初中数学北师大版九年级上册1 认识一元二次方程第2课时教案设计

第2课时　正方形的判定

1．掌握正方形的判定方法；(重点)

2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算．(难点)

一、情景导入

我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中．

通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形．

1．怎样判断一个四边形是矩形？

2．怎样判断一个四边形是菱形？

3．怎样判断一个四边形是平行四边形？

4．怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？

议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？

二、合作探究

探究点一：正方形的判定

【类型一】 先证明是矩形再证明是正方形

 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．

解析：欲证明四边形CEDF是正方形，先根据∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．

证明：如图所示，过点D作DG⊥AB于点G.

∵DF⊥AC，DE⊥BC，

∴∠DFC＝∠DEC＝90°.

又∠C＝90°，

∴四边形CEDF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．

∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，

∴DF＝DG.

同理可得DE＝DG.∴DE＝DF.

∴四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．

方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等．

【类型二】 先证明是菱形再证明是正方形

 如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形．

解析：已知EG⊥FH，要证四边形EFGH为正方形，则只需要证四边形的对角线EG，HF互相平分且相等即可，根据题意可通过三角形全等来证OE＝OH＝OG＝OF.

证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠COH＋∠BOH.

∵EG⊥FH，

∴∠BOE＋∠BOH＝90°，

∴∠COH＝∠BOE，

∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH.

同理可证：OE＝OF＝OG，

∴OE＝OF＝OG＝OH.

又∵EG⊥FH，

∴四边形EFGH为菱形．

∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝HF，

∴四边形EFGH为正方形．

方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．

探究点二：正方形、菱形、矩形与平行四边形之间的关系

 填空：

(1)对角线________________的四边形是矩形；

(2)对角线____________的平行四边形是矩形；

(3)对角线__________的平行四边形是正方形；

(4)对角线________________的矩形是正方形；

(5)对角线________________的菱形是正方形．

解：(1)相等且互相平分　(2)相等　(3)垂直且相等　(4)垂直　(5)相等

方法总结：从对角线上分析特殊四边形之间的关系应充分考虑特殊四边形的性质与判别，防止混淆．菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形，特殊之处在于：矩形是有一个角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；而正方形是兼具两者特性的更特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形．

三、板书设计

经历正方形判定条件的探索过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.