移到根号外的数必须是__________).
3. 一般地，在二次根式的运算中，最后结果通常要求化成______________.
4. 二次根式的和相乘，类似于__________的乘法运算，注意利用乘法公式。
课堂展示：一、填空：
1.式子：、、、、、中，一定是二次根式的有_________.
2.要使二次根式有意义，那么的取值范围是___________.
3.化简：=________； =____________， =___________。
4.计算：① _________; ② ___________
③ __________; ④ =___________
⑤ ________; ⑥ ____________
二.先化简再求值：






合作探究——不议不讲
互动探究一：是否存在实数与使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
【解】






互动探究二：阅读下题的解答过程，请判断是否正确。若不正确，请写出正确的解答。
已知为实数，化简.
解答：
【解】






当堂检测：教材P174复习题四组

二次根式测试卷
一、 选择题：（每小题3分，共24分） 得分____________
1. 下列运算正确的是（ ）
A B C D
2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A B C D
3. 如果是二次根式，那么应满足的条件是（ ）
A B C D
4. 如果是二次根式，则、应满足的条件是（ ）
A B C D
5. 如果，那么等于（ ）
A B C D
6. 二次根式化简的结果是（ ）
A B C D
7. 的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）
A B C D
8. 对于二次根式，以下说法不正确的是（ ）
A.它是一个正数。 B. 它是一个无理数。 C. 它是最简二次根式。 D.它的最小值5.
二、 填空题：（每小题3分，共24分）
9. 当________时，二次根式有意义。
10. 梯形的上底为，下底为，高为，则梯形的面积为____________。
11. 如果两个最简二次根式能合并，那么________。
12. 计算：；=__________.
13. 如果为正数，为整数，则的最大值为_____,此时 的=______.
14. 已知：，则的值等于_________.
15. 若，则=__________.
16. 已知，化简二次根式的正确结果是__________.
三、 解答题：（第17,18题每小题6分；第19,20各8分；共52分）X k B 1 . c o m
17. 计算：① ②



③ ④


18. 化简：⑴ ⑵




19. 若有意义，求应满足的条件。




20. 已知是ΔABC的三边长，
化简：