备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）专题22 极坐标与参数方程（解析版）

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专题22   极坐标与参数方程【母题来源】2021年高考乙卷【母题题文】在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】（1），（为参数）；（2）或.【试题解析】（1）由题意，的普通方程为，所以的参数方程为，（为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于1可得，解得，所以切线方程为或，将，代入化简得或【命题意图】1.掌握极坐标与直角坐标之间的转化公式，能利用极坐标的几何意义解题．2.理解参数方程中参数的几何意义并灵活应用几何意义进行解题.【命题方向】高考中以解答题的形式考查参数方程、极坐标方程相关的互化与计算，难度不大，熟练应用互化公式、理解参数的几何意义即可顺利解决.【得分要点】1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等，其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.2．普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x,y的值.一般地，与旋转有关的问题，常采用旋转角作为参数;与直线有关的问题，常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数.此外，也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3．极坐标方程与直角坐标方程互化进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)．4．参数方程与极坐标方程互化进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程），再转化为极坐标方程（或参数方程）.5．几种常见曲线的参数方程（1）圆以O′（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程是，其中α是参数．当圆心在（0，0）时，方程为，其中α是参数．（2）椭圆椭圆的参数方程是，其中φ是参数．椭圆的参数方程是，其中φ是参数．（3）直线经过点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程是，其中t是参数． 1．（2021·广西师大附属外国语学校高三其他模拟（理））在极坐标系中，以极点O为圆心的圆O经过点A(2，-π).（1）求圆O的极坐标方程；（2）已知MN为圆O的一条直径，射线OP⊥MN，且OP交圆O于P点､交直线于点Q，求PQM的面积的最小值.【答案】（1）；（2）最小值是.【分析】（1）由椭圆的极坐标方程的要素可得椭圆的极坐标方程；（2）根据垂直的条件，可得，再根据极径计算即可.【详解】解∶（1）依条件可知，圆O的半径r=|OA|=2，∴圆O的极坐标方程为；（2），设，则，其中，，当时，取最小值，最小值为，所以的面积的最小值是.2．（2021·四川成都市·双流中学高三三模（理））在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，.（1）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.【答案】（1），曲线为开口向右的抛物线；（2）.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的方程为，以及曲线的形状；（2）根据直线的参数方程得到直线经过点，求得直线的普通方程，联立方程组，结合抛物线的焦点弦的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，曲线的极坐标方程为，可得，又由，可得，即曲线为开口向右的抛物线.（2）由直线的参数方程为(为参数，)，可得直线经过点，则，则，，，所以直线的参数方程为，则直线的直角坐标方程为，设，联立方程组，整理得，可得，又由直线过抛物线的焦点，所以.3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在平面直角坐标系中，动点、都在曲线（为参数）上．（1）若以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；（2)若动点、分别为曲线参数方程参数分别取，值时的点，且，求线段中点到坐标原点距离的最小值．【答案】（1）；（2）0．【分析】（1）由曲线C的参数方程，消去参数，得到直角坐标方程，然后利用极直互化公式化为极坐标方程；（2）有参数方程和线段中点坐标公式得到线段PQ的中点坐标，利用两点间距离公式求得中点到原点的距离关于α的函数表达式，并利用同角三角函数关系，两角差的余弦公式化简，然后即得其最小值.【详解】解：（1）曲线（为参数）的直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为．（2）据题意，得线段PQ中点到坐标原点О的距离．所以当时，有最小值，且．即所求的最小值为0．4．（2021·河南商丘市·高二月考（理））设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，已知曲线：（为参数），曲线：.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知圆的圆心在曲线上，且圆与曲线有且只有一个公共点，求半径最小的圆的极坐标方程.【答案】（1），；（2）.【分析】(1)对于曲线，消取参数，即可得到曲线的普通方程，而对于曲线，根据，，即可得到曲线的直角坐标方程； (2)根据题意先求出圆的直角坐标方程，进而可得圆的极坐标方程.【详解】(1)将曲线中的参数消去，得，，，即曲线的普通方程为.曲线的方程可化为，曲线的直角坐标方程为.(2)依题知圆的半径最小时，圆心坐标为，最小半径为，圆的方程为，化成极坐标方程为.5．（2021·许昌实验中学高二期末（理））在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线与曲线的普通方程；（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）将代入直线可得直线普通方程，消去参数可得曲线的普通方程；（2）求得直线的参数方程，代入圆，利用直线参数的几何意义可求.【详解】解：（1）因为，将代入得，所以直线的普通方程为．因为曲线的参数方程为（为参数），消去参数可得曲线的普通方程为．（2）由题意可得直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入曲线的普通方程得，则，，故．6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）点为上任意一点，若的中点的轨迹为曲线，求的极坐标方程；（2）若点，分别是曲线和上的点，且，证明：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）先求出的极坐标方程，设出，的极坐标，根据中点坐标公式以及在上，即可求解；（2）设，，根据，得到，分别代入曲线和的极坐标方程，再根据求出，即可证明.