专题03 导数及其应用【文科】（解析版）

这是一份专题03 导数及其应用【文科】（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题03 导数及其应用一、单选题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由题意得：，在定义域上单调递减，又，，，.故选：C.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知函数，，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，则求的取值范围A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，当时，∴恒成立，化为：，即，；令，（），．令，，函数在单调递增，，∴时，，，函数单调减函数，时，，，函数单调增函数，所以，∴，故选C.3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以因为，因此，，当时；当时；因此最小值为1，从而，选A.二、多选题1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知，．若有唯一的零点，则的值可能为（    ）A．2 B．3 C． D．【答案】ACD【解析】解：，．只有一个零点，只有一个实数根，即只有一个实数根．令，则，函数在上单调递减，且时，，函数的大致图象如图所示，所以只需关于的方程有且只有一个正实根．①当时，方程为，解得，符合题意；②当时，方程为，解得或，不符合题意；③当时，方程为，得，只有，符合题意．④当时，方程为，得，只有，符合题意．故选：ACD．三、填空题1. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知直线为曲线的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为__________．【答案】4或【解析】设直线与曲线相切于点，由，得，所以切点坐标为，所以直线l的方程为．又由直线l与曲线相切，联立方程，消去y得：，化简得，因为直线l与曲线也相切，所以解得或．故答案为：4或.四、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数.（1）定义的导函数为，的导函数为，，以此类推，若，求函数的单调区间；（2）若，，证明：.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意知，，，，，，所以函数的周期是，所以.因为，解得，所以，，所以.            当，即时，单调递增；当，即时，单调递减.综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：当时，.令，则，所以在区间上单调递增，，所以，令，则，当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当且仅当时取等号.所以，，等号不同时成立，故.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在处取得最大值，求a的取值范围.【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.【解析】解：（1），当时，，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，得或，所以的单调递增区间为和令，得，所以的单调递减区间为.综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由题意得.因为函数在处取得最大值，所以，即，当时，显然成立.当时，得，即.令，则，恒成立，所以 是增函数，，所以，即，所以a的取值范围为.3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．（1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点；（2）对于函数（其中e为自然对数的底数）（ⅰ）当时，求的弹性区间D；（ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1），； （2）（ⅰ），（ⅱ）.【解析】（1）由，可得，则，令，解得，所以弹性函数的零点为.（2）（ⅰ）当时，函数，可得函数的定义域为，因为，函数是弹性函数，此不等式等价于下面两个不等式组：（Ⅰ） 或（Ⅱ），因为①对应的函数就是，由，所以在定义域上单调递增，又由，所以①的解为；由可得，且在上恒为正，则在上单调递增，所以，故②在上恒成立，于是不等式组（Ⅰ）的解为，同①的解法，求得③的解为；因为时，④，所以不成立，所以不等式（Ⅱ）无实数解，综上，函数的弹性区间.（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，设，则，而，由（ⅰ）可知，在上恒为正，所以，函数在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围是.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知函数.（1）若在定义域内为增函数，求m的取值范围；（2）设，当时，若，求m的值.【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）的定义域为，，若在定义域内为增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，而，所以，即m的取值范围为；（2）.令，则.因为，令，解得，即在上单调递增，令，解得，即在上单调递减，所以，要使在定义域内恒成立，即，即，令(其中)，.当时，，当时，，所以，所以，要使，只能取，即，综上所述，m的值为2.5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)设，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，； （2）.【解析】(1)函数定义域为，且，令，得，，当时，，函数在定义域单调递减；当时，由，得；由，得或，所以函数的单调递增区间为，递减区间为，.综上所述，当时，在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，.(2)由(1)知当时，函数在区间单调递减，所以当时，，.问题等价于：对任意的，恒有成立，即.因为，则，∴，设，则当时，取得最小值，所以，实数的取值范围是.6. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知函数.（1）若关于x的不等式对任意的正数x恒成立，求实数a的取值范围.（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）解：，由，得对任意的正数x恒成立.解法一：即对任意的正数恒成立，令，只需.则，当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减.所以.所以，即实数a的取值范围为.解法二：令，则.当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，所以，所以，即.所以实数a的取值范围为.（2）证明：由（1）知，当时，对任意的正数x恒成立，即，当时等号成立.令，则.所以，，累加，得，即.7. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）在区间上，是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）存在，最大值为，最小值为.【解析】解：（1）由题意得函数的定义域为，      则， 令，得．因为，所以．当x在定义域上变化时，的变化情况如下表：x+0--0+极大值极小值所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．            （2）令，得，则a是函数的唯一零点．            因为，所以，所以．当时，；当时，．            由（1）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，      所以在区间上的最大值为，最小值为，其中．