高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用练习，共10页。

1.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，则顶点D的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))
C．(3,2) D．(1,3)
2．在△ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2eq \r(5) B.eq \f(5\r(5),2)
C．3eq \r(5) D.eq \f(7\r(5),2)
3．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
4．如下图所示，△ABC的顶点A，B，C分别对应向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，其重心为G，对应的向量为g＝(x0，y0)．
求证：x0＝eq \f(x1＋x2＋x3,3)，y0＝eq \f(y1＋y2＋y3,3).
5.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(v1,v2)))
6．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需再加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
7．一艘船从A点出发以2eq \r(3) km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4 km/h，则水流速度的大小为________ km/h.
8．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设eq \(PA,\s\up6(→))＝a，eq \(PB,\s\up6(→))＝b，eq \(PC,\s\up6(→))＝c，判断△ABC的形状．
一、选择题
1．在四边形ABCD中，若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．矩形 D．菱形
2．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
3．在△ABC所在的平面内有一点P，满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
5．O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，则∠BAC等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
6．(易错题)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
二、填空题
7．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→))，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．
8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|，则|eq \(AM,\s\up6(→))|＝________.
9．(探究题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．
三、解答题
10．已知四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证： eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))．
1．(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足eq \(AB,\s\up6(→))＝2a，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1 B．|a|＝1
C．a∥b D．(4a＋b)⊥eq \(BC,\s\up6(→))
2．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s，则鹰的飞行速率为________m/s.
3．(学科素养—数学建模)在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM?
6．3 平面向量线性运算的应用
必备知识基础练
1．解析：设D(x，y)，则eq \(BC,\s\up6(→))＝(4,3)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(x，y－2)，
由eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝2x，,3＝2y－2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝\f(7,2).))
∴顶点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2))).
答案：A
2．解析：BC的中点为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，6))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，5))，
∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \f(5\r(5),2).
答案：B
3．解析：因为|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|，|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|，所以|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．故选B.
答案：B
4．证明：设AC的中点为D，且点D对应的向量为q＝(x4，y4)，则x4＝eq \f(x1＋x3,2)，y4＝eq \f(y1＋y3,2).
由平面几何的知识，得eq \(BG,\s\up6(→))＝2eq \(GD,\s\up6(→))，
∴x0＝eq \f(x2＋2x4,1＋2)＝eq \f(x2＋\f(2x1＋x3,2),1＋2)＝eq \f(x1＋x2＋x3,3)，
y0＝eq \f(y2＋2y4,1＋2)＝eq \f(y2＋\f(2y1＋y3,2),1＋2)＝eq \f(y1＋y2＋y3,3).
5．解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
答案：B
6．解析：∵物体平衡，∴F1＋F2＋F3＋F4＝0，
∴F4＝－F1－F2－F3＝－(－2，－1)－(－3,2)－(4，－3)＝(1,2)．故选D.
答案：D
7．解析：
如右图所示，eq \(AD,\s\up6(→))表示船速，eq \(AB,\s\up6(→))表示水速，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则eq \(AC,\s\up6(→))表示船的实际航行速度．在Rt△ABC中，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝4，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2.
答案：2
8．解析：
由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.
所以a＋c＝－b.
如图，作平行四边形APCD，则其为菱形．
因为eq \(PD,\s\up6(→))＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理，∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．
关键能力综合练
1．解析：由eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，可知AD∥BC，且|eq \(AD,\s\up6(→))|<|eq \(BC,\s\up6(→))|，故四边形ABCD是梯形．
答案：B
2．解析：作eq \(OA,\s\up6(→))＝F1，eq \(OB,\s\up6(→))＝F2，eq \(OC,\s\up6(→))＝－G(图略)，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，
当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，
所以∠AOC＝60°，从而θ＝∠AOB＝120°.
答案：D
3．解析：由eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，即eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(AP,\s\up6(→))，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．
故eq \f(S△PBC,S△ABC)＝eq \f(PC,AC)＝eq \f(2,3).
答案：C
4．解析：∵|v|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(7－42＋12－62)＝eq \r(45)，
∴时间t＝eq \f(\r(45),\r(5))＝3.
答案：B
5．解析：取BC的中点D，连接AD，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→)).
由题意得3eq \(AO,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，
∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，
∴△ABC为正三角形，
∴∠BAC＝60°，故选C.
答案：C
6．解析：因为eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)是向量eq \(AB,\s\up6(→))方向上的单位向量，设eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))方向上的单位向量分别为e1和e2，又eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))，则原式可化为eq \(AP,\s\up6(→))＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC.故选B.
答案：B
7.
解析：由题意，得5eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))，
得2eq \(AP,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))－2eq \(AP,\s\up6(→))，
得－2(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))＝eq \(PC,\s\up6(→))，如图所示，以PA，PB为邻边作▱PAEB，
则C，P，E三点共线，
连接PE交AB于点O，
则eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(EP,\s\up6(→))＝4eq \(OP,\s\up6(→)).
所以eq \f(S△APB,S△APC)＝eq \f(2S△APO,S△APC)＝eq \f(2|OP|,|PC|)＝eq \f(1,2).
答案：1:2
8．解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，
由向量加减法的几何意义可知，
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
∵|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|，
∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|，
又|eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，M是线段BC的中点，
∴|eq \(AM,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2.
答案：2
9．解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,2))).则|F|cs θ＝|f|，∴|F|＝eq \f(|f|,cs θ).
∵θ增大，cs θ减小，∴|F|增大．
设船的浮力为F浮，则|F浮|＋|F|sin θ＝|mg|，
∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．
答案：①③
10．证明：证法一：如图1，首先建立直角坐标系．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则有eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
eq \(DC,\s\up6(→))＝(x3－x4，y3－y4)．∴eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2－x1＋x3－x4,2)，\f(y2－y1＋y3－y4,2))).
又∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x4,2)，\f(y1＋y4,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2＋x3,2)，\f(y2＋y3,2)))，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2＋x3－x1－x4,2)，\f(y2＋y3－y1－y4,2)))，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))．
证法二：如图2，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))，①
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))，②
向量相加得，2eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))．
学科素养升级练
1．解析：
如图，由题意，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(2a＋b)－2a＝b，则|b|＝2，故A错误；|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故B正确；因为eq \(AB,\s\up6(→))＝2a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，故a，b不平行，故C错误；设B，C中点为D，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，且eq \(AD,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，而2eq \(AD,\s\up6(→))＝2a＋(2a＋b)＝4a＋b，所以(4a＋b)⊥eq \(BC,\s\up6(→))，故D正确．故选B、D.
答案：BD
2．解析：设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40 m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝eq \f(|v2|,\f(\r(3),2))＝eq \f(80\r(3),3)(m/s)．
答案：eq \f(80\r(3),3)
3．解析：
以B为原点，BC边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．由于AB＝AC＝5，BC＝6，所以B(0,0)，A(3, 4)，C(6,0)．则eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，－4)，
由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点．
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(4,3)))，于是Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(8,3)))，所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(8,3)))，假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，
则设eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BM,\s\up6(→))，且0<λ<1，即eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(8,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4λ，\f(8,3)λ))，所以eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝(－6,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4λ，\f(8,3)λ))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4λ－6，\f(8,3)λ)).
由于PC⊥BM，所以eq \f(8,3)λ×eq \f(8,3)＋(4λ－6)×4＝0，
λ＝eq \f(27,26)∉(0,1)，所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
向量在平面几何中的应用
知识点二
向量在物理中的应用
关键能力综合练
进阶训练第二层
学科素养升级练
进阶训练第三层