【详解】解：（1）的方程为，将代入，极坐标方程：，设，，则，的轨迹方程：；（2）设，，，，，故为定值．7．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)；以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）若，求以曲线与轴的交点为圆心，且这个交点到直线的距离为半径的圆的方程.【答案】（1）的极坐标方程为，的直角坐标方程为；（2）.【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用点到直线的距离公式的应用求出圆的半径，最后求出圆的方程．【详解】（1）由，得因为，所以，即又，所以，即曲线的极坐标方程为；因为直线的极坐标方程为，即，又，所以直线的直角坐标方程为.（2）因为，由（1）知曲线的普通方程为；它与轴的交点为，又直线的直角坐标方程为，故由点到直线的距离公式有：曲线与轴的交点到直线的距离.故所求的圆的方程为8．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与轴的正半轴交于点，与交于点，求以线段为直径的圆的标准方程.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）将两式平方再相减即可得到曲线的普通方程，根据将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）首先求出的坐标，再求出直线与双曲线的交点，求出的中点坐标即为圆心，再求出，即可得到圆的方程；【详解】解：（1）因为曲线的参数方程为(为参数)所以曲线的参数方程为(为参数)，，整理得，所以的普通方程为.由，得，所以的直角坐标方程为.（2）在中，令，得点的直角坐标为，由，得，即点的直角坐标为，线段的中点的直角坐标为，，所以以线段为直径的圆的标准方程为.9．（2021·河南高三其他模拟（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.M为曲线上的动点，点N在线段OM上，且满足，点N的轨迹为.（1）求的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）最大值.【分析】（1）设点N的极坐标为，点M的极坐标为.由已知可得，将其代入整理可得点的极坐标方程，进而化为直角坐标方程；（2）设点B的极坐标为.依题意可得的面积，进而可得的面积的最大值.【详解】（1）设点N的极坐标为，点M的极坐标为.由得，即，因为点在曲线上，所以，则，即.故的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为.由题设知，，于是的面积当时，的面积有最大值.10．（2021·全国高三其他模拟（理））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求直线的普通方程；（2）设，若直线与曲线相交于，两点，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）消去参数，即可得到直线的普通方程；（2）首先求出曲线的普通方程，再将直线的参数方程化为标准式，代入曲线中，利用直线参数方程参数的几何意义计算可得；【详解】解：（1）因为直线的参数方程为（为参数）．则代入得所以直线普通方程为，（2）曲线的参数方程为（为参数），曲线的普通方程为，将直线的参数方程化为，（为参数）代入椭圆方程得：，，，，同号，11．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，其中，．（1）求曲线，的普通方程以及点的直角坐标；（2）若曲线与曲线交于，两点，求的值．【答案】（1）；；；（2）4．【分析】（1）根据曲线和曲线的参数方程，分别消去参数和参数即可得解；（2）由（1）知点的直角坐标为，由曲线的标准参数方程为（为参数），带入方程，利用的几何意义，结合韦达定理即可得解.【详解】（1）由，消去参数，得曲线的普通方程为；由，消去参数，得曲线的普通方程为．由，，得，，所以点的直角坐标为，即．（2）由（1）知点在曲线上，设曲线的参数方程为（为参数），代入：，化简得，，设，对应的参数分别为，，则，，所以．12．（2021·吉林高三其他模拟（理））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线在：的变换作用下得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系()，设直线分别与曲线，交于异于原点的､两点.（1）求曲线､的极坐标方程；（2）设点的坐标为，求面积的最大值.【答案】（1），；（2）最大值为.【分析】（1）直接利用转换关系和伸缩变换的应用，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用三角形的面积公式和极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.【详解】（1）曲线的参数方程为(为参数)，转换为直角坐标方程为，根据，转换为极坐标方程为，曲线在：的变换作用下得到曲线，即，根据，转化为极坐标方程为.（2）直线转换为极坐标方程为，所以当时，的最大值为.13．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知曲线C1：（t为参数），C2：（α为参数且），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线C3：θ＝（ρ∈R）．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）若C2上的点P对应的参数α＝，Q为C1上的点，求PQ的中点M到直线C3距离d的最小值．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）利用三角函数同角平方关系消参得到曲线C1，曲线C2普通方程．（2）求出PQ的中点坐标为（），和直线C3：直角坐标方程为x﹣y＝0，利用点到直线的距离公式得解【详解】解：（1）曲线C1：（t为参数），转换为普通方程为．曲线C2：（α为参数且，转换为普通方程为．（2）由于C2上的点P对应的参数α＝，所以P（0，1），点Q，所以PQ的中点坐标为（），直线C3：θ＝（ρ∈R）转换为直角坐标方程为x﹣y＝0，所以d＝，当时，．14．（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理））平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，若曲线，相交于两点，求的值.【答案】（1）：，：；（2）3.【分析】（1）由曲线的参数方程可得其普通方程，由得：，然后可得曲线的直角坐标方程；（2）可得参数方程：（为参数），然后代入的普通方程，然后设对应的参数分别为，然后由可得答案.【详解】（1）由得：，即的普通方程为：；由得：，的直角坐标方程为：，即；（2）满足方程，在上，可得参数方程：（为参数），将参数方程代入普通方程整理得：，设对应的参数分别为，则.