初中数学中的几何证明题型：一、截长补短类型

这是一份初中数学中的几何证明题型：一、截长补短类型，共31页。
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．
求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD．
变式练习>>>
1. 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.
例题2. 已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，
CD，BC的数量关系，并说明理由．
变式练习>>>
2. 已知：△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分
∠CDE．
变式练习>>>
3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．
例题4. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为
；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若ACE＝135°，求线段AE长度的最大值．
例题5.在△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；
（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．
①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；
②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．
例题6. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．
达标检测 领悟提升 强化落实
1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB+BD，求∠ABC的度数．
2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.
3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠
NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加
以证明．
4. 如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE．
（1）若∠D＝105°，∠DAF＝35°．求∠FAE的度数；
（2）求证：AF＝CD+CF．
5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG＝AD，连
结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．
（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB＝2FB，求FG的长；
（2）求证：AE+BF＝AF．
6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，连接AC，BD交于点E．
（1）若BC＝CD＝2，M为线段AC上一点，且AM：CM＝1：2，连接BM，求点C到BM的距离．
（2）证明：BC+CD＝AC．
7. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连
接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．
（1）若AE＝2，求EF的长；
（2）求证：PF＝EP+EB．
参考解析
例题1. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．
求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD．
【解答】证明：如图所示：
（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵AB∥CD，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥CE．
（2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF．
在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴∠A=∠5．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠5+∠D=180，
∵∠5+∠6=180°，
∴∠6=∠D，
在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），
∴CF=CD．
∵BC=BF+CF，
∴BC=AB+CD，
例题2. 已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．
【解答】解：在BC上取点G使得CG=CD，
∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，
∴∠BOE=∠COD=60°，
∵在△COD和△COG中，，
∴△COD≌△COG（SAS），
∴∠COG=∠COD=60°，
∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，
∵在△BOE和△BOG中，，
∴△BOE≌△BOG（ASA），
∴BE=BG，
∴BE+CD=BG+CG=BC．
变式练习>>>
2. 已知：△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【解答】解：AB=BD+CD，
理由是：延长CD到E，使DE=BD，连接AE，
∵∠ADB=90°﹣∠BDC，
∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣，
∴∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，
∵AB=AC，
∴AE=AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．
例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分
∠CDE．
【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，
∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，
∴CD=FD，
∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AEF，
在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC=AF，
在△ACD和△AFD中，，
∴△ACD≌△AFD（SSS）
∴∠ADC=∠ADF，
即AD平分∠CDE．
变式练习>>>
3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是
CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．
【解答】解：CN=MN+BM
证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，
在△MBD和△ECD中，，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，
又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）
=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）
=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MND与△END中，
，
∴△MND≌△END（SAS），
∴MN=NE，
∴CN=NE+CE=MN+BM．
例题4. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为
AE=AB+DE ；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是 10+4． （直接写出答案）．
【解答】解：（1）AE=AB+DE；
（2）猜想：AE=AB+DE+BD．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°．
∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．
∴△FGC是等边三角形．∴FG=FC=BD．
∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+BD．
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．
∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．
∵△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE
∵CB=CD，∴CG=CF
∵∠ACE=135°，
∴∠BCA+∠DCE=180°﹣135°=45°．
∴∠FCA+∠GCE=45°．
∴∠FCG=90°．
∴△FGC是等腰直角三角形．∴FC=BD．
∵BD=8，∴FC=4，∴FG=4．
∵AE=AB+4+DE．
∵AB=2，DE=8，∴AE≤AF+FG+EG=10+4．
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．
故答案为：10+4．
例题5.在△ABC中，∠BAC=90°．
（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；
（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．
①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；
②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．
【解答】解：（1）如图1：；
（2）①DF+FH=CA，
证明：如图2，过点F作FG⊥CA于点G，
∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，
∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，
∴四边形HFGA为矩形．
∴FH=AG，FG∥AB，
∴∠GFC=∠EBC，
∵直线l是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
由（1）和平移可知，
∠ECB=∠EBC=∠GFC，
∠FDC=∠A=90°，
∴∠FDC=∠FGC=90°．
∵在△FGC和△CDF中
∴△FGC≌△CDF，
∴CG=FD，
∴DF+FH=GC+AG，
即DF+FH=AC；
②解：FH﹣DF=AC，
理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，
∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，
∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，
∴四边形ACGH为矩形．
∴AC=GH，CG∥AB，
∴∠GCF=∠EBC，
∵直线l是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，
∴∠GCF=∠FCD，
由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，
∴∠FDC=∠FGC=90°．
∵在△FGC和△CDF中
∴△FGC≌△CDF，
∴FG=FD，
∵FH﹣FG=GH，
∴FH﹣DF=AC．
例题6. 如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．
【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直线l⊥AO于H，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠ANH=∠AEH，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是线段NC的中垂线，
∴DN=DC，
∴∠DNH=∠DCH，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDN，
∴BN=DN，
∴BN=DC；
（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：
由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，
∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，
∴∠CGE=∠AEN，
∴CG=CE，
∵M是BC中点，
∴BM=CM，
在△BNM和△CGM中，，
∴△BNM≌△CGM（ASA），
∴BN=CG，
∴BN=CE，
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；
（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：
当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：
由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；
当点M在BC的延长线上时，CD=BN﹣CE；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：
同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN﹣CE；
当点M在CB的延长线上时，CD=CE﹣BN；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：
同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE﹣BN．

达标检测 领悟提升 强化落实
1. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数．
【解答】解：如图，在AC上截取AE=AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△AED中，，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD=DE，∠B=∠AED，
∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，
∴CE=BD，
∴CE=DE，
∴∠C=∠CDE，
即∠B=2∠C，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴60°+2∠C+∠C=180°，
解得∠C=40°，
∴∠ABC=2×40°=80°．
2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.
