备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）专题19 数列（解析版）

专题19   数列

【母题来源】2021年高考乙卷

【母题题文】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【试题解析】（1）由已知得,且，,

取,由得,

由于为数列的前n项积，

所以,

所以，

所以,

由于

所以，即,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,

,

当n=1时，,

当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴.

【点睛】

本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由,得到，进而得到是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.

【命题意图】

1.考查等差、等比数列的基础知识为主，重点考查求数列的通项公式和数列的求和问题.

2.考察递推公式求通项公式

【命题方向】

数列一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减法求和及裂项相消法求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用

【得分要点】

1.等差数列的判定与证明的方法：

（1）定义法：或是等差数列；

（2）定义变形法：验证是否满足；

（3）等差中项法：为等差数列；

（4）通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；

（5）前n项和公式法：为常数为等差数列．

注意：

（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；

（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．

2.等比数列的判定与证明常用的方法：

（1）定义法：为常数且数列是等比数列．

（2）等比中项法：数列是等比数列．

（3）通项公式法：数列是等比数列．

（4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列．

其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．

注意：

（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．

（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.

3.数列求和的常用方法

（1）公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和；

（2）倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的；

（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的；

（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；

（5）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；

（6）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．

4.数列与函数综合

（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．

（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．

5.数列与不等式综合

与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性，其中利用不等式放缩证明是历年命题的热点．

6.以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解.

1．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三其他模拟）在数列中，已知，（）．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）记，数列的前项和为，求使得的整数的最小值；

（3）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）不存在，证明见解析.

【分析】

（1）证明数列为等比数列，即转化变形方向为与的关系.首先分离与，然后两边同取倒数，再同减去1，即可得证；

（2）先由(1)结论求出，再化简，根据分式形式，裂项求和得，求解不等式，估值可得整数的最小值；

（3）假设存在正整数、、，使得、、成等差数列，得到、、的等量关系，根据整数性质，等式左偶右奇不可能成立．

【详解】

（1）证明：由，得，从而，

，

又，故数列为等比数列；

（2）解：由(1)得，，故，

所以，

，

令，则，

解得，，.

故使得的整数的最小值为10；

 （3）解：假设存在正整数、、满足题意，则，

即，

即

两边同除以得，

  (*)

由得，，；

所以为奇数，而、均为偶数，

故(*)式不能成立；

即不存在正整数、、，且，使得、、成等差数列.

【点睛】

数列常见裂项形式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

2．（2021·四川成都市·双流中学高三三模（理））设为数列的前项和，已知，.

（1）证明：为等比数列；

（2）求的通项公式，并判断是否成等差数列？

【答案】（1）证明见解析；（2），，，成等差数列.

【分析】

（1）由已知条件和递推关系先求得，进而得到，然后根据确定了的递推关系，利用等比数列的定义证明是等比数列；

（2）由（1）的结论,利用等比数列的通项公式求得数列的通项公式，进而得到，然后利用分组求和和等比数列的求和公式求得的表达式，然后利用等差数列的定义证明，，成等差数列.

.

【详解】

（1）证明：∵，，∴，∴，

∴，，

∴是首项为2，公比为2的等比数列.

（2）由（1）知，，∴，

∴，

∴，∴，

即，，成等差数列.

3．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）在①，的等差中项是3，②的等比中项是，③.这三个条件中任选择两个，补充在下面问题中并解答.如果选多种方案解答，按第一种方案计分.

已知正项等比数列满足___________，___________.

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前n项积为，求数列的前n项和.

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

【分析】

(1)根据题意可知，三种组合条件都可以，只需列方程组，求出与，即可得到数列的通项公式；

(2)现根据题意，求出数列的前n项积为，再根据裂项相消即可得到数列的前n项和.

【详解】

(1)记数列的公比为.

选①②，则，

解得，

所以数列的通项公式为.

选①③，则，

解得，

所以数列的通项公式为.

选②③，则，

解得，

所以数列的通项公式为.

(2)由题意得，

所以，

.

4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列满足，且，．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）数列的前项和为，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】

（1）将已知递推关系移项配方整理可得，进而利用等差中项法证明数列是等差数列；

（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.

【详解】

解：（1）由结合数列各项均为正数 得

则，所以数列是等差数列；

（2），则公差

∴，

∴.

5．（2021·湖南高三其他模拟）已知数列的前项和为，满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求使得成立的的最大值.

【答案】（1）；（2）最大值6.

【分析】

（1）本题可根据得出，然后通过求出，最后根据等比数列的定义即可求出结果；

（2）本题首先可通过分组求和法得出，然后通过求解即可得出结果.

【详解】

（1），即，，

因为，，所以，，

则数列是以为首项、为公比的等比数列，，.

