专题11 椭圆及其性质-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）

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【母题来源】2021年高考乙卷
【母题题文】设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【试题解析】设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：C．
【命题意图】
1.考查椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.
2.考查运算求解能力，运用数形结合思想分析与解决问题的能力.
【命题方向】
椭圆的定义、方程与性质是每年高考的热点，多以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.
【得分要点】
解答此类题目，一般考虑如下三步：
第一步：定焦点所在的轴，即根据标准方程的形式，确定焦点所在的坐标轴；
第二步：定几何元素的值，根据标准方程或已知条件，确定的值或齐次式关系；
第三步：运算求解，根据几何性质运算求解.
求椭圆的离心率主要的方法有：
根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.
常用结论：
1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．
2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为4A．
一、单选题
1．（2021·四川雅安市·雅安中学高二期中（理））椭圆的焦点为，是上一点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.
【详解】
在中，
设，则，
又由椭圆定义可知
则离心率，
故选：D.
【点睛】
思路点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.
2．（2021·湖南高三其他模拟）已知，分别为椭圆的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
依题意可得，的值，由椭圆的定义可得a，c的关系，即求出离心率的值．
【详解】
解：依题意可得．
又
，，，．
故选：D．
3．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（文））已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
故选：B.
4．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知椭圆的方程为，､为椭圆的左右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
连接､，是的内心，得到为的角平分线，即到直线､的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，连接､，是的内心，
可得､分别是和的角平分线，
由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，
则为的角平分线，则到直线､的距离相等，
所以，同理可得，，
由比例关系性质可知.
又因为，所以椭圆的离心率.
故选：A.
【点睛】
求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
5．（2021·安徽师范大学附属中学高三其他模拟（理））设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且，若，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
设左焦点为，根据椭圆定义，可得，设，则由可得，整理得，根据可求.
【详解】
为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，则也在椭圆上，
设左焦点为，则根据椭圆定义，
又，，
是的斜边中点，，
设，则，，
，，
即，
，，
，.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查椭圆的性质，解题的关键是将离心率表示为关于的函数.
6．（2021·全国高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】
设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
7．（2020·安徽滁州市·高二期中（文））已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
连接PF1，OQ，
由OQ为中位线,可得OQ∥PF1,|OQ|=|PF1|，
圆x2+y2=b2,可得|OQ|=b,即有|PF1|=2b，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，
可得|PF2|=2a−2b，
又OQ⊥PF2,可得PF1⊥PF2，
即有(2b)2+(2a−2b)2=(2c)2，
即为b2+a2−2ab+b2=c2=a2−b2，
化为2a=3b,即，
,即有，
则，
当且仅当,即时,取得最小值.
则的最小值为 .
本题选择C选项.
8．（2021·全国高二单元测试）设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由题意和椭圆性质可得当时，；当时，.
解不等式后即可得解.
【详解】
由，，可得：
当时，，由条件知，解得；
当时，，由条件知，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查了椭圆的性质，考查了分类讨论思想，属于基础题.
9．（2019·福建莆田市·莆田一中高二月考）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若为钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据为钝角三角形，得到，从而由求解.
【详解】
因为为钝角三角形，
所以，即，
即，
即，
即，
又因为，
所以
所以椭圆的离心率的取值范围为，
故选：A
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题
10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.若椭圆与抛物线相交于点、，且直线经过点，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】
作出图形，分析可得，，利用椭圆的定义可得出关于、的齐次等式，由此可解得椭圆的离心率的值.
【详解】
如下图所示：
过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，设点为椭圆的左焦点，
由抛物线的定义可得，
易知点、关于轴对称，则轴，
又因为轴，所以，四边形为正方形，可得，
因为，由椭圆的定义可得，即，
因此，椭圆的离心率为.
故答案为：.
11．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
首先根据已知条件找到，转化为，进而整理，然后把整体看做变量，找到其范围，求出函数的值域即可.
【详解】
∵直线AB过原点，所以A，B关于原点对称，即
又∵，
∴四边形为矩形
∴
则
在中，
∵，∴
∵ ∴
∵A在第一象限，∴
∴
∴
令，则有
，即
故答案为：
【点睛】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
12．（2021·江苏南京市·高三二模）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在直线上，直线交椭圆于点，若，，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】
设，，根据比值关系可得，代入可得，由，整理即可得解.
【详解】
由题意可得：，，设，
由，可得，
代入可得：，解得，
，
整理可得：，
所以，
所以或（舍）
故答案为：.
13．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））已知椭圆的左、右焦点分别为过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积是面积的3倍，则椭圆的离心率为_______．
【答案】
【分析】
设椭圆的左、右焦点分别为，由的面积是面积的3倍得到，代入椭圆方程可得，化简即得解.
【详解】
椭圆焦点在轴上，设椭圆的左、右焦点分别为，由，代入椭圆方程可得，可设，
由的面积是面积的3倍，可得，
即，即，
可得，
代入椭圆方程可得：，由,
整理得，由，得．
故答案为：
【点睛】
方法点睛：椭圆的离心率的计算常用方法有：（1）公式法（求出代入离心率公式即得解）；（2）方程法（通过已知找到关于的方程，再解方程即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
14．（2020·湖南高二期中）已知椭圆经过函数图象的对称中心，若椭圆C的离心率，则C的长轴长的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】
用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得的关系，变形后得，然后由的范围得出的范围．
【详解】
因为可化为，所以曲线的对称中心为，把代入方程，得，整理得.因为，所以，从而.
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长与离心率的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用进行转化是是解题的基本方法．
15．（2020·太原市·山西实验中学高二月考（理））已知椭圆的离心率e的取值范围为，直线交椭圆于点M，N，O为坐标原点且，则椭圆长轴长的取值范围是______．
【答案】
【分析】
设，，联立和韦达定理求出，再根据，求出椭圆长轴长的取值范围.
【详解】
联立，化简得
设，，则，
由，则
即，化简得，
，
，，即，
解得：，
所以椭圆长轴长的取值范围是
故答案为：
【点睛】
思路点睛：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．