3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．
【解答】解：探究结论：BM+CN=NM．
证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
即∠ABD=∠DCE=90°，
∴在△DCE和△DBM中，
∴Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS），
∴∠BDM=∠CDE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∴∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE（上面已经全等）
在△DMN和△DEN中
∵
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴BM+CN=NM．
4. 如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．
（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；
（2）求证：AF=CD+CF．
【解答】（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，
∴∠DFA=180°﹣∠D﹣∠DAF=40°（三角形内角和定理）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．
∴∠DFA=∠FAB=40°（两直线平行，内错角相等）；
∵∠DFA=2∠BAE（已知），
∴∠FAB=2∠BAE（等量代换）．
即∠FAE+∠BAE=2∠BAE．
∴∠FAE=∠BAE；
∴2∠FAE=40°，
∴∠FAE=20°；
（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．
∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，
∴△AEG≌△AEB．
∴EG=BE，∠B=∠AGE；
又∵E为BC中点，∴CE=BE．
∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；
∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．
又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，
∴∠BCF=∠EGF；
又∵∠EGC=∠ECG，
∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；
又∵AG=AB，AB=CD，
∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．
5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．
（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；
（2）求证：AE+BF=AF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴∠ABF=90°，AB=AD=4，
∵在Rt△ABF中，AB=2FB，
∴FB=×4=2，
∴AF==2，
∵AG=AD=4，
∴FG=AF﹣AG=2﹣4；
（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，
∵AG=AD，AB=AD，
∴AG=AB，
∵AE⊥AF，
∴∠EAG=∠ABM=90°，
在△AGE和△BAM中，
，
∴△AGE≌△BAM（SAS），
∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，
∵AG=AD，
∴∠AGD=∠ADG，
∴∠BAM=∠ADG，
∵∠BAD=90°，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠FAB=∠EAD，
∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，
∴∠FAM=∠AMB，
∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．
6. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，BD交于点E．
（1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离．
（2）证明：BC+CD=AC．
【解答】解：（1）∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°．
∵BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．
∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，
∴CE=BC=1，BE=，AC=2BC=4．
∵AM：CM=1：2，
∴AM=，CM=，
∴EM=，在Rt△BEM中由勾股定理得
BM==．
过点C作CF⊥BM于点F．
∴．
∴，
∴CF=．
即点C到BM的距离．
（2）证明：延长BC到点F，使CF=CB，连接DF，
∵AB=AD，∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD，
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=180°﹣∠BCD=60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，
∴∠ADC=∠BDF，
又∵AD=BD，
∴△ACD≌△BDF，
∴AC=BF=BC+CF，
即AC=BC+CD．
7. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．
（1）若AE=2，求EF的长；
（2）求证：PF=EP+EB．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，
∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，
∴∠1+∠FAB=∠2+∠FAB=90°，
∴∠1=∠2．
∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，
∴∠3=∠4．
在△AEB和△AFD中，
∵，
∴△AEB≌△AFD，
∴AE=AF=2，
在Rt△EAF中，由勾股定理，得
EF==2．
（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，
∴△EAF为等腰直角三角形．
∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．
∵点P是AB的中点，
∴AP=BP．
在△AMP和△BEP中，
∵，
∴△AMP≌△BEP，
∴BE=AM，EP=MP，
∴MF=BE，
∴PF=PM+FM=EP+BE．