（2）因为，

所以，

因为，所以，，

因为，所以解得，使得成立的的最大值为.

6．（2021·重庆高三三模）已知数列的前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式：

（2）设，数列的前项和为，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】

（1）利用，求得数列的通项公式.

（2）求得数列的通项公式，进而利用裂项求和法求得，结合数列的单调性证得.

【详解】

（1）解：，令，解得时，两式相减，得

数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；

（2）证明

单调递增，所以1即

7．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，且数列的前项和为，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；

（2）错位相减法求数列的和.

【详解】

（1）因为，令，则，又，

所以，

对两边同时除以，得，

又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，

所以，故；

（2）由（1）得：

所以，

则

两式相减得

所以

故

8．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知各项为正数的数列，其前项和为，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用即可化简求得；

（2）利用错位相减法可求.

【详解】

（1）由，得，

将以上两式相减，可得，

则，所以，

由于数列的各项均为正数，所以，

又，所以.

（2）由题意可得①，

则②，

由②–①可得

，

则.

9．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答

问题：设数列的前项和为，且___________，，的前项和

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

【答案】选①②③得到都是同一个结果，.

【分析】

①，，两式相减求出，再利用裂项相消法求出；

②由已知得，所以，再利用裂项相消法求出；

③设利用累加法求出，求出，再利用裂项相消法求出.

【详解】

①，，

两式相减得，当时，，所以，，

所以数列是一个等差数列，所以，

所以，

所以.

②,

所以，因为，所以，

所以，

所以.

③，设所以，

所以，，

所以，

又满足上式，

所以，

所以，

所以.

10．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列的前项和为，且满足，，其中.

（1）若，求出；

（2）是否存在实数，使为等比数列？若存在，求出，若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【分析】

（1）将代入，由递推关系求出通项公式，并检验当时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数，满足题意，结合已知条件求出满足数列是等比数列的实数，的值，运用分组求和法求出的值.

【详解】

（1）由题可知：当时有：，

当时，，

又满足上式，故.

（2）假设存在实数，满足题意，则当时，

由题可得：，

和题设对比系数可得：，，.

此时，，

故存在，使得是首项为4，公比为2的等比数列.

从而.

所以.

【点睛】

方法点睛：数列求和方法：（1）等差等比公式法（2）错位相减法（3）分组求和法（4）倒序相加法（5）裂项相消法.

11．（2021·广东实验中学高三其他模拟）已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn，满足an+1＝Sn+1（n∈N*）．

（1）求Sn；

（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；

（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简即可得到答案.

【详解】

（1）当时，，又，

所以，

即，

在中，令，可得

因为，所以

故是首项为1，公比为2的等比数列，

其通项公式为，

所以.

（2）因为

所以

故

12．（2021·辽宁高三其他模拟）已知为等差数列，为等比数列，且满足．

（1）求和的通项公式；

（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．

【答案】（1），；（2）．

【分析】

（1）设出数列的公差和公比，结合条件求出公差和公比，然后写出通项公式；

（2）求出，结合错位相减法求和可得数列的前n项和．

【详解】

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

由，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以，

因为，所以，整理得，解得q＝2，

所以；

（2），

，

两式相减，得

所以．

13．（2021·四川成都市·成都七中高一月考）已知数列满足：①；②其中为自然对数的底数.

（1）证明：是等比数列；

（2）求数列的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）根据可知又由可得从而得证；（2）由（1）得论可知又从而得到的通项公式.

【详解】

（1）证明：因为所以又于是

所以即是首项为，公比为的等比数列.

（2）解：由（1）知又

从而

故

14．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）为数列的前项和，已知.

（1）设，证明：，并求；

（2）证明：.

【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由题得，，两式相减即得，再利用累加法求出；

（2）求出，再利用裂项相消法得证.

【详解】

（1）由，，得，

由，可知.

可得.

所以.

所以当时

.

因为，所以，，因此.

（2）由（1）可知.

于是.

因此.

15．（2021·全国高三其他模拟）已知数列的前项和为，满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前100项的和．

【答案】（1）；

（2）.

【分析】

根据已知递推关系，利用数列的和与项的一般关系当时，求得，当时，利用求得的递推关系，进而可判定数列为等比数列，求得其通项公式，利用三角函数的周期性求得的通项与的周期性关系，判定其中的非零项是首项为，公比为的等比数列，进而利用等比数列的求和公式求得.

【详解】

（1）当时，,解得：,

当时，,即,

∴数列为等比数列，首项和公比都是,

∴；

（2）,(),

∴

是首项为，公比为的等比数列，共有50项，

∴.

【点睛】

当时，, 当时，这是一般数列共有的关系，是十分重要的，一定要熟练掌握，另外判定是首项为，公比为的等比数列，进而才可以利用等比数列求和公式计算.