初中数学北师大版八年级上册1 探索勾股定理教案

这是一份初中数学北师大版八年级上册1 探索勾股定理教案，共13页。教案主要包含了学习目标，知识点及方法技巧梳理，课后作业等内容，欢迎下载使用。
1. 认识勾股定理；
2. 掌握弦图，会用面积法证明勾股定理.
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
【知识点及方法技巧梳理】
考点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
知识点提示：〔1〕勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
〔2〕利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，到达了解决问题的目的.
考点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图〔1〕所示的正方形.
图〔1〕中
∵，∴.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图〔2〕所示的正方形.
图〔2〕中，
∵ ∴
方法三：如图〔3〕所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
∵ ， ∴.
要点三、勾股定理的作用
直角三角形的任意两条边长，求第三边；
用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为的线段.
一、典型例题
例1、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长
例2、如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，那么梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？
例3、某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能否顺利通过该隧道？
例4、 如图，铁路上A、B两站相距25㎞，C、D为两村庄，DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,DA=15㎞，CB=10㎞.现在要在铁路上建一个收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，那么E站应建在距A站多少㎞处？
A
D
E
B
C
例5、在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只猴子只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，问这棵树有多高？
例6、以Rt△ABC三边为直径作半圆，这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有什么关系？说明理由。
一、单项选择题
1．〔2021·宁夏原州�初二期末〕在中，，那么c的长为〔 〕
A．14B．12C．10D．7
2．〔2021·西吉第三中学初二期末〕以下说法正确的选项是〔 〕．
A．假设、、是的三边长，那么
B．假设、、是的三边长，那么
C．假设、、是的三边长，，那么
D．假设、、是的三边长，，那么
3．〔2021·河南伊川�初二期末〕如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．假设AB＝6，BC＝9，那么BF的长为〔 〕
A．4B．3C．4.5D．5
4．〔2021·宁夏原州�初二期末〕有两根木条，现想找一根木条组成直角三角形，那么以下木条长度适合的是〔 〕
A．8cmB．12cmC．18cmD．20cm
5．〔2021·盐池县第五中学初二期中〕如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，那么线段AB的长度为〔 〕
A．5B．6C．7D．25
6．〔2021·河南偃师�初二期末〕如图，ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB = 5，点 D 是边BC 上一点， 假设沿将ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，那么BD等于〔 〕
A．2B．C．3D．
7．〔2021·黑龙江阿城�初二期末〕如下图，是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6㎝，BC＝8㎝，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，那么AD的长为〔 〕
A．4㎝B．5㎝C．6㎝D．㎝
8．〔2021·大庆市第五十七中学初一期末〕直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3：4，那么较短直角边的长为〔 〕
A．3B．6C．8D．5
二、填空题
9．〔2021·河南伊川�初二期末〕如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，那么阴影局部的面积是 ．
10．〔2021·广东番禺�初二期末〕两人从同一地点同时出发，一人以30m/min的速度向北直行，一人以30m/min的速度向东直行，10min后他们相距__________m
11．〔2021·黑龙江集贤�初二期末〕中，斜边BC＝2，那么AB2+AC2+BC2的值为_____．
12．〔2021·察哈尔右翼前旗第三中学初二期末〕一个直角三角形的三边长的平方和为200，那么斜边长为________
三、解答题
13．〔2021·山东济南�初一期末〕如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，AD＝16，求AB的长．
14．〔2021·贵阳市白云区南湖实验中学初二期末〕如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为．
〔1〕求的周长；
〔2〕求DE的长．
勾股定理应用
例1〔最短路程〕：如图1所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？〔的值取3〕
【练习】
1、如图，一只鸭子从边长12m的正方形水池一角A处游到水池一边的处〔即B点〕，那么它游的最短路程为______________
2、如图，一圆柱的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC为直径，蚂蚁从A出发沿圆柱的外表爬行到点C的最短距离是〔 〕
A、10cm B、12cm C、13cm D、22cm
3、一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒底的B点，你能帮助蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
4、如图，有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的外表从顶点A爬到C点〔C点在一条棱上，距B点3cm处〕，需爬行的最短路程是_____________cm
例2
例2〔折叠〕、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，CE=3cm，AB=8cm，那么图中阴影局部的面积为
【练习】
1、把一张矩形纸片〔矩形ABCD〕按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．假设AB = 3 cm，BC = 5 cm，那么重叠局部△DEF的面积是 cm2．
2、如图，将长为4 cm宽为2 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，那么线段CN的长度为__________cm．
3、如图长方形ABCD，AB=3，BC=4，假设将该矩形折叠，使C点与A点重合，CE的长为____________
例3、有一个长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的长方体铁盒，在其内部要放一根笔直的木棒，那么木棒最长是______________
【练习】
1、在一个高为12cm、底面半径为4.5cm的无底圆柱形纸盒内放入一根木棒，要使木棒不露出纸盒，那么最长不超过____________cm
2、如图，将一根长为24cm的筷子，置于直径为5cm，高12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，那么的取值范围是_____________
3、一根长5m的竹竿________放在长、宽、高分别是4m、3m、3m的电梯内〔填“能〞或“不能〞〕
例4、求以下各图阴影局部的面积
图②

图①

图①的阴影局部面积是______________；图②的阴影局部面积是____________
【练习】
1、如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形的面积为81，那么正方形的面积之和为_____________
2、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为、，那么的值等于___________*网]
3、如图，Rt△ABC的三边分别为6，8，10，分别以它的三边为直径向上作3个半圆，求图中阴影局部的面积
【课后作业】
1、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
2、如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=1，如果将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影局部的面积是_________
3、在我国古代数学著作?九章算术?中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是多少？
1.等腰直角三角形三边的平方比为
2.等腰三角形的底边为10cm，周长为36cm，那么它的面积是 cm2.
3.长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是
4.RtABC中，，AB=2，那么AB2+BC2+CA2= .
5.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，那么它的三边长分别为 ．
直角三角形两直角边的比为3：4，面积是24，求这个三角形的周长.
如图，长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长.
在Rt△ABC中，∠C=90°c=25，b=15，求a；
9.如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，现测得CB=60m,AC=20m.求A，B两点间的距离(结果取整数).


第9题图 第10题图
10.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4)，求这两点间的距离.