备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）专题12 构造函数比较大小

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专题12   构造函数比较大小【母题来源】2021年高考乙卷【母题题文】设，，．则（    ）A． B． C． D．【答案】B【试题解析】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0<x<2时，,即,,所以在上单调递增，所以,即,即;令,则,,由于，在x>0时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;综上，,故选：B. 【命题意图】高考对本部分内容的考查主要是指数式、对数式的互化以及构造函数比较大小，以能力为主，重点考查函数的单调性．主要体现在以下几个方面：（1）掌对数的四则运算.（2）将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小.（3）考查导数的概念、导数公式、求导法则、导数的应用，考查数学式子的变形能力、运算求解能力、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力．【命题方向】从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，问题的难度、深度与广度在不断加大，对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.【得分要点】（1）运用对数式的运算公式比较a、b的大小（2）将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数（3）利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小比较大小常用方法：模板一：利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小，可以利用函数的单调性来比较，即（1）比较形如与的大小，利用指数函数的单调性；（2）比较形如与的大小，利用对数函数的单调性；（3）比较形如与的大小，利用幂函数的单调性.模板二：中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小，不能直接利用函数的单调性来比较，可利用特殊数值作为中间桥梁，进而可比较大小.（1）比较形如与的大小，一般找一个“中间值c”，若且，则；若且，则.常用到的特殊值有0和1.()（2）比较形如与的大小，一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值，即或者，进而利用中间值解決问题.  一、单选题1．（2021·辽宁锦州市·高三一模）已知实数，，满足且，则，，的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先由得出，排除两个选项，然后引入函数，利用导数得单调性，引入函数设，由导数得单调性，然后比较的大小得出结论．【详解】解：∵实数，，满足，，∴，，则排除B，C选项，令，所以，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，即，∴，∴，设，，在上单调递减，则，∴，排除D选项.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查实数的大小比较，解题方法利用指数函数、对数函数的性质，构造新函数，由导数研究单调性，结合中间值，比较大小．2．（2020·黑龙江高二期末（理））已知，c＝e（e为自然对数的底数），则a、b、c的大小关系是（    ）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【答案】D【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，即可求解.【详解】设，则令解得当时，单调递减，当时，单调递增，又因为，所以，即b＞a＞c故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，由单调性判断函数值的大小，属于中档题.3．（2020·哈师大阿城学院附中高二期中（文））已知函数在R上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】，利用导数研究的奇偶性、单调性，利用奇偶性、单调性比较大小.【详解】令，因为时，，所以当时，，又，所以，所以为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以.故选：B【点睛】本题主要考查构造函数比较大小的问题，涉及到函数的单调性、奇偶性，考查学生逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.4．（2020·宁夏银川市·银川一中高三二模）已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数 都有，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，结合已知可判断函数的奇偶性及单调性，然后即可求解不等式．【详解】令， ∵当时，， 则， 所以当时，函数单调递增；因为对于任意的实数都有， 所以 即为偶函数，所以当时，函数单调递减， 又，，，又，所以，即． 故选：B．【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用，解题的关键是构造函数g（x）并判断出单调性及奇偶性．5．（2021·全国高二期末）设，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，利用导数可得在单调递减，即可比较大小.【详解】令，则，当时，，即在单调递减，，，即.故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题得关键是构造函数，根据导数求出单调性，利用单调性比较.6．（2021·江西抚州市·临川一中高三其他模拟（理））已知，，，则，，的大小顺序为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，根据单调性比较大小即可.【详解】令，则，，，而且，即时单调增，时单调减，∵，则.故选：A.7．（2020·四川成都市·树德中学高二期中（理））下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，对其求导，判断单调性，进而可得出结果.【详解】构造函数，因为对一切恒成立，所以函数在上是减函数，从而有，即.故选：A．【点睛】本题主要考查根据函数单调性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.8．（2021·全国高三专题练习）已知、满足，则与的大小关系为（    ）A． B．C． D．不能确定【答案】C【分析】构造函数，利用导数分析出函数在区间上单调性，可比较出与的大小关系，再利用对数函数的单调性可得出与的大小关系，进而可得出与的大小关系.【详解】令，其中，则，当时，.所以，函数在区间上单调递增，，，即，即，即，可得，所以，.故选：C.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.9．（2020·全国高三其他模拟（理））给出以下不等关系：①；②；③；④，为自然对数的底数，其中正确的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】引入函数，由导数确定函数的单调性，然后由，，，分别判断各选项，得出结论．【详解】构造函数，，则，由可得，解得；由可得，解得.所以函数在上为增函数，在上为减函数.对于①，由，可得，即，，所以①正确；对于②，由可得，即，所以②正确；对于③，由可得，即，所以③错误；对于④，由可得，即，也即，所以④错误.故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查比较大小，解题关键是引入新函数，利用导数确定单调性后，由函数单调性得出函数值大小．10．（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知，，，则，，的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别利用对数函数指数函数的单调性和0,1比较大小即可得解.【详解】由，可得，由，，可得：.故选：B.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小，属于基础题.11．（2021·石嘴山市第三中学高三其他模拟（文））已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指对数的性质，比较指数式、对数式的大小.【详解】，∴.故选：A.12．（2020·浙江衢州市·高一期末）已知，，，则、、的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.【详解】，，，因此，.故选：C.13．（2020·广东佛山市·佛山一中高一月考）已知，，，则，，的大小关系为（    ）A．  B． C． D．【答案】A【分析】化简，利用作商法及基本不等式判断大小关系即可.【详解】解：，，， ，，.，.故选：A.【点睛】本题考查对数的运算及基本不等式的应用，属于中档题.解决该类比较大小的题的相应方法如下：特殊值法：代入特殊值直接比较大小；数形结合法：画出大致图象判断大小；作差法：两者做差判断正负；作商法：两者相除判断与的大小.14．（2020·浙江高一期末）已知，，，则，，的大小关系为．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的的单调性判断可得；【详解】解：因为函数，在定义域上单调递增，又，所以，所以，，所以所以故选：D